my math problem collection

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

119. สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AD, BE$ และ $CF$ เป็นเส้นมัธยฐาน โดยที่
ด้าน $AD$ อยู่บนเส้นตรง $y = x+3$
ด้าน $BE$ อยู่บนเส้นตรง $y = 2x+4$
ด้าน $AB$ ยาว $60$ หน่วย และ $\hat{C} = 90^{\circ}$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $AC$

ลองนั่งคิดเเบบจริงๆจังๆเเล้วมันเยอะมากๆๆๆๆๆ เลยลองเปลี่ยนเเนวคิดเป็นมาเลื่อนขนานสมการเส้นตรง 2 เส้นซะก่อนให้มาอยู่ที่ $y=x$ กับ $y=2x$ ก่อน ... เเล้วจะง่ายขึ้นมากๆๆๆๆ

เลื่อนเส้นมัธยฐานเเล้วกำหนดจุด $A(a,a) , B(b,2b)$ จะได้จุด $(0,0)$ เป็นจุด centroid ไปโดยปริยาย ... ทำให้กำหนดจุด C ได้เป็น $C(-a-b,-a-2b)$ (จากสูตรหาจุด centroid เอาสามจุดมาบวกกันหาร 3) เเละได้ว่าพื้นที่สามเหลี่ยมนี้ .. หาจากการตั้ง det ได้เป็น $|\frac{3}{2}(ab)|$

จาก $AB=60$ จะได้
$$(a-b)^2 + (2b-a)^2 = 3600$$
$$2a^2 -6ab+5b^2 = 3600 ... (1)$$

จากที่ AC ตั้งฉากกับ BC
$$(\frac{2a+2b}{2a+b})(\frac{a+4b}{a+2b})=-1$$
$$2a^2 + 5b^2 = -\frac{15}{2}ab$$
เอาไปเเทนใน (1) จะได้ $ab = -\frac{800}{3}$ ทำให้ได้พื้นที่เป็น $|-\frac{3}{2}\cdot \frac{800}{3}| = 400$

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

บรรทัดแรกทำไม x-1>=0 ครับ

เเก้เเล้วครับ ขอบคุณมากครับ .. ผมเมาเเต่บ่ายเลย 55555

[-InnoXenT-]

121. กำหนดสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า ถ้า

$$\frac{\sin^2{A} + \sin^2{B}+\sin^2{C}}{\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}} = 2$$

แล้ว ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

122. กำหนดให้ $a,b,c,d \in \mathbf{R}$ ที่ทำให้ $a^6+b^6+c^6+d^6 = 3^6$ จงหาค่าสูงสุดของ

$$(a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6$$

123. จงหาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ สมการ
$\lambda x^3-x^2-x-(\lambda+1) = 0$ และ
$\lambda x^2-x-(\lambda+1) = 0$
มีรากเหมือนกัน และจงแก้สมการ

124. จงแก้สมการ

$$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (x+5)(x+6)(x+7)(x+8)$$

125. จงแก้ระบบสมการ (ข้อนี้ มีคนเคยโพสท์ไว้นานแล้ว ในบอร์ดนี้ แต่ผมยังไม่เห็นใครโพสท์วิธีทำเลย ผมทำไม่ได้ T_T)

$$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}} = \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$$
$$\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)} = \frac{2}{9}$$

126. กำหนดให้ $\displaystyle{\frac{m}{n} = 1+\frac{1}{2}+....+
frac{1}{67}}$ เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงพิสูจน์ว่า $3$ หาร $m$ ไม่ลงตัว

127.จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่ทำให้ $n^4+6n^3+11n^2+3n+31$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

128. จงหาเลขตัวสุดท้ายของจำนวน $17^{1996}$

129. กำหนดให้ $ 0< x < \pi$ จงหาค่าต่ำสุุดของ

$$\frac{9x^2\sin^2{x}+4}{x\sin{x}}$$

130. จงแก้สมการ

$$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7} = \sqrt[4]{x+80}$$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

128. จงหาเลขตัวสุดท้ายของจำนวน $17^{1996}$

$\because (17,10)=1$

$17^{\phi (10)}\equiv 1(mod10)$

$17^4\equiv 1(mod10)$

$17^{1996}\equiv 1(mod10)$

เลขหลักสุดท้าย คือ 1

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

124. จงแก้สมการ

$$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (x+5)(x+6)(x+7)(x+8)$$

$$\frac{(x+1)(x+2)}{(x+5)(x+6)} =\frac{(x+7)(x+8)}{(x+3)(x+4)} $$
$$\frac{x^2+3x+2}{x^2+11x+30} =\frac{x^2+15x+56}{x^2+7x+12} $$
$$1+\frac{-8x-28}{x^2+11x+30} =1+\frac{8x+44}{x^2+7x+12} $$
$$\frac{-2x-7}{x^2+11x+30} =\frac{2x+11}{x^2+7x+12} $$
$$\frac{-2(x+5)+3}{(x+5)(x+6)} =\frac{2(x+4)+3}{(x+3)(x+4)} $$
$$\frac{-2}{x+6}+\frac{3}{(x+5)(x+6)} =\frac{2}{x+3} +\frac{3}{(x+3)(x+4)} $$
$$2(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+6} )=3(\frac{1}{(x+5)(x+6)}-\frac{1}{(x+3)(x+4)} )$$
$$2(\frac{2x+9}{(x+3)(x+6)} )=3(\frac{(x^2+7x+12)-(x^2+11x+30)}{(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)}) $$
$$2(\frac{2x+9}{(x+3)(x+6)}) =3(\frac{-4x-18}{(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)} )$$
$$2(2x+9)=-6(\frac{2x+9}{(x+4)(x+5)} )$$
$(Note:x=4.5)$
$$-\frac{1}{3} =\frac{1}{(x+4)(x+5)} $$
$$x^2+9x+20=-3$$
$$x^2+9x+23=0$$
$$x=\frac{-9\pm \sqrt{81-92} }{2}=x=\frac{-9\pm \sqrt{-11} }{2}$$
$\therefore x=4.5$
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _


-------------------------------

วิธีนี้เป็นวิธีของคุณ Rosalynn

จาก $a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2$

$$((x+1)^2+3(x+1)+1)^2=((x+6)^2+3(x+6)+1)^2$$
$$(x^2+5x+5)^2=(x^2+13x+41)^2$$
$x^2+5x+5=x^2+13x+41$ หรือ $x^2+5x+5=-x^2-13x-41$

$0=8x+36$ หรือ $2x^2+18x+46=0$

$x=-4.5$ หรือ $x^2+9x+23$ (ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริงตามข้างบน)

$\therefore x=-4.5$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

127.จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่ทำให้ $n^4+6n^3+11n^2+3n+31$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$(n^2+3n)^2+2n^2+3n+31$$
$$=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)(1)+(-3n+31)$$
$$=(n^2+3n+1)^2$$
$$-3n+31=1 $$
$$\therefore n=10$$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

123. จงหาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ สมการ
$\lambda x^3-x^2-x-(\lambda+1) = 0$ และ
$\lambda x^2-x-(\lambda+1) = 0$
มีรากเหมือนกัน และจงแก้สมการ

สมการแรกมี 3 ราก สมการสองมี 2 ราก รากเหมือนกันนี่หมายความยังไงหรอครับ

$(1)-(2);\lambda -1=\frac{1}{x}$ ถ้าหา $\lambda $ จากคำถามแรกได้ก็แก้ x ออกมาได้

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

129. กำหนดให้ $ 0< x < \pi$ จงหาค่าต่ำสุุดของ

$$\frac{9x^2\sin^2{x}+4}{x\sin{x}}$$

ค่าของ $xsinx > 0$ เสมอ เมื่อ $ 0< x < \pi$
$$\frac{9x^2\sin^2{x}+4}{x\sin{x}} = 9xsinx + \frac{4}{xsinx} \geqslant 2\sqrt{9xsinx \times \frac{4}{xsinx}} = 12$$

ดังนั้นค่าต่ำสุดเป็น 12 (จากอสมการ AM-GM)

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

121. กำหนดสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า ถ้า

$$\frac{\sin^2{A} + \sin^2{B}+\sin^2{C}}{\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}} = 2$$

จากที่ $\sin^2{A} + \sin^2{B}+\sin^2{C} + \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C} = 3$ ทำให้ได้ว่า $\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C} = 1$
คูณ 2 เข้าไปจะได้
$$2cos^2{A}+2cos^2{B}+2cos^2{C} = 2$$
$$cos2A + cos2B + 2cos^2(A+B) = 0$$
$$2cos(A+B)cos(A-B) + 2cos^2 (A+B) = 0$$
$$cos(A+B)=0 หรือ cos(A-B) + cos(A+B) = 0$$
$$cosC = 0 หรือ 2cosAcosB = 0$$
$$cosC = 0 หรือ cosA = 0 หรือ cosB = 0$$

จะกรณีไหนๆก็ได้ว่ามุมสักมุมเป็นมุมฉาก นั่นคือสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

123. จงหาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ สมการ
$\lambda x^3-x^2-x-(\lambda+1) = 0 ...(1)$ และ
$\lambda x^2-x-(\lambda+1) = 0 ...(2)$
มีรากเหมือนกัน และจงแก้สมการ

ขอเปลี่ยน $\lambda$ เป็น $a$ เพราะขี้เกียจ
จากสมการที่ (2) จะได้ $(a+1) = ax^2 - x$ เเทนในสมการที่ (1)
$$ax^3 - x^2 - x - (ax^2-x) = 0$$
$$ax^3 - x^2(a+1) = 0$$
$$x=0 หรือ ax - (a+1) = 0$$
$$x=0 หรือ x=1+\frac{1}{a}$$
ถ้า $x=0$ เเทนกลับไปสมการไหนๆ ก็ได้ $a=-1$ เมื่อลองเเก้สมการก็พบว่ามีรากซ้ำจริง
ถ้า $x=1+\frac{1}{a}$ เเทนกลับสมการที่ (2) จะได้ $2=0$ เป็นไปไม่ได้

ได้เเค่ $a=-1$ -----> $\lambda=-1$

[BLACK-Dragon]

ข้อ 125 ยากนะครับต้องตั้งอสมการออกมาอสมการนึง(แก้ไม่ได้ด้วยอสมการสำเร็จรูปด้วยสิ ) แล้วบีบซ้ายขวา

อย่าพึ่งกดเลยครับ หมดสนุก

$\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2} \geq \dfrac{2}{1+xy}$

โดย $x,y \in \mathbf{R}-(-1,1) $ )

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ข้อ 125 ยากนะครับต้องตั้งอสมการออกมาอสมการนึง(แก้ไม่ได้ด้วยอสมการสำเร็จรูปด้วยสิ ) แล้วบีบซ้ายขวา

อย่าพึ่งกดเลยครับ หมดสนุก

$\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2} \geq \dfrac{2}{1+xy}$

โดย $x,y \in \mathbf{R}-(-1,1) $ )

เห็นทางไปแล้วครับ ขอบคุณครับ

กำลังจะสอบ TOEFL พรุ่งนี้ เลยเตรียมสอบอยู่เลยไม่มีเวลามาอัพเดทอะครับ ขอโทษสมาชิกทุกคนด้วย

[Rosalynn]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

$$\frac{(x+1)(x+2)}{(x+5)(x+6)} =\frac{(x+7)(x+8)}{(x+3)(x+4)} $$
$$\frac{x^2+3x+2}{x^2+11x+30} =\frac{x^2+15x+56}{x^2+7x+12} $$
$$1+\frac{-8x-28}{x^2+11x+30} =1+\frac{8x+44}{x^2+7x+12} $$
$$\frac{-2x-7}{x^2+11x+30} =\frac{2x+11}{x^2+7x+12} $$
$$\frac{-2(x+5)+3}{(x+5)(x+6)} =\frac{2(x+4)+3}{(x+3)(x+4)} $$
$$\frac{-2}{x+6}+\frac{3}{(x+5)(x+6)} =\frac{2}{x+3} +\frac{3}{(x+3)(x+4)} $$
$$2(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+6} )=3(\frac{1}{(x+5)(x+6)}-\frac{1}{(x+3)(x+4)} )$$
$$2(\frac{2x+9}{(x+3)(x+6)} )=3(\frac{(x^2+7x+12)-(x^2+11x+30)}{(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)}) $$
$$2(\frac{2x+9}{(x+3)(x+6)}) =3(\frac{-4x-18}{(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)} )$$
$$2(2x+9)=-6(\frac{2x+9}{(x+4)(x+5)} )$$
$$-\frac{1}{3} =\frac{1}{(x+4)(x+5)} $$
$$x^2+9x+20=-3$$
$$x^2+9x+23=0$$
$$x=\frac{-9\pm \sqrt{81-92} }{2}=x=\frac{-9\pm \sqrt{-11} }{2}$$
$\therefore $ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง

แหม่ อย่างนี้ไม่ได้นะคะ เพราะลืม x=-4.5 ค่ะ มันหายไปในบรรทัดท้ายๆค่ะ
ส่วนรสรินทำแบบนี้ค่ะ
จาก $(a)(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2$
เรากลับมาที่สมการของเราค่ะ เราบวก 1 ไปทั้งสองข้าง จะได้
$((x+1)^2+3(x+1)+1)^2=((x+6)^2+3(x+6)+1)^2$
$(x^2+5x+5)^2=(x^2+13x+41)^2$

ซึ่งเราจะคำตอบทั้งสามของสมการออกมาค่ะ

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

ข้อ 125 ยากนะครับต้องตั้งอสมการออกมาอสมการนึง(แก้ไม่ได้ด้วยอสมการสำเร็จรูปด้วยสิ ) แล้วบีบซ้ายขวา

อย่าพึ่งกดเลยครับ หมดสนุก

$\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2} \geq \dfrac{2}{1+xy}$

โดย $x,y \in \mathbf{R}-(-1,1) $ )

ผมได้ $x=y$ อะครับ

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

122. กำหนดให้ $a,b,c,d \in \mathbf{R}$ ที่ทำให้ $a^6+b^6+c^6+d^6 = 3^6$ จงหาค่าสูงสุดของ

$$(a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6$$

ถ้า $a,b,c,d \in \mathbf{R}^+$ โดย Minkowski's inequality จะได้
$$(a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6\leqslant (\sqrt[6]{a^6+b^6+c^6+d^6}+\sqrt[6]{13+15+17+19})^6=5^6 $$
ถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ $\leqslant 0$ จะได้ค่าน้อยกว่า $5^6$ แน่นอน
ค่าสูงสุดของ $(a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6$ คือ $5^6=15625$ เกิดที่ $a=\frac{3\sqrt[6]{13} }{2} ,b=\frac{3\sqrt[6]{15} }{2},c=\frac{3\sqrt[6]{17} }{2},d=\frac{3\sqrt[6]{19} }{2}$
ข้อนี้เกิน ม.ปลาย มากไปหน่อยนะครับ