my math problem collection

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

98. จงแก้สมการ

$$x^3+3xy^2=49$$
$$x^2+8xy+y^2=8y+17x$$

ในที่สุดก็ทำได้เเล้วครับ
นำสมการเเรกมาลบกับ สามเท่าของสมการที่สองจะได้
$x^3 - 3x^2+3xy^2-24xy-3y^2-49+24y+51x=0$
$(x^3-3x^2+3x-1)+(3xy^2-3y^2)-24xy+24y+51x-49-3x+1=0$
$(x-1)^3 + 3y^2 (x-1) - 24y(x-1) + 48(x-1)=0$
$(x-1)[(x-1)^2 + 3(y-4)^2] = 0$

เเยกกรณีได้ดังนี้
กรณีที่ 1 : $x-1=0$ หรือ $x=1$ เเทนเข้าไปในสมการเเรกจะได้ $y=4,-4$
กรณีที่ 2 : $(x-1)^2 + 3(y-4)^2 = 0$ จะได้ $x=1$ เเละ $y=4$

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ $(1,4)$ เเละ $(1,-4) $

ข้อ 102. ผมไปเจอ มันเป็นข้อสอบของ putnam 1969 A2 เเต่ผมอ่านไม่ค่อยเข้าใจตรงบรรทัดก่อนสุดท้ายอะครับ
http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol692.html

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ในที่สุดก็ทำได้เเล้วครับ
นำสมการเเรกมาลบกับ สามเท่าของสมการที่สองจะได้
$x^3 - 3x^2+3xy^2-24xy-3y^2-49+24y+51x=0$
$(x^3-3x^2+3x-1)+(3xy^2-3y^2)-24xy+24y+51x-49-3x+1=0$
$(x-1)^3 + 3y^2 (x-1) - 24y(x-1) + 48(x-1)=0$
$(x-1)[(x-1)^2 + 3(y-4)^2] = 0$

เเยกกรณีได้ดังนี้
กรณีที่ 1 : $x-1=0$ หรือ $x=1$ เเทนเข้าไปในสมการเเรกจะได้ $y=4,-4$
กรณีที่ 2 : $(x-1)^2 + 3(y-4)^2 = 0$ จะได้ $x=1$ เเละ $y=4$

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ $(1,4)$ เเละ $(1,-4) $

ข้อ 102. ผมไปเจอ มันเป็นข้อสอบของ putnam 1969 A2 เเต่ผมอ่านไม่ค่อยเข้าใจตรงบรรทัดก่อนสุดท้ายอะครับ
http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol692.html

ตอนแรกเมทริกซ์ $A$ จะมีรูปร่างหน้าตาแบบนี้ครับ

$$\bmatrix{0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 \\
1 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-2 \\
2 & 1 & 0 & 1 & \cdots & n-3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 0} $$

พอ Row Operation ทุกอย่างเสร็จ จะกลายเป็นแบบนี้

$$\bmatrix{0 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 0} $$

ดังนั้น หา Determinant โดยใช้วิธี CoFactor จะได้ $(-1)^{n-1}(n-1)$ คูณกับ det ของเมทริกซ์ตัวข้างล่าง

$$\bmatrix{2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0& \cdots & 2} $$

ซึ่งก็คือ $2^{n-2}$ นั่นเองครับ

[-InnoXenT-]

106. จงหาค่าของ

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(3n-2)(3n+2)}$$

Solution

เมื่อกระจายผลบวกออกมาจะกลายเป็น
$\displaystyle{\frac{1}{4}(\frac{1}{1}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...)}$
ซึ่งมีค่าเท่ากับการอินทิเกรต
$\displaystyle{\int_{0}^{1} (1-x^4+x^3-x^7+...) \, dx}$
จัดรูปนิดหน่อยก็จะได้แบบลิงค์ข้างล่าง
http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=140
หลังจากนั้นก็ทำการอินทิเกรต จะได้ผลลัพธ์คือ

$\displaystyle{\frac{1}{72}(9+2\sqrt{3}\pi)}$

107. จงหาค่า $a$ ที่ทำให้ สมการนี้มีคำตอบ และแก้สมการ

$$\sin^2{x} - \sin{x}\cos{x}-2\cos^2{x} = a$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=146

108.จงหาจำนวนผลเฉลย ที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ

$$(x_1+x_2+x_3)^2(y_1+y_2) = 2548$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=140

109. จงหาค่าของ

$$\sum_{k = 1}^{1273} (\frac{1}{1+\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}})$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=144

110. จงแก้สมการ

$$\frac{2^x+2^{-x}}{3^x+3^{-x}} = \frac{4^x+4^{-x}}{9^x+9^{-x}}$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=140

111. จงหาค่าของ

$$\int_{2}^{8} \frac{(x+9)^{14}}{(x+9)^{14}+(x-19)^{14}} \, dx$$

Solution

ให้ $u = x-5$ จะได้ว่า

$$\int_{2}^{8} \frac{(x+9)^{14}}{(x+9)^{14}+(x-19)^{14}} \, dx = \int_{-3}^{3} \frac{(u+14)^{14}}{(x+14)^{14}+(u-14)^{14}} \, du = I$$

ให้ $v = -u$ จะได้ว่า

$$\int_{-3}^{3} \frac{(u+14)^{14}}{(x+14)^{14}+(u-14)^{14}} \, du = -\int_{3}^{-3} \frac{(-v+14)^{14}}{(-v+14)^{14}+(-v-14)^{14}} \, dv$$

$$= \int_{-3}^{3} \frac{(-v+14)^{14}}{(-v+14)^{14}+(-v-14)^{14}} \, dv$$

$$= \int_{-3}^{3} \frac{(v-14)^{14}}{(v-14)^{14}+(v+14)^{14}} \, dv$$

$$2I = \int_{-3}^{3}\frac{(u+14)^{14}+(u-14)^{14}}{(x+14)^{14}+(u-14)^{14}} \, du = \int_{-3}^{3} du = 6$$

$$I = 3$$

112. กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ ที่มีคุณสมบัติ $6\sin{A} = 4\sin{B} = 3\sin{C}$ จงหา $\cos{C}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=142

113. จงแก้ระบบสมการ

$$x-4x^2y+y-4xy^2 = \frac{1}{4}$$

$$x^2+y^2 = 1$$

Solution

จากสมการที่สอง กำหนดให้ $x = \cos{\theta}$ และ $y = \sin{\theta}$ นำกลับไปแทนค่าในสมการแรก
จัดรูปไปมาจะได้

$\cos{3\theta}-\sin{3\theta} = \frac{1}{4}$

$\theta = \frac{1}{3}(2\pi n_1-\frac{\pi}{4}+\cos^{-1}{(\frac{1}{4\sqrt{2}})}), \frac{1}{3}(2\pi n_1-\frac{\pi}{4}-\cos^{-1}{(\frac{1}{4\sqrt{2}})})$

นำ $\theta$ กลับเข้าไปแทนใน $x,y$ ก็จะได้คำตอบครับ

$x \approx 0.979554266, y\approx 0.201180116$
$x \approx 0.74772882, y\approx -0.664004225$

114. กำหนดให้ $a_1 = 1$ และ $a_n = a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$ เมื่อ $n \geq 2$ จงพิสูจน์ว่า $71 < a_{2549} < 88$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=143

115. จงแก้สมการ

$$343x(x+1)(x+2) = 120$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=141

[Slow_Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

106. จงหาค่าของ

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(3n-2)(3n+2)}$$

108.จงหาจำนวนผลเฉลย ที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ

$$(x_1+x_2+x_3)^2(y_1+y_2) = 2548$$

110. จงแก้สมการ

$$\frac{2^x+2^{-x}}{3^x+3^{-x}} = \frac{4^x+4^{-x}}{9^x+9^{-x}}$$

106. ผมยังทำไม่สุดนะครับ $\frac{1}{4} \int_{0}^{1}\,\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2+x+1} dx$


108.เนื่องจาก $2548=2^2\cdot 7^2\cdot 13$

กรณีที่ 1 $x_1+x_2+x_3 = 2$ ไม่มีผลเฉลยเพราะ $x_1+x_2+x_3 \geqslant 3$
กรณีที่ 2 $x_1+x_2+x_3 = 7$ และ $y_1+y_2 = 52$ จะได้จำนวนผลเฉลยคือ $51\binom{6}{4} = 765$
กรณีที่ 3 $x_1+x_2+x_3 = 14$ และ $y_1+y_2 = 13$ จะได้จำนวนผลเฉลยคือ $12\binom{13}{11}= 936$

จำนวนผลเฉลยทั้งหมดคือ $1701$

110. ให้ $2^x=a,3^x=b$ จัดรูปนิดหน่อยจะได้เป็น

$\dfrac{a+\frac{1}{a} }{b+\frac{1}{b}} =\dfrac{(a+\frac{1}{a})^2-2 }{(b+\frac{1}{b})^2-2}$

ให้ $a+\frac{1}{a} = p , b+\frac{1}{b} =q$ จะได้เป็น

$\dfrac{p}{q} = \dfrac{p^2-2}{q^2-2} $

จัดรูปนิดหน่อยจะได้เป็น $(pq+2)(p-q) =0$

กรณีที่ 1 $pq=-2$ เห็นได้ชัดว่า $a,b >0$ เพราะฉะนั้นกรณีนี้จึงไม่มีคำตอบ
กรณีที่ 2 $p=q$ จะได้ว่า $a+\frac{1}{a}= b+\frac{1}{b}$
จัดรูปนิดหน่อยจะได้เป็น $(ab-1)(b-a) =0$
2.1 $ab=1,6^x=1$ จะได้ $x=0$
2.2 $a=b,2^x=3^x$ จะได้ $x=0$ เช่นกัน

[Slow_Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

115. จงแก้สมการ

$$343x(x+1)(x+2) = 120$$

$x(x+1)(x+2) = \dfrac{120}{7^3} $ เห็นชัดเจนว่า $x$ ไม่ใช่จำนวนเต็มแน่นอน

สมมุติว่า $x+1$ สามารถเขียนในรูป $\dfrac{A}{7}$

$\dfrac{A-7}{7}(\dfrac{A}{7})(\dfrac{A+7}{7}) = \dfrac{120}{7^3} $

เหลือที่ต้องแก้สมการ $A^3-49A-120=0$

$(A+3)(A+5)(A-8) =0$

$A=-3,-5,8$ $\rightarrow$ $x=\dfrac{1}{7},\dfrac{-10}{7},\dfrac{-12}{7} $

[Slow_Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

112. กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ ที่มีคุณสมบัติ $6\sin{A} = 4\sin{B} = 3\sin{C}$ จงหา $\cos{C}$

กฎของ $\sin$

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} $

$6\sin A = 3\sin C$ จะได้ว่า $a=\dfrac{c}{2}$

$4\sin B = 3\sin C$ จะได้ว่า $b=\dfrac{3c}{4}$

กฎของ $\cos$ จะได้ว่า

$c^2=\dfrac{c^2}{4}+\dfrac{9c^2}{16}-\dfrac{3}{4}c^2\cos C$
$\cos C = \dfrac{1}{4}$

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

114. กำหนดให้ $a_1 = 1$ และ $a_n = a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$ เมื่อ $n \geq 2$ จงพิสูจน์ว่า $71 < a_{2549} < 88$

เห็นได้ว่า $a_n > 1$ สำหรับจำนวนเต็ม $n\geqslant 2$
จาก $a_n = a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$ ยกกำลังสองจะได้ $a_n^2 = a_{n-1}^2+\frac{1}{a_{n-1}}^2 + 2$

จะได้ $a_{n-1}^2+2 < a_n^2 < a_{n-1}^2+3$
ดังนั้น
$\displaystyle a_1^2 + 2 < a_2^2 < a_1^2 + 3$
$\displaystyle a_2^2 + 2 < a_3^2 < a_2^2 + 3$
$\displaystyle a_3^2 + 2 < a_4^2 < a_3^2 + 3$

ไปเรื่อยๆ จนถึง

$\displaystyle a_{2548}^2 + 2 < a_{2549}^2 < a_1^2 + 3$
รวมทุกอสมการเข้าด้วยกันจะได้
$a_1^2 + 2(2548) < a_{2549}^2 < a_1^2 + 3(2548)$
$5069 < a_{2549}^2 < 7645$
$71.39 < a_{2549} < 87.43$

ดังนั้น $71 < a_{2549} < 88$

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

109. จงหาค่าของ

$$\sum_{k = 1}^{1273} (\frac{1}{1+\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}})$$

สังเกตก่อนว่า
$$\frac{1}{1+\tan^{2548}{(\frac{(1273-k)\pi}{2548})}} = \frac{1}{1+\cot^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}} = \frac{\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}}{1+\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}}$$

จึงได้
$$2\sum_{k = 1}^{1273} (\frac{1}{1+\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}})
= \sum_{k = 1}^{1273}[\frac{1}{1+\tan^{2548}\frac{k\pi}{2548}}+
\frac{tan^2 {\frac{k\pi}{2548}}}{1+tan^2 {\frac{k\pi}{2548}}}] = 1273$$



ดังนั้น $\sum_{k = 1}^{1273} (\frac{1}{1+\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}}) = \frac{1273}{2}$

[-InnoXenT-]

ตอบกันเร็วไปมั๊ยครับ

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

107. จงหาค่า $a$ ที่ทำให้ สมการนี้มีคำตอบ และแก้สมการ

$$\sin^2{x} - \sin{x}\cos{x}-2\cos^2{x} = a$$

ไม่เเน่ใจนะครับ จัดรูปจะได้
$$sin^2x-cos^2x-sinxcosx-cos^2x = a$$
$$-cos2x - \frac{1}{2}sin2x - \frac{1}{2}(1+cos2x) = a$$
$$-\frac{1}{2}(3cos2x+sin2x) = a+\frac{1}{2}$$
$$-\frac{\sqrt{10} }{2}(\frac{3}{\sqrt{10}}cos2x+\frac{1}{\sqrt{10}}sin2x) = a+\frac{1}{2}$$
ให้ $sinA = \frac{3}{\sqrt{10}}$
$$sinAcos2x + sin2xcosA = -(a+\frac{1}{2})(\frac{2}{\sqrt{10}}) $$
$$sin(A+2x) = -(a+\frac{1}{2})(\frac{2}{\sqrt{10}})$$
จาก $-1\leqslant sin(A+2x)\leqslant 1$
ดังนั้น $$-1 \leqslant -(a+\frac{1}{2})(\frac{2}{\sqrt{10}}) \leqslant 1$$
$$-\frac{1}{2}(\sqrt{10}+1) \leqslant a \leqslant \frac{1}{2}(\sqrt{10}-1)$$

[-InnoXenT-]

116. กำหนดให้ $j = \sqrt{-1}$ จงหาพจน์ทั่วไปของ

$$\prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k})$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=148

117. จงหาค่า $a$ ที่ทำให้ระบบสมการ มีคำตอบ

$$\sin{x}\cos{(2y)} = a^2+1$$

$$\cos{x}\sin{(2y)} = a$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=149

118. จงเขียนอนุกรม

$$\sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^k\binom{n}{k}}{k^3+9k^2+26k+24}$$

ในรูปของ $\frac{p(n)}{q(n)}$ โดยที่ $p(n),q(n)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=17864

119. สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AD, BE$ และ $CF$ เป็นเส้นมัธยฐาน โดยที่
ด้าน $AD$ อยู่บนเส้นตรง $y = x+3$
ด้าน $BE$ อยู่บนเส้นตรง $y = 2x+4$
ด้าน $AB$ ยาว $60$ หน่วย และ $\hat{C} = 90^{\circ}$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $AC$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=152

120. จงแก้ อสมการ $\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=150

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

116. กำหนดให้ $j = \sqrt{-1}$ จงหาพจน์ทั่วไปของ

$$\prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k})$$

ให้ $S=\prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k})$และ $a=\frac{1+j}{2}$ จะได้ว่า

$$\begin{array}{rcl} \prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k}) & = & \prod_{k = 0}^{n} (1+a^{2^k})\\ & = & \frac{1-a}{1-a}\cdot (1+a)(1+a^2)(1+a^4)...(1+a^{2^n}) \\ &= & \frac{1-a^{2^{n+1}}}{1-a}\end{array} $$

พิจารณา $1-a^{2^{n+1}}$ เมื่อ $n>0$ จะได้ว่า

$$\begin{array}{rcl} 1-a^{2^{n+1}} & = & 1-\left(\, \frac{1}{\sqrt{2}}cis \frac{\pi}{4}\right) ^{2^{n+1}}\\ & = & 1-\left(\,\frac{1}{2}\right)^{2^{n}}cis(2^{n-1}\pi)\\ &=& 1-\frac{1}{2^{2^n}} \end{array} $$

แสดงว่า $$S=\prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k}) =\frac{2^{2^n}-1}{2^{2^{n}+1}}(1+j)$$

ผิดตรงไหนขออภัยด้วยครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

117. จงหาค่า $a$ ที่ทำให้ระบบสมการ มีคำตอบ

$$\sin{x}\cos{(2y)} = a^2+1$$

$$\cos{x}\sin{(2y)} = a$$

จับมาบวกกันจะได้ \begin{array}{rcl} \sin{x}\cos{2y}+\cos{x}\sin{2y} & = & 2a^2+1 \\ sin(x+2y) & = & 2a^2+1 \geqslant 1 \end{array}

แต่ $\sin(x+2y) \leqslant 1$ แสดงว่า $\sin(x+2y)=1=2a^2+1$

ดังนั้น $a=0$ เท่านั้น

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

120. จงแก้ อสมการ $\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2}$

พิจารณาด้านซ้ายของอสมการ พบว่า $x+1\geqslant 0$ เเละ $3-x\geqslant 0$ จะได้ว่า $-1\leqslant x\leqslant 3 ... (1)$
พิจารณาว่า $\sqrt{3-x} > \sqrt{x+1}$ จะได้ $x<1$ ...(2)
จากโจทย์ พบอีกว่า $\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2}>0$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้
$$(3-x)+(x+1)-2\sqrt{3-x}\sqrt{x+1} > \frac{1}{4}$$
$$\sqrt{3-x}\sqrt{x+1}<\frac{15}{8}$$
$$(3-x)(x+1)<\frac{225}{64}$$
$$x^2-2x-3+\frac{225}{64}>0$$
$$(x-(1+\frac{\sqrt{31}}{8}))(x-(1-\frac{\sqrt{31}}{8}))>0$$
$x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}$ หรือ $x>1+\frac{\sqrt{31}}{8} .... (3)$



จาก (1),(2) เเละ (3) จะได้ว่า $-1\leqslant x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}$

ข้อ 118 ผมเคยถามไว้เมื่อ ... ปลายปีที่เเล้วครับ สุดยอดมาก คำตอบคือ $\frac{1}{2(n+3)(n+4)}$
ลองดูจาก link นี้เลยครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=17864

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

พิจารณาด้านซ้ายของอสมการ พบว่า $x-1\geqslant 0$ เเละ $3-x\geqslant 0$ จะได้ว่า $1\leqslant x\leqslant 3$
จากโจทย์ พบอีกว่า $\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2}>0$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้
$$(3-x)+(x-1)-2\sqrt{3-x}\sqrt{x-1} > \frac{1}{4}$$
$$\sqrt{3-x}\sqrt{x-1}<\frac{7}{8}$$
$$(3-x)(x-1)<\frac{49}{64}$$
$$x^2-4x+3+\frac{49}{64}>0$$
$$(x-(2+\frac{\sqrt{15}}{8}))(x-(2-\frac{\sqrt{15}}{8}))>0$$
$x<2-\frac{\sqrt{15}}{8}$ หรือ $x>2+\frac{\sqrt{15}}{8} .... (1)$

ลองพิจารณา $\sqrt{3-x} \leqslant \sqrt{x+1}$ จะได้ $2\leqslant x\leqslant 3$
นั่นคือ ถ้า $2\leqslant x\leqslant 3$ จะได้ $\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1}<0$
ดังนั้นช่วงของค่า $x$ ที่เป็นไปได้จึงเหลือเเค่ $1\leqslant x<2 ... (2)$

จาก (1) เเละ (2) จะได้ว่า $1\leqslant x<2-\frac{\sqrt{15}}{8}$

บรรทัดแรกทำไม x-1>=0 ครับ