my math problem collection

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\dfrac{n^3+1}{n^5+1}\leq \dfrac{1}{n(n-1)}$ ทุก $n\geq 2$

มีหลักในการคิดไหมครับ หรือว่าต้องอาศัยประสบการณ์เอา (อย่าบอกว่าหลวงปู่มาเข้าฝันนะครับ )

ผมลองตัด $+1$ ทิ้ง เป็น $\dfrac{n^3+1}{n^5+1}< \dfrac{n^3}{n^5}=\dfrac{1}{n^2}$ ปรากฎว่าไม่จริง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$\displaystyle \sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1}=1+\sum_{n=2}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1}\leq 1+\sum_{n=2}^{100}\frac{1}{n(n-1)}=2-\dfrac{1}{100}$

เพิ่มเติมหน่อยครับ

$\displaystyle \sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1}=1+\sum_{n=2}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1}\leq 1+\sum_{n=2}^{100}\frac{1}{n(n-1)}<1+\sum_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(n-1)}=2$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

มีหลักในการคิดไหมครับ หรือว่าต้องอาศัยประสบการณ์เอา (อย่าบอกว่าหลวงปู่มาเข้าฝันนะครับ )

ผมลองตัด $+1$ ทิ้ง เป็น $\dfrac{n^3+1}{n^5+1}< \dfrac{n^3}{n^5}=\dfrac{1}{n^2}$ ปรากฎว่าไม่จริง

ผมก็ทำแบบนี้ครับ แล้วก็ลองคิดถึงอนุกรมง่ายๆที่สามารถหาผลบวกได้

ตอนแรกตั้งธงไว้ที่อนุกรมเรขาคณิต แต่อนุกรมเรขาคณิตลู่เข้าเร็วกว่าอยู่แล้วจึงล้มเลิกไป

[-InnoXenT-]

คิดไม่ถึงอีกแล้ว

[Suwiwat B]

เเต่อย่างของผมนี่คิดมากเกินไป เเล้วยังผิดอีก 5555

[-InnoXenT-]

ค้างข้อ 88. ไว้ก่อน ดูท่าจะยาก ผมคิดมานานละ คิดไม่ออก

ข้อ 88.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

88. จงพิสูจน์ว่า ในทุกๆจำนวนนับ $N$

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}} < 3$$

91. จงหาคู่อันดับ $(a,b)$ ที่ทำให้ สมการ

$$x^3-17x^2+ax-b^2=0$$

มีรากเป็นจำนวนเต็มบวก

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=120

92. กำหนดให้ $p,q,s,t\in \mathbf{Z}^+$ และ $0 < p < q < s < t$
$p,q,s$ เป็นลำดับเลขคณิต
$q,s,t$ เป็นลำดับเรขาคณิต
ถ้า $t-p = 30$ จงหาค่า $s+p+q+t$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=113

93. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้สมการ $\sqrt{3}z^{n+1}-z^n-1 = 0$ มีรากขนาด 1 หน่วยอย่างน้อย 1 ตัว

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=24

94. จงหา ห.ร.ม. ของ $5^{2547}-1$ และ $5^{2004}-1$

Solution

$gcd(5^{2547}-1,5^{2004}-1) = 5^{gcd(2547,2004)}-1 = 5^3 - 1 = 124$

95. จงหาจำนวนเต็มบวกคี่ $k$ ทั้งหมด ที่ทำให้ มีจำนวนเต็มบวก $m$ ซึ่ง

$$k+(k+5)+(k+10)+...+(k+5(m-1)) = 1372$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=115

96. ลบครับ ยากเกิน

97. ลบครับ ยากเกิน

98. จงแก้สมการ

$$x^3+3xy^2=49$$
$$x^2+8xy+y^2=8y+17x$$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=137

99. ถ้า $A_1$ เป็นพื้นที่ที่อยู่ใน $Q_1$ ถูกปิดล้อมด้วย $\displaystyle{\frac{x^2}{9}+y^2=1 , y=\frac{2}{3}x}$ และแกน $x$
และ $A_2$ เป็นพื้นที่ที่อยู่ใน $Q_1$ ถูกปิดล้อมด้วย $\displaystyle{\frac{x^2}{9}+y^2=1, y=mx}$ และแกน $y$
ถ้า $A_1 = A_2$ จงหาค่า $m$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=119

100. กำหนดให้ $a_1,a_2,...,a_6 \in \mathbf{R}$ และ $a_1\leq a_2\leq ...\leq a_6$ ถ้า $a_1+a_2+...+a_6 = 10$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{6}(a_n-1)^2=6}$ จงหาค่าสูงสุดของ $a_6$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=118

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

93. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้สมการ $\sqrt{3}z^{n+1}-z^n-1 = 0$ มีรากขนาด 1 หน่วยทุกตัว

ข้อนี้ โจทย์ TMO4 ต้องการแค่มีรากขนาดหนึ่งหน่วยอย่างน้อย $1$ ตัว

ยังต้องการให้โจทย์เป็นอย่างนี้รึเปล่าครับ ถ้าเป็นอย่างนี้จริงคาดว่าจะไม่มีคำตอบครับ

ขอแปะเฉลยจาก TMO4 ไว้ก่อนนะครับ

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=24

[Suwiwat B]

ข้อ 92. ผมคิดลำบากมากอะครับ น่าจะมีวิธีดีกว่านี้
เเปลงจาก $p,q,s,t$ เป็น $q-d,q,q+d,\frac{(q+d)^2}{q}$ โดย $d>0$
จาก $t-p=30$ จะได้ $\frac{(q+d)^2}{q}-(q-d)=30$
จัดรูปสักเล็กน้อย จะได้ $(d-10)(d+3q)=-10d$
$d+3q = -\frac{10d}{d-10}$ $..... (1)$
เนื่องจาก $d+3q$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $d-10<0$ เเละ $(d-10)|(10d)$
เเต่ $(d-10)|(10d-100)$ จะได้ $(d-10)|100$ นั่นคือ
$d-10 = -1,-2,-5,-10,-20,-50,-100$ เเต่ $d>0$ เช่นกันทำให้ได้
$d = 9,8,5$ เเทนใน $(1)$
กรณีที่ 1 $d=5$ จะได้ $5+3q=10$ จะได้ $q$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
กรณีที่ 2 $d=8$ จะได้ $8+3q=40$ จะได้ $q$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม
กรณีที่ 3 $d=9$ จะได้ $9+3q=90$ จะได้ $q=27$ ได้ลำดับ $18,27,36,48$ จะได้ $p+q+s+t = 129$ ###

[~ArT_Ty~]

ข้อ 94 มีทฤษฎีนี้อ้างอยู่ครับ ลองพิสูจน์ดูก็ได้ครับ

ให้ $a,m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a \not= 1$ จะได้ว่า
$$(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1$$

[Suwiwat B]

ข้อ 95. ถึกไปหน่อยนะครับ
จะได้ $km+\frac{5m(m-1)}{2} = 1372$
$m(2k+5m-5) = 2^3 \times 7^3$ เเยกกรณีออกมาให้หมด จะเห็นว่า
ถ้า $m$ เป็นเลขคู่ จะมีเเค่ $m=8$ เเละจะได้ $k=154$ ซึ่งไม่สอดคล้องกับโจทย์ กรณีอื่นๆจะได้ $k$ ที่ไม่เป็นจำนวนคี่บวก (อันนี้ไม่เเน่ใจเท่าไร)
ถ้า $m$ เป็นเลขคี่ จะมี $4$ เเบบคือ $m=1,7,49,343$
ตรวจสอบเเล้วจะได้เเค่ $m=7$ ทำให้ได้ $k=181$ เท่านั้น ###

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อนี้ โจทย์ TMO4 ต้องการแค่มีรากขนาดหนึ่งหน่วยอย่างน้อย $1$ ตัว

ยังต้องการให้โจทย์เป็นอย่างนี้รึเปล่าครับ ถ้าเป็นอย่างนี้จริงคาดว่าจะไม่มีคำตอบครับ

ขอแปะเฉลยจาก TMO4 ไว้ก่อนนะครับ

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=24

ใช่ครับ ผมพิมพ์ผิดครับ ขอโทษครับ

[-InnoXenT-]

เพิ่มโจทย์ถึงข้อ 100. รวมถึงข้อ 88. ที่ยังแก้ไม่ได้ด้วยนะครับ บังเอิญไม่ว่างจนถึงวันพุธเลย

[Suwiwat B]

100. เคยเห็นสักที่ .. จำไม่ได้ละ เเต่จำวิธีได้
จาก $\sum_{n = 1}^{6}(a_i -1)^2 = 6$ จะได้ $\sum_{n = 1}^{6}(a_i)^2 =20$
ใช้อสมการโคชี $|a_1 +a_2+a_3+a_4+a_5|\leqslant \sqrt{a_1 ^2+a_2 ^2+a_3 ^2+a_4 ^2+a_5 ^2}\sqrt{1^2 +1^2 +1^2 +1^2 +1^2}$
$|10-a_6| \leqslant \sqrt{5}\sqrt{20-a_6 ^2}$
ยกกำลังสอง จัดรูป เเก้อสมการออกมาได้ $0\leqslant a_6 \leqslant \frac{10}{3}$ จะได้ว่าค่าสูงสุดของ $a_6$ คือ $\frac{10}{3}$ ###

[Suwiwat B]

เหมือนมาปลุกกระทู้ ข้อ 99. นะครับ
ไปเห็นวิธีเเปลกๆมา ไม่รู้ว่าจะใช้ได้หรือเปล่าจาก

http://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo...n/psol942.html

เเปลงให้จุด $(x,y)$ ไปอยู่ที่ $(x,3y)$ เพื่อที่จะทำให้วงรีเป็นวงกลม เเละเปลี่ยนสมการ $y=\frac{2}{3}x$ เป็น $y=2x$
เเละเปลี่ยนสมการ $y=mx$ ไปเป็น $y=3mx$
เมื่อลองวาดรูป จะพบว่า พื้นที่ $A_1$ จะเท่ากับ $A_2$ ได้ก็ต่อเมื่อเส้นตรง $y=3mx$ คือเส้นตรงที่เป็นเส้นสะท้อนของสมการ $y=2x$ ผ่านเส้นตรง $y=x$ ซึ่งนั่นคือ $x=2y$ หรือ $y=\frac{1}{2}x$ นั่นคือ
$\frac{1}{2} = 3m$ จะได้ $m=\frac{1}{6}$

[Suwiwat B]

ข้อ 91 ถ้าเปลี่ยนคำถามเป็น"มีรากทุกตัวเป็นจำนวนเต็มบวก"จะง่ายขึ้นมากเลยอะครับ ถ้า"มี"รากเป็นจำนวนเต็ม มันก็มีจำนวนเดียวก็ได้หรือเปล่าครับ เพราะมันก็ถือว่า "มี" เเล้ว เช่น $x=0$ จะได้ $a$ ออกมาหลายค่าขึ้นกับว่ารากที่เหลือเป็นอะไร (ขี้เกีขจคิดเพราะมันเยอะมาก )

ให้รากเป็น $p,q,r$ โดย $p\geqslant q\geqslant r$ จะได้
$p+q+r=17 , pq+qr+rp = a , pqr=b^2$ ดังนั้นต้องหาจำนวนเต็มบวก 3 จำนวนที่บวกกันได้ 17 เเละผลคูณเป็นกำลังสองสมบูรณ์ของจำนวนเต็ม
ไล่ๆ ไปก็จะได้ว่ามันมี 4 ชุดคำตอบ $(p,q,r) = (8,8,1) , (8,6,3) , (9,4,4) , (10,5,2)$
ทำให้ได้ $a=80,90,88,80$ เเละ $b^2 = 64,144,144,100$ ตามลำดับ
ดังนั้นคู่อันดับ $(a,b) = (80,8),(80,-8),(90,12),(90,-12),(88,12),(88,-12),(80,10),(80,-10)$

[-InnoXenT-]

คุณ Suwiwat B มาปลุกกระทู้จริงๆครับ ความจริงช่วงนี้ผมก็แวะเข้ามาดูบ้างเป็นครั้งเป็นคราว แต่ไม่มีโอกาสได้คัดเลือกโจทย์มาโพสท์เลย เพราะว่า ผมติดโปรเจคอยู่ครับ ต้องเข้า Conference อีกไม่กี่อาทิตย์แล้วด้วย ผมจะจบแล้ว ก็เลยเหนื่อยหน่อยน่ะครับ เลยไม่มีโอกาสมาเพิ่มโจทย์เลย

ข้อ 99. ผมลองเช็คดูแล้ว คิดว่าใช้ได้นะครับ
ข้อ 91. ผมพิมพ์ผิดจริงๆครับ ขอบคุณ และขอโทษด้วยครับ