3rd TMO ณ ม.นเรศวร

[R-Tummykung de Lamar]

มาแล้วครับ ค่ายสอวน. วันที่ 8 - 12 พฤษภาคม พ.ศ.2549 ณ ม.นเรศวร
หรือที่เรียกกันว่า การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก ครั้งที่ 3

Hint เติมคำตอบ (ข้อที่สมควร hint ยกเว้นข้อที่ผมทำไม่ได้ ;) )

ข้อ 1,2,3 (solutions) link

ข้อ 2

คิดผ่านพื้นที่

ข้อ 3

law of cosine,สมบัติของเส้นมัธยฐาน,steward

ข้อ 4

ลองไล่มุมดูครับ

ข้อ 6

หา $f(x)$ ออกมาก่อน

ข้อ 7

โคชี

ข้อ 8

ให้ $t=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}$ แล้วหาความสัมพันธ์ s กับ t ดูครับ

ข้อ 9

A.M-G.M

ข้อ 10

Wilson

ข้อ 11

ออยเลอร์ ฟี ฟังก์ชัน

ข้อ 13

$9x+1=10^{1862}$

ข้อ 14

ออยเลอร์ ฟี ฟังก์ชัน

ข้อ 15

เขียน x ในรูป n

ข้อ 16

มอง A,B,C เป็นกล่อง

Hint แสดงวิธีทำ (ข้อที่สมควร hint ยกเว้นข้อที่ผมทำไม่ได้ ;) )

ข้อ 1

ห.ร.ม.

ข้อ 2

กฏของ sin หรือ สามเหลี่ยมคล้ายก็ได้

ข้อ 3

จำนวนเชิงซ้อน

ข้อ 4

วาดตารางดูครับ

ข้อ 6

$ab+ac+bc\leq\frac{(a+b+c)^2}3$

[gools]

เห็นข้ออสมการแล้วรู้สึกอยากทำยังไงก็ไม่รู้
\[1+\frac{3}{ab+bc+ca} \geq 1+\frac{9}{(a+b+c)^2}\]
\[1+\frac{9}{(a+b+c)^2} \geq \frac{6}{a+b+c} \iff (\frac{3}{a+b+c}-1)^2 \geq 0\]

[gools]

ข้อ 3 วันที่ 2 ครับ

ให้ $\omega^3=1$
แทน $x$ ด้วย $\omega$ และ $\omega^2$ ในสมการ
จะได้ว่า
\[\begin{array}{rcl} 2\omega P(1)+Q(1) &=& 0 \ \ \ldots(1) \\
2\omega^2 P(1)+Q(1) &=& 0 \ \ \ldots(2)
\end{array}
\]
$(1)+(2)$ จะได้ $Q(1)-P(1)=0$
ดังนั้น $x-1$ เป็นตัวประกอบของ $Q(x)-P(x)$

[R-Tummykung de Lamar]

30 นาทีผ่านไป คุณ gools เกือบจะได้หรียญเงินแล้ว (หรือได้แล้วหว่า)
อิอิ

[gools]

เกณฑ์การให้รางวัลเป็นยังไงอ่ะครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ gools:
เกณฑ์การให้รางวัลเป็นยังไงอ่ะครับ

เทียบจากผู้เข้าร่วมแข่งขันครับ
แบ่งผู้เข้าสอบเป็น 12 ส่วน
ส่วนแรกได้เหรียญทอง (ดีเยี่ยม)
2 ส่วนถัดมาได้เหรียญเงิน (ดีมาก)
3 ส่วนถัดมาได้เหรียญทองแดง (ดี)
อีก 6 ส่วน ได้รับเกียรติบัตรเข้าร่วมการแข่งขัน

แล้วก็ 40 คนแรก ได้ผ่านไปสอบ สสวท. รอบสองโดยไม่ต้องสอบรอบแรก

เหรียญทองจะตัดที่ 28 ครับ ส่วนเหรียญเงินผมไม่แน่ใจ และเหรีญทองแดง รู้สึกจะตัดที่ 7

[nongtum]

ยังไม่ได้ดูทั้งหมด แต่แว้บมาปั่นกระทู้ก่อน :P

สามข้อแรกเสร็จผมกับคุณ Passer-by ไปแล้ว ขอเติมตอบอีกสามข้อก่อนละกัน
5. เมื่อแทน m=1,n=0 จะได้ว่า f(1)-f(0)=1 เพราะ $17|2006$ แต่ $17\not\vert1997$ ดังนั้น f(0)=2006/17=118
8. $s^2=a+b+c+2\sum_{cyc}\sqrt{ab}=9+22=31$ ดังนั้น $s^4-18s^2-8s=(31-18)31-8\sqrt{31}=403-8\sqrt{31}$ (ดูที่ความคิดเห็นของคุณ Passer-by ด้านล่าง)
15. เพราะ 49x50<2549<50x51 ดังนั้นมี n ที่สอดคล้อง 49 ตัว

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 8 ของพี่ nongtum ยังไม่ถูกครับ
$s^2=a+b+c+2\sum_{cyc}\sqrt{ab}=9+22=31$
ตรงนี้คับ $\sum_{cyc}\sqrt{ab}\not=\sum_{cyc}{ab}=11$

[episer]

อ้าว ไม่ใช่ทั้ง 44 คนที่ได้เหรียญจะติดไปหมดเรยเหรอ

ผมนึกว่าเค้าเอา ทั้ง 44 แต่ tummykung บอกว่า 40

[Pheeradej]

เหรียญทองตัดที่ 27 คับ เพราะเพื่อนผมที่ได้ อันดับสุดท้ายของเหรียญทองได้ 27 คะแนน ท็อปได้ 43 คะแนน และถ้าจำไม่ผิดเหรียญทองแดงตัดที่ 6 คะแนน และเหรียญเงินตัดที่ 15 คะแนน ครับ

[nongtum]

14. $2549|n^{2545}-2541\ \Rightarrow\ 2549|n^3(n^{2545}-2541)$ เนื่องจาก 2549 เป็นจำนวนเฉพาะ โดย Fermat จะได้
$n^{2548}-2541n^3\equiv1+8n^3\pmod{2549}$ เนื่องจาก $8n^3+1=(2n+1)(4n^2-2n+1)$ และ $4n^2-2n+1=2549$ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่า n ที่น้อยที่สุดคือ (2549-1)/2=1274

[nongtum]

ยังไม่ได้แก้ข้อ 8 แต่มาแปะเพิ่มอีกสี่ข้อครับ

4. ลาก PO, AB และให้ AQ=2x จะได้ AP=PB=3x, BQ=4x ให้ r เป็นรัศมีวงกลม ดังนั้น $(4x-r)^2=4x^2+r^2$ หรือ r=3x/2
เนื่องจาก ะQAC=ะCBA=ะOPB ในที่สุดจะได้ $\sin\hat{CAQ}=1/\sqrt5$

6. แทน (0,0) ได้ $f(1)=f(1)+2(f(0))^2$ ดังนั้น $f(0)=0$
แทน (x,0) ได้ $f(\cos x)=\cos x\; f(1)$ แทน cos x ด้วย z จะได้ $f(z)=f(1)z$
แทน $(\pi,0)$ ได้ $f(-1)=-f(1)$
แทน $(\pi/2,\pi/2)$ จะได้ $2(f(1))^2=f(-1)$ ในที่สุดจะได้ว่า f(1)=-1/2 และ $f(\frac{2006}{2549})=-\frac{1003}{2549}$

10. โดย Wilson จะได้ $(29-1)!\equiv28\cdot27!\equiv28\pmod{29}$ ซึ่งหมายถึง $27!\equiv1\pmod{29}$
$27\cdot26!\equiv-2\cdot26\equiv1\pmod{29}$ ดังนั้น $26!\equiv14\pmod{29}$
$2^5\equiv3(29),\ 2^{25}\equiv243\equiv11(29)\ \Rightarrow\ 2^{26}\equiv-7\pmod{29}$
$7^3\equiv343\equiv-5(29),\ 7^6\equiv25\equiv-4(29),\ 7^{24}\equiv256\equiv-5\pmod{29}$ ดังนั้น $7^{26}\equiv(-9)(-5)=45\equiv16\pmod{29}$
$\Rightarrow\ (26!)^{26}\equiv14^{26}\equiv16\cdot(-7)\equiv4\pmod{29}$
ดังนั้นเศษจากการหารที่ต้องการคือ 4+1=5

12. $a_1=710,\ 71\not\vert{a_2},\ 10\not\vert{a_3},\ 2|a_n\ \forall n$ ดังนั้น gcd(...)=2 ตอบ 14 วิธีทำดูด้านล่าง

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 12
$a_1=210$ ไม่ใช่ $710$ คับ
ข้อนี้ผมก็ตอบ 2 ไป (เพราะคิดไม่ออก T_T) แต่ไปถามเพื่อนเค้าตอบ 14 อะครับ ไม่ทราบว่า ทำอย่างไรครับ (ผมไม่กล้ากระจาย $a_2,a_3$ อะคับ กลัวเลขเยอะ)

[nongtum]

เอ้า แก้กันอีกรอบ

12. $a_1=210,\ 3\not\vert{a_2},\ 5\not\vert{a_2},\ 2|a_n\ \forall n$ เราจะแสดงว่า $7|a_n\ \forall n$
$2^3\equiv1\pmod7\ \Rightarrow\ 2^{3n}\equiv1\pmod7\ \Rightarrow\ 4\cdot2^{3n}=2^{3n+2}\equiv2^{3n-1}\equiv4\pmod7$
$3^6\equiv1\pmod7\ \Rightarrow\ 3^{6n}\equiv1\pmod7\ \Rightarrow\ 81\cdot3^{6n}\equiv3^{6n-2}\equiv81\equiv-3\pmod7$
$5^6\equiv1\pmod7\ \Rightarrow\ 5^{6n}\equiv1\pmod7\ \Rightarrow\ 5^{6n-3}\equiv125\equiv-1\pmod7$
รวมเศษที่ได้เป็นอันเสร็จพิธี

[passer-by]

ตอนที่ 1

7. By Cauchy schwarz's inequality

$ 1=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+ \frac{y}{3}+ \frac{y}{3}+ \frac{z}{4}+\frac{z}{4}+ \frac{z}{4}+ \frac{z}{4} \leq \sqrt{2x^2+3y^2+4z^2}\sqrt{2(\frac{1}{4})+3(\frac{1}{9})+4(\frac{1}{16})} $

หรือ $ 2x^2+3y^2+4z^2 \geq \frac{12}{13} $

และ สมการเป็นจริง เมื่อ มี l>0 ซึ่ง
x=l/2
y=l/3
z=l/4

แก้สมการ และแทนค่ากลับไป จะได้ x= 6/13

8. ให้ $ t=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} $

จากโจทย์จะได้ $ s^2 = (a+b+c) + 2t = 9+2t $
ขณะเดียวกัน $ t^2= (ab+bc+ca)+ 2\sqrt{abc}(s) = 11 +2s $

กำจัด t ให้หมดไป จะได้ $ s^4-18s^2-8s = -37 $

9.

พิจารณา $ \frac{(n+1)^3}{n(n-1)} - \frac{(n-1)^3}{n(n+1)} = \frac{1}{n}\bigg (\frac{(n+1)^4-(n-1)^4}{n^2-1} \bigg ) = \frac{1}{n}\bigg (\frac{8n(n^2+1)}{n^2-1}\bigg )= 8(1+\frac{2}{n^2-1}) $

ถ้า n= 2548 เทอมในวงเล็บจะเข้าใกล้ 1 ดังนั้น คำตอบข้อนี้ คือ 8

13.
ให้ x แทนจำนวนดังกล่าว

ดังนั้น $ 10^{1862}-1 = 9x $

By Fermat's little theorem $ 10^{58}\equiv 1\pmod {59} $ และ $ 10^{16}\equiv 1\pmod {17} $

เพราะ $1856 = 2\cdot 58 \cdot 16 $ ดังนั้น
$ 10^{1856}\equiv 1 \pmod {59} $ และ $ 10^{1856}\equiv 1 \pmod {17} $

และเพราะ (59,17)=1 ทำให้ $ 10^{1856} \equiv 1 \pmod {59\cdot 17} $

ดังนั้น $ 10^{1862}-1 \equiv 10^6-1 \pmod {59\cdot 17} $
หรือ $ 9x \equiv 10^6-1 \pmod {1003} \equiv (10^3+1)(10^3-1) \pmod {1003} \equiv 9(111)(1001) \pmod {1003} \equiv 9(111)(1003)- 9(111)(2) \pmod {1003} $

Simplify เป็น $ x \equiv -222 \pmod {1003} \equiv 781 \pmod {1003}$

ขณะเดียวกัน $ x \equiv 781 \pmod {2} $ ด้วย และเพราะ (1003,2)=1 ดังนั้น $ x \equiv 781 \pmod {2006} $
คำตอบ คือ 781

18.

แปลงปัญหาเป็น มีวิธีเลือก เลข 10 ตัว จาก {1,2,...,31} กี่วิธีที่ ไม่มี 2 ตัวใดติดกัน

สมมติมีเลข 1 10 ตัว และเลข 0 อีก 21 ตัว

จำนวนวิธีเรียงเลข 0,1 ดังกล่าว โดย 1 แยกกันหมด หรือ $ {22 \choose 10}$จะเทียบเท่ากับคำตอบ ข้อนี้ (โดยให้หลักซ้ายสุดคือเลข 1 นับไปเรื่อยๆ จนถึงหลักขวาสุด คือ เลข 31)

ตอนที่ 2
4.
ข้อนี้เป็นคำถามยอดฮิตใน combinatorics เลยครับ คาดว่าคนตั้งโจทย์คงดัดแปลงมาจาก คำถามที่ว่า ถ้าระบายสี 2 สี บน lattice grid แล้วจะมีสี่เหลี่ยมมุมฉากอย่างน้อย 1 รูป ที่จุดมุม ทาสีเดียวกัน

เนื่องจาก กลุ่มหนึ่งมี 7 คน โดยหลักรังนกพิราบ จะมีอย่างน้อย 4 คนที่เพศเดียวกัน สมมติเป็นชาย
พิจารณาสมาชิกกลุ่มที่เหลืออีก 3 กลุ่มที่มีหมายเลข ตรงกับ 4 คนดังกล่าว (เท่ากับคิดเฉพาะ 12 คนนี้) แล้วแบ่งเป็น 2 กรณี
(1) ถ้า มี 2 คนในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งที่เหลือ มี เพศชาย , proof complete
(2) สำหรับแต่ละกลุ่มที่เหลือ ถ้ามีสมาชิกอย่างมาก 1 คน เป็นชาย หรือเท่ากับว่า อย่างน้อย 3 คนเป็นหญิง ก็จะหาคุณสมบัติที่โจทย์ต้องการได้เช่นกัน สำหรับกรณีเพศหญิง

ข้อนี้อธิบายยากจัง ถ้าใครไม่เข้าใจ ลองวาดรูปตามหรือดูจาก lattice grid จะง่ายที่สุดครับ

ข้อ 16 ตอบ 7²⁵⁴⁹ หรือเปล่าครับ

p.s. น้อง tummykung check pm ด้วยครับ