ข้อสอบ สอวน. สาขาคณิตศาสตร์ สวนกุหลาบ 48 มาเต็มๆแล้วครับ

[sck]

เริ่มจากหน้าปกครับ

[sck]

เริ่มตัวข้อสอบครับ

[sck]

หน้า 3 ครับ

[sck]

ต่อ 4 คร้าบ

[sck]

5 ต่อ

[sck]

หน้า 6 ครับ

[sck]

หน้า 7 ต่อ

[sck]

ท้ายสุดแล้วครับ
ดูจากข้อสอบปีนี้ ข้อ 20 ออกซ้ำกับ ปีที่แล้วด้วย

[tunococ]

ข้อ 6 มีหลายคำตอบอ่า... :P (เรียกว่ากวนมั้ยเนี่ย)

[gon]

ในที่สุดก็มีคนนำฉบับเต็มมาลงเสียที ของคุณคุณ SCK มากครับ.

[nongtum]

ข้อที่ตอบไปแล้วในกระทู้อื่นมีดังนี้ (ข้อในวงเล็บไม่มีการแสดงวิธีทำ)
ข้อ 1,2,(3),7,15 ที่กระทู้นี้
ข้อ 12,(29)ที่กระทู้นี้

มาตอบก่อนอีกสองข้อ
9. ลาก BF, CD, AD จะได้ ะEFD=ะACD=28+37=65° และ ะAGD=90-65=25°

10. พื้นที่ผิว=[16-2(0.5*2*2)]+16+2*0.5*\(\sqrt{18}*2\sqrt{2}\)+4*0.5*(2+4)*4=88 ตารางนิ้ว

Edit1: แก้ข้อ 10.

[Alberta]

4. 3:1
6. 18
7. 2ึ58
11. 2
13. 67
17. ึ2
18. ทุก a bเป็นจำนวนเต็ม เมื่อ a+2bน10(ไม่มั่นใจครับ)
20. 4
21. 7
22. 1
23. \( (-4+รูท31)/15\)และ\( (-4-รูท31)/15\)
25. 5098-1/2^2545
28. 14
30. 3

[nongtum]

มาโพสต์ต่อ :P

5. โดยสมบัติสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ BF=9, AG=EF=35 และ GD=37

6. พื้นที่แรเงา=\(\frac{8}{3}\pi-4\sqrt{3}\) ดังนั้น a+b+c+d=18 (This Question is somehow ambigious!)

8. ลากเส้นตรงผ่านจุด x ให้ขนานกับ AD ไปตัดกับ AE ที่ Y ด้วยสมบัติของสามเหลี่ยมคล้ายเราจะได้ 10-YB=7+YB หรือ YB=3/2 cm

11. สี่เหลี่ยมรูปว่าว PAQB มีเส้นแทยงมุม AB และ PQ ตั้งฉากกัน(ตัดกัน)ที่จุด X PQ ตัดวงกลม P,Q ที่จุด R,S ตามลำดับ
ด้วยสมบัติของสามเหลี่ยมคล้ายเราจะได้ PX=3.6, XQ=6.4, RX=6-3.6=2.4, SX=8-6.4=1.6 และรัศมีวงกลมแนบในที่ต้องการยาว 0.5(2.4+1.6)=2

14. 6 (วางลูกบาศ์กสีขาวหนึ่งลูกไว้ตรงกลางแล้ววางอีกหกอันที่เหลือปิดด้านทั้งหกของลูกบาศ์กอันแรก แล้วเอาลูกบาศ์กสีแดงที่เหลือถมให้เป็นลูกบาศ์กใหญ่)

16. เลขโดดจาก 1-9 มี 9 ตัว เลขโดดจาก 10-99 มี 180 ตัว เลขโดดจาก 100-999 มี 2700 ตัว
2548-180-9=2359=786*3+1 ดังนั้น เลขตัวที่ 2548 คือ 8

17 กราฟ y=ฑx สัมผัสวงกลม(r=1)ที่กำหนดให้ ดังนั้น \(a=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) (a>0 !!)

19. ทำตามกระบวนการที่ให้ จะได้ n=21 (สมมติว่าโจทย์ให้เลขที่มีค่ามากๆ เช่น 10¹⁰⁰ ทำแบบนี้คนเข้าสอบคงตายพอดี)

20. 6*a ลงท้ายด้วยสี่ จะได้ a=4,9 แต่ 9x*6xxxน3x*8xxx ดังนั้น a=4

21. เปิดสองก๊อกพร้อมกันหนึ่งนาที ได้น้ำ (1/20+1/30)=1/12 ดังนั้นหลังจากเปิดน้ำก๊อกละ 5 นาที จะเหลือน้ำ 1-5/12=7/12 หรือหากเปิดสองก๊อกพร้อมกัน จะใช้เวลา 7 นาที

22. \(\displaystyle\large{2\frac{\sum_{cyc}\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}
=\frac{2\cdot2}{-4}=-1}\)

24. ให้ f(x)=(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+g(x), g(x)=(x+1)(a'x²+b'x+c')
แทน x=2,-3,4 จะได้ระบบสมการ 4a'+2b'+c'=-1, 9a'-3b'+c'=4, 16a'+4b'+c'=-3
แก้ระบบสมการจะได้ (a',b',c')=(0,-1,1), g(x)=1-x² และ f(1)=24

26. \(\displaystyle\large{\frac{10^{33}}{10^{31}+3}
=\frac{10^2(10^{31}+3)}{10^{31}+3}-\underbrace{\frac{3\cdot10^2}{10^{31}+3}}_{<<1}
=99.xxx}\) ดังนั้นจำนวนเต็มที่ต้องการคือ 99

27. ข้อนี้ทำโดยแยกกรณีเป็นช่วงๆดังนี้
\(x\in[0,2)\) จะได้ y=-(x-2)-(x-4)-(x-10)= -3x+16,
\(x\in[2,4)\) จะได้ y=(x-2)-(x-4)-(x-10)= -x+12,
\(x\in[4,10)\) จะได้ y=(x-2)+(x-4)-(x-10)= x+4,
\(x\in[10,12]\) จะได้ y=(x-2)+(x-4)+(x-10)=3x-16
วาดกราฟเป็นช่วงๆแล้วอ่านค่าจากกราฟจะได้ [a,b]=[8,20] หรือ a+b=28
หมายเหตุ: ข้อนี้หากสังเกตดีๆ เราสามารถตอบคำถามได้ทันทีโดยไม่ต้องแจงกรณี เพราะสมการในแต่ละช่วงจะเป็นเส้นตรง (ลืมนึกตรงนี้ไปตอนโพสต์)

28. ข้อนี้ทำโดยแยกกรณีดังนี้
|A|=0, |B|=4 เป็นไปได้ 1 คู่
|A|=1, |B|=3 ตอนแรกเลือกเลขออกมาหนึ่งตัว ที่เหลือให้เป็น B ได้ 4 คู่
|A|=1, |B|=4 ตอนแรกเลือกเลขออกมาหนึ่งตัว แล้วให้ทั้งเซตเป็น B ได้ 4 คู่
|A|=2, |B|=2,3,4 (ในทำนองเดียวกันกับด้านบน) เป็นไปได้ \({4\choose2}\cdot1+{4\choose2}\cdot{2\choose1}\cdot1+{4\choose2}\cdot1=24\) คู่
|A|=3, |B|=1,2,3,4 (ในทำนองเดียวกันกับด้านบน) เป็นไปได้ \({4\choose3}\cdot1+{4\choose3}\cdot{3\choose1}\cdot1+{4\choose3}\cdot{3\choose2}\cdot1+{4\choose3}\cdot1=32\) คู่
|A|=4, |B|=0,1,2,3,4 (ในทำนองเดียวกันกับด้านบน) เป็นไปได้ \({4\choose1}\cdot1+{4\choose2}\cdot1+{4\choose3}\cdot1+{4\choose4}\cdot1=16\) คู่
รวมทั้งหมด 81 คู่
หมายเหตุ: ข้อนี้ทำได้ง่ายกว่านี้เยอะ (นึกไม่ถึง) ตามไปดูที่คำตอบของคุณ tunococ หน้าถัดไป

30. พิจารณาสมการ \(2^{2n+1}=10^{28}\) ถอด log ฐานสิบแล้วแก้หา n จะได้ n=46.xxx หรือจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดเป็น 47
หมายเหตุ: \(2^{93/7}<10^4<2^{94/7}\) (ตกลงเลขที่ให้มาเป็น สิบ(10) หรือหนึ่งหมื่น(10^4)กันแน่เนี่ย)
หมายเหตุ: หากมองเป็นผลคูณ จะได้เลขชี้กำลังเป็น (n+1)² ที่เหลือก็ทำในทำนองเดียวกับด้านบน

(คิดน่ะไม่เท่าไหร่ พิมพ์แล้วลมจะใส่... )

Edit1: แก้คำตอบข้อ 6,10,19 (Mein Dank geht wieder an Khun Passer-by ^_^)
Edit2: แก้คำตอบข้อ 17,22 (ขอบคุณคุณ Passer-by กับคุณ M@gpie อีกครั้งครับ)
Edit3: แก้ไวยากรณ์ ^_~'
Edit4: แก้คำตอบข้อ 28 ตามคำแนะนำของคุณ tunococ

[passer-by]

เอาเฉพาะข้อที่ไม่ตรงกันนะครับ

ข้อ 4 ได้ 2

ข้อ 6 ได้ \(\large \frac{8\pi}{3}-4\sqrt{3} \)
จึงตอบ 18
(Comment: ข้อนี้น่าจะกำหนดด้วยว่า (a,b) =1 เพื่อให้มีคำตอบเดียว)

ข้อ 10 ได้ 88

ข้อ 13 ได้ 13 (N= \(\large 625\cdot 10^{7} \))

ข้อ 18 ได้ 8,12

ข้อ 19 ได้ 21

ข้อ 25 ได้ 5094+ (1/2)²⁵⁴⁶

ข้อ 30 ได้ 9

สารภาพว่า ขี้เกียจพิมพ์วิธีทำครับ

[M@gpie]

ข้อ 18 จำนวนเต็ม a = 8 , 12
ข้อ 22 ผมว่าเป็น -1 นะครับ