my math problem collection

[Suwiwat B]

โอ ... ลืมไปเลยครับเรื่องฐานของ log

[-InnoXenT-]

ต่อเลย คราวนี้ เป็นแก้สมการตรีโกณนะครับ

36. จงแก้สมการ $\displaystyle{\frac{a\sin{x} +b}{b\cos{x}+a} = \frac{a\cos{x}+b}{b\sin{x}+a}}$ เมื่อ $a^2 \neq 2b^2$

Solution

ย้ายข้างจับคู่ ดึงตัวร่วม จะได้
$(\cos{x}-\sin{x})(ab(\cos{x}+\sin{x})+a^2+b^2) = 0$

$x = 2n\pi + \frac{\pi}{4}, 2n\pi+\frac{5\pi}{4} , 2n\pi + \frac{\pi}{4}+\cos^{-1}{(\frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}ab})}$

37. กำหนดสมการ $a\cos{x}+b\sin{x} = c$
a.) จงหาค่าของ $c$ ที่ทำให้ สมการนี้มีคำตอบเสมอ เมื่อ $a,b$ เป็นค่าคงที่
b.) จงแก้สมการ

Solution

กำหนดให้ $\displaystyle{\theta = \tan^{-1}{(\frac{a}{b})}}$

$\displaystyle{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x} = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

$\displaystyle{\sin{(x+\theta)} = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

$\displaystyle{-1\leq \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq 1}$
$\displaystyle{-\sqrt{a^2+b^2}\leq c \leq \sqrt{a^2+b^2}}$

$\displaystyle{x = 2n\pi+\sin^{-1}{\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}}-\tan^{-1}{(\frac{a}{b})}}$

38. จงแก้สมการ $\sin^3{x}+\sin^3{(2x)}+\sin^3{(3x)} = (\sin{x}+\sin{(2x)}+\sin{(3x)})^3$

Solution

จัดรูปอย่างถึกๆ จับคู่ใช้สูตรผลคูณ ผลบวก ไปเรื่อยๆ สุดท้ายจะได้

$\cos{x} = 0$
$\sin{2x} = 0$
$\sin{\frac{3x}{2}} = 0$
$\sin{\frac{5x}{2}} = 0$
$\cos{\frac{x}{2}} = 0$

39. จงแก้สมการ $\displaystyle{\frac{1}{\sin^2{x}}-\frac{1}{\cos^2{x}}-\frac{1}{\tan^2{x}}-\frac{1}{\cot^2{x}}-\frac{1}{\sec^2{x}}-\frac{1}{\csc^2{x}} = -3}$

Solution

จับคู่คูณไขว้ให้ถูก จะได้คำตอบ

$x = 2n\pi+\frac{\pi}{4}, 2n\pi+\frac{3\pi}{4},2n\pi+\frac{5\pi}{4},2n\pi+\frac{7\pi}{4}$

40. จงแก้สมการ $\displaystyle{\sin^5{x}-\cos^5{x} = \frac{1}{\cos{x}}-\frac{1}{\sin{x}}}$

Solution

ใช้ความจริงที่ว่า $x^5-y^5 = (x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$ แล้วจัดรูปจะได้
$\sin{x} = \cos{x}$

ตอบ $x = 2n\pi + \frac{\pi}{4}, 2n\pi+\frac{5\pi}{4}$

41. จงแก้สมการ $\displaystyle{\cot^2{x} = \frac{1+\sin{x}}{1-\cos{x}}}$

Solution

$\displaystyle{\frac{\cos^2{x}}{(1+\sin{x})(\sin^2{x})} = \frac{1+\cos{x}}{1-\cos^2{x}}}$

จัดรูปสุดท้าย จะได้

$\sin{x} = -\cos{x}$
$x = 2n\pi + \frac{3\pi}{4},2n\pi+\frac{7\pi}{4}$

42. จงแก้สมการ $\cot{x}-2\sin{(2x)} = 1$

Solution

จัดรูปจะได้ $\cos{3x} = \sin{x}$
$\displaystyle{\cos{3x} = \cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=\cos{(x-\frac{\pi}{2})}}$

$x = 2n\pi+\frac{\pi}{8}, 2n\pi+\frac{3\pi}{4}, 2n\pi+\frac{5\pi}{8}, 2n\pi-\frac{\pi}{4},2n\pi - \frac{3\pi}{8},2n\pi-\frac{7\pi}{8}$

43. จงแก้สมการ $2\tan{(3x)}-3\tan{(2x)} = \tan^2{(2x)}\tan{(3x)}$

Solution

วิธีทำคล้ายข้อ 45.

ตอบ $x = n\pi$

44. จงแก้สมการ $2\cot{(2x)}-3\cot{(3x)} = \tan{(2x)}$

Solution

วิธีคล้ายข้อ 45. เปลี่ยน ให้เป็นฟังก์ชัน ไซน์กับคอส ทั้งหมด แล้วย้ายข้าง จัดรูป
จะได้ $x = 2n\pi$

45. จงแก้สมการ $6\tan{x}+5\cot{(3x)} = \tan{(2x)}$

Solution

$\displaystyle{\frac{5\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{5\cos{3x}}{\sin{3x}} = \frac{\sin{2x}}{\cos{2x}} - \frac{\sin{x}}{\cos{x}}}$

จัดรูปไปเรื่อยๆจะได้

$\displaystyle{10\cos^{2x} = \cos{2x}-\cos{4x}}$

ให้ $\theta = 2x$ แล้วแก้สมการเอา จะได้คำตอบคือ

$\displaystyle{x = 2n\pi\pm\cos^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{3}}, 2n\pi\pm\cos^{-1}{(\frac{-\sqrt{2}}{3})}, 2n\pi\pm\cos^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}, 2n\pi\pm\cos^{-1}{(\frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})}}$

[nooonuii]

น่ารวมโจทย์เป็นไฟล์ pdf จริงๆ

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

น่ารวมโจทย์เป็นไฟล์ pdf จริงๆ

ผมกะว่า รวม Solution ให้ได้ครบก่อนครับ แล้วถึงเริ่มพิมพ์ไฟล์ pdf

[-InnoXenT-]

46. กำหนดให้ $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ จงหาค่าต่ำสุดของ $f(x)$ เมื่อ $f(x) = \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{(b-x)^2+c^2}$

Solution

http://www.pratabong.com/P_web/math/...0037_page1.htm

47. จงแก้ระบบสมการ

$x+\log{(x+\sqrt{x^2+1})} = y$
$y+\log{(y+\sqrt{y^2+1})} = z$
$z+\log{(z+\sqrt{z^2+1})} = x$

Solution

http://www.pratabong.com/P_web/math/...10/pc00029.htm

48. จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $\cos^2{x}+\cos^2{2x}+\cos^2{3x} = 1$

Solution

ผมจัดรูปไปจัดรูปมา แยกตัวประกอบจะได้ $\displaystyle{\cos{2x}(\cos{2x}+1)(2\cos{2x}-1) = 0}$

49. จงแก้ระบบสมการ

$\displaystyle{\frac{4x^2}{1+4x^2} = y}$
$\displaystyle{\frac{4y^2}{1+4y^2} = z}$
$\displaystyle{\frac{4z^2}{1+4z^2} = x}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...1&postcount=54

50. จงพิสูจน์ว่า

$\displaystyle{\frac{\sin{x}+\sin{2x}+...+\sin{nx}}{\cos{x}+\cos{2x}+...\cos{nx}} = \tan{(\frac{n+1}{2}x)}}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...7&postcount=57

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

47. จงแก้ระบบสมการ

$x+\log{(x+\sqrt{x^2+1})} = y$
$y+\log{(y+\sqrt{y^2+1})} = z$
$z+\log{(z+\sqrt{z^2+1})} = x$

$\log{(x+\sqrt{x^2+1})} = y-x$
$\log{(y+\sqrt{y^2+1})} = z-y$
$\log{(z+\sqrt{z^2+1})} = x-z$

$x+\sqrt{x^2+1} = 10^{y-x}$
$y+\sqrt{y^2+1} = 10^{z-y}$
$z+\sqrt{z^2+1} = 10^{x-z}$

จับสมการคูณกันหมด

$(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})(z+\sqrt{z^2+1})=10^0 = 1$

ข้อนี้ไม่ได้กำหนด x เป็นอะไรผมก็ไม่แน่ใจเหมือนกัน

แต่คู่อันดับที่ได้แน่ ๆ คือ (x,y,z) = (0,0,0)

[-InnoXenT-]

เป็นผม ถ้าเจอโจทย์ทำนองนี้ ผมจะใช้ $x = y = z$

[Suwiwat B]

48. จำได้ว่าเป็นข้อสอบ IMO 196x ไม่เเน่ใจ
49. เห็นได้ว่า $x,y,z$ ไม่เป็นลบเเน่นอน เเละ $x=y=z=0$ เป็นคำตอบชัวร์
ทีนี้ $\frac{4x^2}{1+4x^2} = 1-\frac{1}{4x^2 +1}$ นั่นคือ $x,y,z$ มีค่าบวกที่ไม่ถึง $1$
ให้ $x=\frac{1}{2}tanA,y=\frac{1}{2}tanB,z=\frac{1}{2}tanC$ โดย$ 0\leqslant A,B,C\leqslant \frac{\pi}{2}$ เเทนกลับไปได้ระบบสมการ
$sin^2 A = \frac{1}{2}tanB$
$sin^2 B = \frac{1}{2}tanC$
$sin^2 C = \frac{1}{2}tanA$
จบคูณหมด จัดรูปอีกหน่อย จะได้ $sin2Asin2Bsin2C=1$ หมายความว่า $2A=2B=2C=\frac{\pi}{2}$
$A=B=C=\frac{\pi}{4}$ จะได้ $x=y=z=\frac{1}{2}$

คำตอบคือ $(0,0,0),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

[-InnoXenT-]

T T ข้ออื่นยากจัง ทำตั้งนานละ

[Memphis]

ข้อ 50. ง่ายมากเลยค่ะ แค่เอา sin $\frac{x}{2}$ คูณทั้งข้างบนข้างล่างก็จบค่ะ

[Suwiwat B]

50. นำ $2sin\frac{x}{2}$ คูณทั้งบนเเละล่าง
บน ;$ 2sinxsin\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}sin2x+...+2sin\frac{x}{2}sinnx$
$= (cos\frac{x}{2}-cos\frac{3x}{2}) + (cos\frac{3x}{2}-cos\frac{5x}{2})+...+(cos\frac{2n-1}{2}x - cos\frac{2n+1}{2}x)$
$= cos\frac{x}{2}-cos\frac{2n+1}{2}x$
$= 2sin\frac{n+1}{2}x sin\frac{n}{2}$
ล่าง ;$ 2sin\frac{x}{2}cosx + 2sin\frac{x}{2}cos2x + ... + 2sin\frac{x}{2}cosnx$
$= (sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}) + (sin\frac{5x}{2}-sin\frac{3x}{2}) + ... + (sin\frac{2n+1}{2}x - sin\frac{2n-1}{2}x)$
$= sin\frac{2n+1}{2}x - sin\frac{x}{2}$
$= 2cos\frac{n+1}{2}x sin\frac{n}{2}x$

จับหารกัน ก็ได้ $tan\frac{n+1}{2}x$

[-InnoXenT-]

51. กำหนดให้ $\displaystyle{\frac{2a_1}{3}+a_2+\frac{4a_3}{3}+...+\frac{(n+1)a_n}{3} = \frac{n+2}{n+3}}$

จงหาค่าของ $\displaystyle{\sum_{n=8}^{\infty}21a_n}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...3&postcount=59

52. กำหนดให้ $f(x) = 2+(1+x)+(1+x)^2+...+(1+x)^{99} = C_0+C_1x+C_2x+...+C_{99}x^{99}$

จงหาค่าของ $\displaystyle{\log_2{(C_0+C_1+...+C_{99})}}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...3&postcount=59

53. จงหาค่าของ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{n^2+6n}{n^2+3n})^n}$

Solution

จับ $y$ เท่ากับก้อนข้างใน แล้ว take ln เอา
ใช้ L'hospital Rule จะได้ $e^3$

54. จงแก้ระบบสมการ
$x^3+y^3 = 9$
$x^2y+y^2x = 6$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...3&postcount=59

55. กำหนดให้ $\displaystyle{x+\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{x^n+\frac{1}{x^n}}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...3&postcount=59

[Suwiwat B]

51. จะได้ $\frac{2a_1}{3}+\frac{3a_2}{3} + ... + \frac{(n)(a_n)}{3} = \frac{n+1}{n+2}$
จะได้ว่า $\frac{n+1}{n+2} + \frac{(n+1)a_n}{3} = \frac{n+2}{n+3}$
จัดรูปจะได้$ a_n = \frac{3}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{3}{2}[\frac{1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+2)(n+3)}]$
ดังนั้น $\sum_{n = 8}^{\infty}21a_n = \frac{63}{2}[\frac{1}{9\cdot 10} - ...]
= \frac{7}{20}$

52. สังเกตว่า $C_0 + C_1 + ... + C_{99} = f(1) = 2+2+2^2+2^3+...+2^99 = 2^100$
ดังนั้น $log_2 (C_0 + C_1 + ... + C_{99}) = 100$

54.จากสมการเเรก $ (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 9$
จากสมการสอง $xy(x+y)=6$ นำมาหารกันเเละจัดรูป จะได้
$2x^2 - 5xy + 2y^2 =0$ นั่นคือ $x=2y$ หรือ $x=\frac{y}{2}$ เเทนกลับเข้าไปในสมการจะได้ว่า
$(x,y) = (1,2) , (2,1)$

55. สังเกตว่า $\frac{\sqrt{5}+1 }{2} = 2cos36^\circ$
จาก ถ้า $x+\frac{1}{x} = 2cos\theta$ เเล้ว $x^n + \frac{1}{x^n} = 2cosn\theta$
จะได้ว่า $x+\frac{1}{x} = 2cos36n^\circ$

[~ArT_Ty~]

ข้อ 53 ได้ $e^{\frac{1}{3}}$ หรือเปล่าครับ??

[Euler-Fermat]

54. $x^3+y^3 = 9 ...........(1)$
$x^2y+xy^2 = 6..............(2)$
$(2)x3 : 3x^2y+3xy^2 = 18..........(3)$
$(1)+(3) : (x+y)^3 = 27$
$\therefore x+y = 3 $
$(1)-(2): (x+y)(x-y)^2 = 3$
ได้ $(x-y)^2 = 1 ; x-y = 1,-1 $
$\therefore (x,y) = (2,1),(1,2)$