my math problem collection

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

มาเสพครับ โจทย์สวยๆดีๆ เยอะมากเลย
66. โคชีได้ครับ
70.จัดรูปนิดนึงก็จะได้เลยครับ
ที่ฌพสแค่นี้ก่อนเพราะยังไม่มีเวลาทำครับ ช่วงนี้ลั้ลลาก่อน

ช่วงนี้ผมก็งานยุ่งเหมือนกันครับ ใกล้พรีเซ้นท์ proposal senior project แล้ว

[-InnoXenT-]

71. จงหาค่ามากที่สุด และน้อยที่สุดของ ฟังก์ชัน $\displaystyle{f(x) = \frac{5+9\sin{x}}{5+3\cos{x}}}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=86

72. กำหนดให้ $A-B = -3(2x-1), A+2B = 3x^2+6$ และ

$$(\sqrt[3]{A^2}-\sqrt[3]{B^2})(\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}-\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{A}}+\sqrt[3]{\frac{1}{B}}})(\sqrt{\frac{A}{B}}+\sqrt{\frac{B}{A}}-1)=\frac{24x^2-6x-3}{x^2-x-2}$$

จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $2x+3A$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...6&postcount=80

73. จงหาค่า $b$ ที่ทำให้ $1988x^2+bx+8891 = 0$ และ $8891x^2+bx+1988 = 0$ มีรากตัวเดียวกัน

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...4&postcount=79

74. จงแก้สมการ $\displaystyle{\log_5{x}+3^{\log_3{y}}=7, x^y=5^{12}}$

Solution

จากสมการแรกจะได้ $\displaystyle{x = 5^{7-y}}$ แทนลงในสมการที่สอง แล้วแก้สมการธรรมดาจะได้
$y = 3,4 \rightarrow x=625,125$

75. จงแก้สมการ $\displaystyle{x^{x+y} = y^{x-y}, x^2y=1}$ เมื่อ $x,y>0$

Solution

$\displaystyle{y = \frac{1}{x^2}}$ แทนลงในสมการแรก

$\displaystyle{x^{x+\frac{1}{x^2}} = x^{\frac{2}{x^2}-2x}}$

แล้ว take log ทั้งสองข้าง แล้วแก้สมการจะได้ $x = 1, \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ สามารถนำไปแทนค่า หาค่า $y$ ต่อได้

[cardinopolynomial]

ข้อ 73. $10879x^2+2bx+10879=0$

$b^2-4ac=0$

$4b^2=4x10879^2$

$b=10879,-10879$

[Suwiwat B]

ข้อ 75 น่าจะมี 1 ด้วยนะครับ
ข้อ 72 เเก้หา $A=(x-2)^2 , B=(x+1)^2$
จัดรูปของสมการข้างซ้ายจะได้ $(A-B)(\frac{A+B-\sqrt{AB}}{\sqrt{AB}})$ เเทนเข้าไปเเล้วเเก้สมการซะ
มันจะได้ $x=\frac{1}{2} $ กับ $x^2+3x+8=0$
$2x+3A = 3x^2-10x+12$ เเล้วก็เเทนเข้าไปเลย

[-InnoXenT-]

ขอโทษครับ ผมมักง่ายไปหน่อย เดี๋ยวกลับมาแก้ตอนบ่ายๆให้ครับ

[-InnoXenT-]

ข้อ 71. ยังทำไม่ได้นะครับ แต่ขออนุญาตลงโจทย์เพิ่ม

76. จงหาค่า $x$ จากช่วง $\left[ 0,2\pi\right] $ ที่ทำให้

$$2\cos{x} \leq \left| \sqrt{1+\sin{2x}}-\sqrt{1-\sin{2x}} \right| \leq \sqrt{2} $$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...4&postcount=87

77. กำหนดให้ $f(x) = (ax+b)^{-1}$ โดยที่ $a,b \in \mathbb{R}$ ถ้ามีจำนวนจริง $x_1, x_2, x_3$ ที่ทำให้ $f(x_1) = x_2, f(x_2) = x_3$ และ $f(x_3) = x_1$ จงหาความสัมพันธ์ของ $a,b$

Solution

แทนค่าลงไปตรงๆ
$\displaystyle{x_2 = \frac{1}{ax_1+b}}$
$\displaystyle{x_3 = \frac{1}{ax_2+b}}$
$\displaystyle{x_1 = \frac{1}{ax_3+b}}$

แก้สมการไปเรื่อยๆ สุดท้ายจะได้
$ax_1^2(b^2+a)+x_1(b^2+a)-(b^2+a) = 0$

ความสัมพันธ์ของ $a,b$ คือ $b^2+a = 0$

78. จงหาค่าของ

$$\prod_{k=0}^{2^{1999}} (4\sin^2{\frac{k\pi}{2^{2000}}}-3)$$

Solution

$\displaystyle{= (-1)^1\prod_{k=0}^{2^{1999}} (1+2\cos{\frac{k\pi}{2^{1999}}})}$

ลองจับคู่คูณกัน เมื่อ $n$ เป็นจำนวนที่เต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ $0$
$\displaystyle{(1+2\cos{\frac{n\pi}{2^k}})(1+2\cos{\frac{(2^k-n)\pi}{2^k}})}$

$\displaystyle{= (1+2\cos{\frac{n\pi}{2^k}})(1-2\cos{\frac{n\pi}{2^k}})}$

$\displaystyle{= 1-4\cos^2{\frac{n\pi}{2^k}}}$

$\displaystyle{= -1-2\cos{\frac{n\pi}{2^{k-1}}}}$

จะมีตัวตรงกลางไม่มีคู่คูณ คือ $2^{k-1}$ สังเกตว่า พจน์นั้นจะกลายเป็น $1$ ละทิ้งไปได้เลย

$\displaystyle{1+2\cos{\frac{2^{k-1}\pi}{2^{k}}} = 1+2\cos{\frac{\pi}{2}} = 1}$

ดังนั้น

$\displaystyle{= (-1)^1\prod_{k=0}^{2^{1999}} (1+2\cos{\frac{k\pi}{2^{1999}}})}$

$\displaystyle{= (-1)^2\prod_{k=0}^{2^{1998}} (1+2\cos{\frac{k\pi}{2^{1998}}})}$

$\displaystyle{= (-1)^3\prod_{k=0}^{2^{1997}} (1+2\cos{\frac{k\pi}{2^{1997}}})}$
...
$\displaystyle{= (-1)^{2000}\prod_{k=0}^{2^0} (1+2\cos{k\pi})} = 3$

79. กำหนดให้ $A,B$ เป็นเมตริกซ์ที่มีขนาด $4\times 4$ โดยที่ $A(adj(2B^{-1})) - I = B$ และ $\det{B} = 8$ จงหาค่าของ $\det{(A-I)}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...7&postcount=83

80. ถ้า $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ และ $f(x^2+x+3) + 2f(x^2-3x+5) = 6x^2-10x+7$ จงหาค่าของ $f(85)$

Solution

ถ้าให้ $f(x)=Ax+B$ แทนค่าลงไป แล้วเทียบสัมประสิทธิ์จะได้
$A=2, B=-\frac{19}{3}$ จึงได้ $f(85)=2(85)-\frac{19}{3} = \frac{491}{3}$

[Slow_Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

79. กำหนดให้ $A,B$ เป็นเมตริกซ์ที่มีขนาด $4\times 4$ โดยที่ $A(adj(2B^{-1})) - I = B$ และ $\det{B} = 8$ จงหาค่าของ $\det{(A-I)}$

แวะมาทำข้อง่ายครับ

ตอบ $\dfrac{1}{8}$

idea $A^{-1} = \dfrac{1}{detA}adjA$ แทนค่าลงไป แล้วจัดรูป ก็จบ

[Slow_Math]

ส่วนข้อ 80 แทน x เป็น 1-x แก้สมการ ก็จบครับ

[-InnoXenT-]

หยุดโพสท์โจทย์สักครู่นะครับ ติดงาน Senior Project อยู่

[Suwiwat B]

ข้อ 71 นะครับ กว่าจะได้
จาก $\frac{5+9cosx}{5+3cosx} = \frac{5+9\frac{2tana}{1+tan^2 a}}{5+3\frac{1-tan^2 a}{1+tan^2 a}}$ โดยที่ $a=\frac{x}{2}$
$= \frac{1}{2}[5+\frac{18tana-15}{tan^2 a +4}]$
เนื่องจากฟังก์ชัน tan เป็นฟังก์ชันทั่วถึง จะได้ว่าค่าสูงสุดเเละต่ำสุดของ $g(x)=\frac{18tana-15}{tan^2 a +4}$ จะเหมือนกับ $h(x)=\frac{18x-15}{x^2 +4}$
หา $h'(x)=\frac{18(x^2 +4)-2x(18x-15)}{(x^2 + 4)^2}$ จับเท่ากับ $0$
$x = 3 , -\frac{4}{3}$ check ด้วยอนุพันธ์อันดับสองเเล้วจะได้
$h(3) = 3$ จะได้ $f(3) = 4$ เป็นค่าสูงสุด(สัมพัทธ์) เเละ $h(-\frac{4}{3}) = -\frac{27}{4}$ จะได้ $f(-\frac{4}{3}) = -\frac{7}{8}$ เป็นค่าต่ำสุด(สัมพัทธ์)

[แม่ให้บุญมา]

ที่ #82
ข้อ 76 ยกกำลังสอง ตรงกลางได้
2 +2sqrt((1-sin²(2x))=2+2cos2x=4cos²x ใส่ sqrt กลับเป็นตัวเดิม ได้
2|cosx| อสมการเดิมจึงแปลงรูปเป็น
2cosx ≤ 2|cosx| ≤ √2
2cosx ≤ 2|cosx| เป็นจริงเสมอ ในช่วงที่ cosx มีค่า -จะได้ 2cosx < |cosx|
ที่จุด 2|cosx|=√2 จะได้ x=TT/4,3TT/4, 5TT/4,7TT/4 จากอสมการจะได้ค่า
x = [TT/4, 3TT/4] ⋃ [5TT/4, 7TT/4]

ขอแก้ไขครับ เนื่องจาก ฟังก์ชันอยู่ในรูป fog ต้องคำนึงถึง range และ domain ของ g ด้วย ลองแทนค่า x=3TT/4+ และ x=5TT/4- แล้วใช้ได้ เพราะ <√2 และอยู่ในเงื่อนไขอสมการ พบว่า
คำตอบต้องเป็น
x=[TT/4,7TT/4]
ทั้งนี้เพราะถ้้าอยู่ในรูป 2|cosx| หมายความว่า รูปสัญญาณ ความถี่ที่สูงกว่าเป็น 2 เท่า คือ sin2x ถูกหักล้างโดยสิ้นเชิง ซึ่งไม่จริงทีเดียว

[-InnoXenT-]

กลับมาโพสท์โจทย์แล้วครับ

81. จงหาค่าของ จำนวนเต็ม $b$ และ $c$ ที่ทำให้ $\sqrt{19}+\sqrt{95}$ เป็นรากของสมการ $x^4+bx^2+c = 0$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...6&postcount=89

82. กำหนดให้ $x,y,z \in \mathbb{R}^+$ และ $x+y+z = xyz$ จงหาค่าสูงสุดของ

$$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...3&postcount=94

83. กำหนดให้ $x_1 = \frac{1}{2}, x_{k+1} == x_k^2+x_k$ จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า

$$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} + ... + \frac{1}{x_{100}+1}$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...2&postcount=90

84. $x,y,z \in \mathbb{R}$ ที่ทำให้

$$\frac{x+4}{2} = \frac{y+9}{z-3} = \frac{x+5}{z-5}$$

จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{x}{y}}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...5&postcount=91

85. ถ้า $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ จงพิสูจน์ว่า

$$\sin{2n\alpha}+\sin{2n\beta}+\sin{2n\gamma} = (-1)^{n+1}4\sin{n\alpha}\sin{n\beta}\sin{n\gamma}$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...9&postcount=92
http://www.mathcenter.net/forum/show...0&postcount=93

[artty60]

81. จงหาค่าของ จำนวนเต็ม b และ c ที่ทำให้ $ \sqrt{19}+\sqrt{95}$เป็นรากของสมการ $x^4+bx^2+c=0$

แทนค่าไปเลย $(\sqrt{19}+\sqrt{95})^4+b(\sqrt{19}+\sqrt{95})^2+c=0$

$(14\times 38^2+3\times 38b+c)+(6\times \times 38^2\sqrt{5}+38\sqrt{5}b)=0$

$\therefore b=-6\times 38=-228\quad$ และ $\quad c=4\times 38^2=5776$

[Suwiwat B]

ข้อ 83
จาก $x_{k+1}=x_k ^2 +x_k$
$\frac{1}{x_k (x_k +1)}=\frac{1}{x_{k+1}}$
$\frac{1}{x_k} - \frac{1}{x_k +1} = \frac{1}{x_{k+1}}$
เเทน $k=1,2,3,...,100$ เเล้วนำทุกสมการมาบวกกันจะได้
$\frac{1}{x_1} -$ โจทย์ $= \frac{1}{x_{101}}$
โจทย์ $= 2 - \frac{1}{x_{101}}$
ลองเเทนค่าดูจะพบว่า $x_{101} > 1$ จะได้ $0<\frac{1}{x_{101}}<1$
ทำให้ $1<2 - \frac{1}{x_{101}}<2$
ดังนั้น จำนวนเต็มมากสุดที่น้อยกว่าโจทย์ คือ $1$

[Suwiwat B]

84. ให้ทุกอันเท่ากับ $k$
จาก $\frac{x+4}{2} = k$ จะได้ $x=2k-4$
จาก $\frac{x+5}{z-5}=k$ จะได้ $z=\frac{7k+1}{k}$
จาก $\frac{y+9}{z-3}=k$ จะได้ $y=4k-8$
ดังนั้น $\frac{x}{y} = \frac{2k-4}{4k-8} = 0.5$