โอลิมปิกรอบ 1 ปี 2549

[Mastermander]

.

[Mastermander]

[nongtum]

2. จาก
$\begin{eqnarray}
P_1(x)&=&P_0(x-1)\\
P_2(x)&=&P_1(x-2)=P_0(x-3)\\
P_3(x)&=&P_3(x-3)=P_1(x-5)=P_0(x-6)\\
\cdots
\end{eqnarray}$
ดังนั้น $P_n(x)=P_0(x-\sum{n})$
จาก $(x-\sum{n})^3+696(x-\sum{n})^2-95(x-\sum{n})-10$ พิจารณาสัมประสิทธิ์ของ $x$ ซึ่งเท่ากับ
$3(\sum{n})^2-2\cdot{696}\sum{n}-95=3\sum{n}(\sum{n}-464)-95$
แทน n=30 จะได้ $\sum{n}=465$ ดังนั้น $3\cdot465(465-464)-95=1300$

3. จาก $\displaystyle\frac{1}{x^2-15x-19}-\frac{1}{x^2-15x-49}=\frac{1}{x^2-15x-49}-\frac{1}{x^2-15x-39}$
จะได้ $\displaystyle\frac{-30}{x^2-15x-19}=\frac{10}{x^2-15x-39}$
นั่นคือ $x^2-15x-34=(x-17)(x+2)=0$ หรือ $x=17,-2$

ข้อ 5 สังเกตจาก (2) ว่า f(p)=2p+5 เมื่อ p=2ⁿ ตรวจกับ (1) พบว่ายังจริงอยู่ ดังนั้น f(1659)=3323

[Mastermander]

[nongtum]

ข้อหกผมขี้เกียจพิมพ์ใหม่ ลิงค์เลยละกัน


แถมด้วยคำตอบบางข้อเพิ่มเติม เครดิตโดยคุณ lemonade จากวิชาการ.คอมครับ(ยังไม่ได้ตรวจสอบความถูกต้องนะครับ แค่เอามาให้ดู)

4)
วนลูปครับ หา $f(2)=-2\ ,f(3)=-1/3\ ,f(4)=1/2,\ f(5)=3=f(2)$
นั่นคือถ้าหา $f(n)$ โดยที่ $n$ หาร 4 เหลือเศษ 2,3,0 และ 1 จะได้ $f(n)=-3,-1/2,1/3$ และ $2$ ตามลำดับ
ดังนั้น $f(2548)+f(2549)=f(4\cdot637)+f(4\cdot637+1) = f(4)+f(5)=7/2$

19)
f(n) = f(n+1) - 3n - 2
f(-100) = f(-99) - 3(-100) - 2
f(-99) = f(-98) - 3 (-97) - 2
.
.
.
f(-1) = f(0) - 3(-1) - 2
นำทุกสมการมาบวกกัน
f(-100) = f(0) +3(1+2+3+...+100) -2(100)
15000 = f(0) + 15150 - 200
f(0) = 50

21)
พบว่ามีเพียง x=1 ที่อยู่ใน A และเมื่อแทนค่าใน B พบว่า 1 อยู่ใน B ด้วย
ดังนั้น $A\cap B=\{1\}$

9)
ให้ทุกตัวเท่ากับ k จัดรูปสมการใหม่จะได้
9^k = a ---> 3^2k = a ---(1)
15^k = b ---> 15^2k = b² --->3^2k5^2k = b² ---(2)
25^k = 5^2k = a+2b ---(3)
แทนค่า (1),(3) ใน (2) จะได้ a(a+2b)=b²
a² + 2ab - b² =0
แก้สมการกำลัง 2 ได้ $a = -b+b\sqrt2$
$b/a = 1/(\sqrt2 - 1) = \sqrt2 + 1$

22)
จัดรูปใหม่ได้เป็น
$f(x)=\frac{4[(x+1)^2] + 9}{ 6(x+1) }$
$4[(x+1)^2] - 6(x+1)f(x) + 9 =0$ ---(1)
จากสูตรหารากสมการกำลังสอง จะได้ว่า $b^2 - 4ac > 0$
$[6f(x)]^2 - 4(4)(9) > 0$
f(x) > 2 , f(x) < -2
แต่โจทย์บอกว่า x>0 ดังนั้น f(x) > 0
จะได้ค่าต่ำสุดของ f(x) = 2
เมื่อไปแทนค่าใน (1) จะได้ x = 1/2

[Rovers]

ข้อ 4 จากการลองแทนค่า จะได้ว่า
f(0) = 1/2
f(1) = 3
f(2) = -2
f(3) = -1/3
f(4) = 1/2
....
f(2548) = 1/2
f(2549) = 3
ดังนั้น f(2548)+f(2549) = 7/2

ข้อ 7
ให้ k=(1-cos t)(1-sin t)
จาก 3/2 = (1+cos t)(1+sin t)
ดังนั้น 3k/2 = cos²t sin²t.
และ 3/2 + k = 2 + 2 sin t cos t,
6k = 4cos²t sin²t
6k = [2(sin t)(cos t)]²
6k = (3/2 + k - 2)²
6k = (k-(1/2))²
6k = k²-k+(1/4)
k²-7k+(1/4) = 0

k = [7ฑึ49-4(1/4)]/2

แต่ kฃ2 ดังนั้น k= [7-4ึ3]/2

[Tony]

6. AB has gradient $\frac{5+19}{15-8} = \frac{24}{7}$, AC has gradient $\frac{19-7}{15+1} = 3/4 $
By Pythagoras, AB = 25, AC = 15. Extend AC to X with AX = 25, then X must be (7,-15), so the midpoint of BX is (-4,-17), and the equation of the line joining it to A is $\frac{x+8}{y-5} =\frac{-4}{22}$, or 11x + 2y + 78 = 0. hence a = 11, c = 78.

(นี่เป็นโจทย์จาก AIME 1990 ข้อ 7)

แต่ตอนที่ผมสอบนั้น ผมใช้ความรู้เรื่องเสส้นแบ่งครึ่งมุม นั่นคือ $\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$


สังเกตว่า ข้อสอบส่วนใหญ่เป็นโจทย์ที่มาจาก AIME เช่น
ตอนที่ 1
4. มาจาก AIME 1992
ตอนที่ 2
6. มาจาก AIME 1990
8. ดัดแปลงมาจาก AIME 1989
และอีกหลายๆข้อ (หาไม่เจอ)

[Tony]

$8.$
$By \ \ the \ \ Law\ \ of \ \ Cosine$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$
$24c^{2}=ab\cos C$

$By \ \ the \ \ Law\ \ of \ \ Sine$
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$=\frac{\cot C}{\cot A+\cot B}$

$=\frac{\frac{\cos C}{\sin C}}{\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}}$

$=\frac{\frac{\cos C}{\sin C}}{\frac{\sin C}{\sin A\sin B}}$

$= \frac{\cos C \sin A \sin B}{\sin^{2} C}$

$= 24$

[Mastermander]

Link to Vcharkarn

[gon]

ปีนี้มีแต่โจทย์เติมคำทั้งหมด 20 ข้อ เท่านั้นหรือครับ.

ข้อ 1 เท่าที่ผมลองจัดรูปดูได้เท่ากับ 1 แต่ยังไม่ได้ลองหาตัวอย่างที่ชัดเจนนะครับ.

กระจายสมการ แล้วจัดรูปเงื่อนไขที่โจทย์ให้มาจะได้ว่า
$a^2b + b^2c + c^2a + abc = 0 \quad \cdots (1)$

จัดรูป $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a} = \frac{a(b+c)(c+a) + b(c + a)(a + b) + c(a + b)(b + c) }{(a+b)(b+c)(c+a)}$

พิจารณา $a(b+c)(c+a) = abc + a^2b + c^2a + ca^2 = ca^2 - b^2c$ (แทนค่าจาก (1))
ทำนองเดียวกัน $b(c + a)(a + b) = ab^2 - c^2a$
และ $c(a + b)(b + c) = bc^2 - a^2b$

ดังนั้นตัวเศษมีค่าเท่ากับ $a^2(c - b) + b^2(a - c) + c^2(b - a) = -(c - b)(a - c)(b - a)$
(ดูเสริมประสบการณ์ชุดที่ ???)

ดังนั้นสิ่งที่โจทย์ต้องการ เท่ากับ $\frac{-(c-b)(a-c)(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 1$

[thee]

ข้อสอบตัวเลือกครับ

[thee]

หน้าที่1 ครับ ข้อสอบตัวเลือก

[thee]

หน้าที่ 2 ครับ

[thee]

หน้าที่3 ครับ

[Mastermander]

ขอบคุณครับที่ลงตอนที่ 1 ให้

ส่วนตอนที่ 2 ยังเหลืออีก5ข้อครับที่ยังไม่ได้โพสต์