my math problem collection

[-InnoXenT-]

56. กำหนดให้ $p,q \in \mathbb{Z}^+$ $\gcd{(p,q)} = 1$ และ

$$\frac{p}{q} = \frac{543}{2549}+\frac{543\times542}{2549\times2548}+...+\frac{543\times542\times ...\times2\times1}{2549\times2548\times ...\times2007}$$
จงหาค่าของ $p+q$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...0&postcount=67

57. กำหนดให้ $\displaystyle{a\Delta b} = \frac{a^b}{a^b+\sqrt{a}}$ และ

$\displaystyle{A = \sum_{n=1}^{1002}(n\Delta\frac{n}{2004})}$
$\displaystyle{B = \sum_{n=1003}^{2003}((2004-n)\Delta\frac{n}{2004})}$

จงหาค่าของ $A+B$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=63

58. กำหนดให้ $\displaystyle{A_n = 9^{9^{9^{9^{...^9}}}}}$ มี $9$ เป็นเลขชี้กำลังทั้งหมด $n$ ตัว $S_n = A_1+A_2+...+A_n$ และ $G_n = A_1A_2...A_n$ จงหา $\sqrt[S_{n-1}]{G_n}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...4&postcount=64

59. จงแก้สมการ $\displaystyle{\sqrt[4]{2-\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}+\sqrt[4]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}} = \sqrt{2}}$

Solution

ให้ $\displaystyle{y = \sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}$
จะได้ $\displaystyle{\sqrt[4]{2-y} + \sqrt[4]{2+y} = \sqrt{2}}$

ยกกำลัง 4 ทั้งสมการ จะได้

$\displaystyle{2\sqrt[4]{(2-y)^3(2+y)}+2\sqrt[4]{(2-y)(2+y)^3}+3\sqrt[4]{(2-y)^2(2+y)^2} = 0}$

จะได้ว่า $y = -2$ หรือ $y = 2$ จากนี้แก้สมการต่อจะเหลือ $x = 36$ ครับ

60. กำหนดให้ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก และมีเส้นตรง $\ell$ สัมผัสกับวงกลม $x^2+y^2 = 2a^2$ และสัมผัสกับ พาราโบลา $y^2=8ax$ จงหาเส้นตรง $\ell$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้

Solution

กำหนดให้ เส้นตรง $\ell : y = mx+c$ เราต้องการหาค่าที่เป็นไปได้ของ $m$ และ $c$

สมมติให้ เส้นตรง $\ell$ สัมผัสกับวงกลม $x^2+y^2 = 2a^2$ ที่จุด $(x_c,y_c)\rightarrow x_c^2+y_c^2 = 2a^2$
และสัมผัสกับ พาราโบลา $y^2=8ax$ ที่จุด $(x_p,y_p)\rightarrow y_p^2 = 8ax_p$

จากสมการวงกลม และพาราโบลา ดิฟ หาความชัน จะได้ว่า $\displaystyle{m = \frac{4a}{y_p} = -\frac{x_c}{y_c}}$

นำค่า $m$ ที่ได้จากความชัน แทนลงในสมการเส้นตรง แก้หาค่า $x_p,y_p,x_c,y_c$ จะได้ว่า

$\displaystyle{x_p = \frac{c^2}{2a}, y_p = 2c}$
$\displaystyle{x_c = -\frac{a}{c}\sqrt{2c^2-4a^2}, y_c = \frac{2a^2}{c}}$

ในการแก้สมการ อาจจะสงสัยว่า ทำไมค่า $\displaystyle{x_c = \frac{a}{c}\sqrt{2c^2-4a^2}}$ ถึงใช้ไม่ได้ ลองวาดรูป สมการวงกลม กับพาราโบลา แล้วลองวาดเส้นตรง ที่สัมผัสกราฟทั้งสองดูคร่าวๆ ก็สามารถรู้ได้ว่า $x_c < 0$ อย่างแน่นอน

แล้วนำค่า $x_c,y_c,y_p$ ที่ได้ ลงไปแทนค่าใน $\displaystyle{\frac{4a}{y_p} = -\frac{x_c}{y_c}}$ แก้สมการต่อ จะได้ $c = \pm 2a\rightarrow m = \pm1$

เส้นตรง $\ell$ ที่เป็นไปได้คือ $y = x+2a$ และ $y = -x-2a$

[Suwiwat B]

57. พิจารณา $a\Delta (1-b) = \frac{a^{1-b}}{a^{1-b}+\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a^b + \sqrt{a}}$
จะได้ว่า $ a\Delta b + a\Delta (1-b) = 1$
นำ $A+B$ มากระจายซะเลย จะเห็นว่าจับคู่กันได้ $1001$ คู่ เเละเหลือ
$1002\Delta \frac{1002}{2004} = 1002\Delta \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$
จะได้ว่า $A+B = 1001.5$

[Suwiwat B]

ข้อ 58 ผมรู้สึกเเปลกๆ .... หรือไม่ก็ผมทำผิด ...
ดู $G_n = 9^9\times 9^{9^9}\times 9^{9^{9^9}}\times ...\times 9^{9^{9^{9^{9^...^9}}}} (มี 9 เป็นเลขกำลัง n ตัว)$
$= 9^{9+9^9+9^{9^9}+...+9^{9^9{^{9^...^9}}}} (มี 9 เป็นเลขกำลัง n-1 ตัว))$
$= 9^{9+S_{n-1}}$
$= 9^9 \times 9^{S_{n-1}}$

ดังนั้น $\sqrt[S_{n-1}]{G_n} = 9\times \sqrt[S_{n-1}]{9^9}$

[-InnoXenT-]

ผมพยายามทำข้อ 56. อยู่

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ข้อ 58 ผมรู้สึกเเปลกๆ .... หรือไม่ก็ผมทำผิด ...
ดู $G_n = 9^9\times 9^{9^9}\times 9^{9^{9^9}}\times ...\times 9^{9^{9^{9^{9^...^9}}}} (มี 9 เป็นเลขกำลัง n ตัว)$
$= 9^{9+9^9+9^{9^9}+...+9^{9^9{^{9^...^9}}}} (มี 9 เป็นเลขกำลัง n-1 ตัว))$
$= 9^{9+S_{n-1}}$
$= 9^9 \times 9^{S_{n-1}}$

ดังนั้น $\sqrt[S_{n-1}]{G_n} = 9\times \sqrt[S_{n-1}]{9^9}$

ก็น่าจะถูกแล้วนะครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

56. กำหนดให้ $p,q \in \mathbb{Z}^+$ $\gcd{(p,q)} = 1$ และ

$$\frac{p}{q} = \frac{543}{2549}+\frac{543\times542}{2549\times2548}+...+\frac{543\times542\times ...\times2\times1}{2549\times2548\times ...\times2007}$$
จงหาค่าของ $p+q$

$$\frac{543}{2549}+\frac{543\times542}{2549\times2548}+\cdots+\frac{543\times542\times \cdots\times2\times1}{2549\times2548\times \cdots\times2007}$$
$$=\frac{543\times542\times \cdots\times2\times1}{2549\times2548\times \cdots\times2007}(\frac{2548\times 2547\times\cdots\times2007}{542\times541\times\cdots\times1}+\frac{2547\times2546\times\cdots\times2007}{541\times540\times \cdots \times1}+\cdots +\frac{2007}{1}+1)$$
$$= \frac{1}{\binom{2549}{543}}(\binom{2548}{542}+\binom{2547}{541}+\cdots+\binom{2006}{0})$$
$$= \frac{1}{\binom{2549}{543}}(\binom{2549}{542})$$
$$=\frac{543}{2007}$$
$$=\frac{181}{669}$$
$$\therefore p+q=850$$
กว่าจะฝันออก ==

[polsk133]

#67 ฝันได้โหดมากครับ 555+

[-InnoXenT-]

จริง ฝันสุดโหด

[Suwiwat B]

ผมมาเกือบถูกละ ... ก็คือมาผิดอยู่ดี 55555 เจ๋งมากเลยครับ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

$$\frac{543}{2549}+\frac{543\times542}{2549\times2548}+\cdots+\frac{543\times542\times \cdots\times2\times1}{2549\times2548\times \cdots\times2007}$$
$$=\frac{543\times542\times \cdots\times2\times1}{2549\times2548\times \cdots\times2007}(\frac{2548\times 2547\times\cdots\times2007}{542\times541\times\cdots\times1}+\frac{2547\times2546\times\cdots\times2007}{541\times540\times \cdots \times1}+\cdots +\frac{2007}{1}+1)$$
$$= \frac{1}{\binom{2549}{543}}(\binom{2548}{542}+\binom{2547}{541}+\cdots+\binom{2006}{0})$$
$$= \frac{1}{\binom{2549}{543}}(\binom{2549}{542})$$
$$=\frac{543}{2007}$$
$$=\frac{181}{669}$$
$$\therefore p+q=850$$
กว่าจะฝันออก ==

คารวะ 10 จอก ผมฝันไม่ถึงเลยครับ

[-InnoXenT-]

ทำข้อ 59 กับ 60 ได้แล้วครับ

อาทิตย์นี้ผมปล่อยโจทย์ต่อไม่ได้นะครับ เพราะสมุดจดผมทิ้งไว้ที่หอ อาจจะปล่อยต่อในเย็นวันจันทร์

[-InnoXenT-]

เพิ่มโจทย์น่าสนใจจากที่อื่นๆ อีก 10 ข้อครับ

61. จงแสดงว่า $\displaystyle{\frac{1}{15} < \frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}<\frac{1}{10}}$

Solution

กำหนดให้ $\displaystyle{A = \frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}}$

พิสูจน์ว่า $\displaystyle{A<\frac{1}{10}}$

กำหนดให้ $\displaystyle{B = \frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times...\times\frac{98}{99}\times1}$

สังเกตพจน์ต่อพจน์ว่า $\displaystyle{\frac{2}{3} > \frac{1}{2} ,\frac{4}{5} > \frac{3}{4},...,\frac{98}{99}>\frac{97}{98},1>\frac{99}{100}}$
ดังนั้น $A < B$
คูณทั้งหมดด้วย $A$ จะได้

$\displaystyle{A^2 < AB = \frac{1}{100}}$

$\displaystyle{A < \frac{1}{10}}$

พิสูจน์ว่า $\displaystyle{A>\frac{1}{15}}$

$\displaystyle{A = \frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}}$

$\displaystyle{A^2 = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{99}{100}\times\frac{99}{100}}$

$\displaystyle{A^2 > \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times...\times\frac{98}{99}\times\frac{99}{100}}$

$\displaystyle{A^2 > \frac{1}{200} > \frac{1}{225}}$

$\displaystyle{A > \frac{1}{15}}$

62. จงหาค่า $x \in \left[ 0,\,2\pi\right] $ ที่ทำให้

$\sin{x} < \cos{x} < \tan{x} < \cot{x}$

Solution

แยกกรณีคิดเยอะมาก แล้วจะได้คำตอบ พิมพ์ไม่หมด

63. กำหนดลำดับ $a_n$ นิยามดังนี้ $a_1 = 8, a_2 = 18$ และ $a_{n+2} = a_{n+1}a_n$ จงหาค่า $n$ ที่ทำให้ $a_n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...2&postcount=74

64. จงหาค่าจำนวนเต็ม $(x,y)$ ที่ทำให้

$$6x^2-3xy-13x+5y=-11$$

Solution

จัดรูปใหม่ได้ $\displaystyle{y = 2x-1+\frac{6}{3x-5}}$

$\displaystyle{\frac{6}{3x-5} = \pm1,\pm2,\pm3,\pm6}$

จะเหลือคำตอบคือ $(2,9),(1,-2)$

65. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นรากของ สมการ $x^3-x^2-x-1 = 0$
65.1) จงแสดงว่า สมการข้างต้น ไม่มีรากที่เท่ากัน

Solution

ตั้ง $(x-m)^2(x-n) = x^3-x^2-x-1$

แล้วเทียบ สปส. จะได้สมการสามสมการ นั่นก็คือ

$n+2m = 1, nm^2=1, m^2+2mn = -1$

เมื่อลองแก้ดู จะพบว่า ไม่มีค่าใดๆ ที่จะทำให้สมการเป็นจริงทั้งสามสมการ ดังนั้น สมการข้างต้นจึงไม่มีรากที่เท่ากัน

65.2) จงแสดงว่า ค่าข้างล่างเป็นจำนวนเต็ม

$$\frac{a^{1982}-b^{1982}}{a-b}+\frac{b^{1982}-c^{1982}}{b-c}+\frac{c^{1982}-a^{1982}}{c-a}$$

Solution

http://www.math-olympiad.com/14th-ca...iad-1982.htm#2

66. จงหาค่ามากที่สุดของจำนวนจริง $z$ ที่ทำให้

$$x+y+z = 5$$
$$xy+yz+xz = 3$$

และ $x,y$ เป็นจำนวนจริง

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...2&postcount=74

67. กำหนดให้ $x = (1+\frac{1}{n})^n$ และ $y = (1+\frac{1}{n})^{n+1}$ จงแสดงว่า $x^y = y^x$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...5&postcount=75

68. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า

$$1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n(n-1)^2-(-1)^{n+1}n^2 = (-1)^{n+1}(1+2+...+n)$$

Solution

แยกกรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ กับคี่

ถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ จับคู่ผลต่างกำลังสอง หลังจากนั้นก็แสดงได้ง่ายๆ

ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ ทำเหมือนกัน แล้วบวกพจน์สุดท้ายไปทีหลัง

69. จงแก้สมการ

$$\left| x+3\right| +\left| x-1\right| =x+1$$

Solution

แยกกรณี เป็นสามกรณีคือ $x \leq-3, -3<x<1, x\geq1$ และข้อบังคับว่า $x \geq -1$ เสมอ
ไม่มีคำตอบสำหรับสมการนี้

70. กำหนดให้ $\displaystyle{h(n) = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}}$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ จงแสดงว่า

$$n+h(1)+h(2)+...+h(n-1) = nh(n), \forall n\geq 2$$

Solution

$\displaystyle{h(
1)+h(2)+h(3++...+h(n-1) = (\frac{1}{1}) + (\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+ ... + (\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1})}$

$\displaystyle{= \frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{1}{n-1}}$

$\displaystyle{= (\frac{n}{1}-\frac{1}{1})+(\frac{n}{2}-\frac{2}{2})+...+(\frac{n}{n-1}-\frac{n-1}{n-1})}$

$\displaystyle{= nh(n)-n}$

ย้ายข้าง $n$ ไปก็จะได้คำตอบครับ

[Beatmania]

มาเสพครับ โจทย์สวยๆดีๆ เยอะมากเลย
66. โคชีได้ครับ
70.จัดรูปนิดนึงก็จะได้เลยครับ
ที่ฌพสแค่นี้ก่อนเพราะยังไม่มีเวลาทำครับ ช่วงนี้ลั้ลลาก่อน
มาแล้วครับ
66.
เราจะมาหา $x^2+y^2+z^2$ กันครับ

จากที่ว่า $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx=x^2+y^2+z^2$

จะได้$x^2+y^2+z^2=25-6=19$

จาก โคชี

$x+y\leqslant \sqrt{2(x^2+y^2)} $

$5-z\leqslant \sqrt{2(19-z^2)} $

$25-10z+z^2\leqslant 38-2z^2$

$3z^2-10z-13\leqslant 0$

$(z+1)(3z-13)\leqslant 0$

ค่า z ที่มากที่สุดก็คือ $\frac{13}{3} $ ตัวนี้นี่เอง

63.ให้ภาวะคู่คี่ของกำลังของ 2 และ 3 ในพจน์ที่ n เป็น (a,b) ตามลำดับ

โดยจะแทน o และ e เป็น คี่และคู่ ตามลำดับ

จะได้ว่า

$a_1$ เป็น (o,e)

$a_2$ เป็น (o,e)

$a_3$ เป็น (e,e)

$a_4$ เป็น (o,e)

$a_5$ เป็น (o,e)

$a_6$ เป็น (e,e)

จะเห็นได้ว่า พจน์ที่ 3 , 6 ,9 ... จะเป็น (e,e)

กล่าวคือ เป็นกำลังสองสมบูรณ์นั่นเอง

[~ArT_Ty~]

ข้อ 67 ครับ

$$x\ln y=(1+\frac{1}{n})^n \ln[(1+\frac{1}{n})^{n+1}]=(1+\frac{1}{n})^n(n+1) \ln(1+\frac{1}{n})=(1+\frac{1}{n})^{n+1}n \ln(1+\frac{1}{n})=(1+\frac{1}{n})^{n+1} \ln[(1+\frac{1}{n})^n]=y\ln x$$

จะได้ว่า $x^y=y^x$ ตามต้องการครับ

ป.ล. ข้อ 65.1 หมายถึงว่ารากทุกตัวต่างกันหมดใช่มั้ยครับ ถ้าจริง คราวหลังไม่ควรเขียนแบบนี้นะครับ เพราะมันไม่ถูกหลัก

อาจจะทำให้อ่านโจทย์เข้าใจผิดได้นะครับ

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 67 ครับ

$$x\ln y=(1+\frac{1}{n})^n \ln[(1+\frac{1}{n})^{n+1}]=(1+\frac{1}{n})^n(n+1) \ln(1+\frac{1}{n})=(1+\frac{1}{n})^{n+1}n \ln(1+\frac{1}{n})=(1+\frac{1}{n})^{n+1} \ln[(1+\frac{1}{n})^n]=y\ln x$$

จะได้ว่า $x^y=y^x$ ตามต้องการครับ

ป.ล. ข้อ 65.1 หมายถึงว่ารากทุกตัวต่างกันหมดใช่มั้ยครับ ถ้าจริง คราวหลังไม่ควรเขียนแบบนี้นะครับ เพราะมันไม่ถูกหลัก

อาจจะทำให้อ่านโจทย์เข้าใจผิดได้นะครับ

รับทราบครับ