my math problem collection

[Suwiwat B]

ข้อ 98 คิดมานานเเล้วครับ ได้เท่านี้จริงๆ
จากสมการเเรกจะได้ $y^2 = \frac{49-x^3}{3x}$ ____ A
จาก $x^2 + 8xy+y^2 = 8y+17x$ จะได้ $x^2-17x+y^2 = y(8-8x)$ ยกกำลังสองอย่างบ้าคลั่ง
$x^4 + 289x^2+y^4-34x^3+2x^2y^2-34xy^2 = y^2(64-128x+64x^2)$
เเทนค่า $y^2$ ที่ได้ลงไป จัดรูป จะได้
$(196x^5 - 392x^4 + 2209x^3 - 7003x^2 +7007x-2401)(x-1)=0$
ได้ $x=1$ กับสมการตัวใหญ่ด้านหน้าซึ่งมีคำตอบเป็นจำนวนจริง 1 จำนวนซึ่งไม่น่าพิสมันสักเท่าไร
$x=1$ เเทนลงไปใน A จะได้ $y=4,-4$
มีวิธีที่ดีกว่านี้ก็เสนอเลยครับ ต้องการมาก

[-InnoXenT-]

101. ถ้า $a,b,k \in \mathbf{I}^+$ และเราสามารถเขียนจำนวน $a^a\times b^b$ ได้ในรูปของ $k\times 10^{98}$ จงหาคู่อันดับที่เป็นไปได้ $(a,b)$ ที่ $a\times b$ มีค่าน้อยที่สุด

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=129

102. กำหนดให้ $A = \left[ a_{ij} \right]_{n\times n}$ โดยที่ $a_{ij} = \left| i-j\right|$ จงพิสูจน์ว่า

$$det(A) = (-1)^{n-1}(n-1)\times{2^{n-2}}$$

Solution

http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol692.html

103. กำหนดให้ $x + y +z = a, x^2+y^2+z^2 = b^2$ และ $xy = z^2$ จงหาเงื่อนไขความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b$ ที่ทำให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก ที่แตกต่างกัน

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=132

104. ถ้า $f(1) = 1996$ และ $f(1)+f(2)+...+f(n) = n^2f(n)$ เมื่อ $n > 1$ และ $n \in \mathbf{I}$ จงหา $f(1996)$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=124

105. กำหนดให้ $a \in \mathbf{R}$ และ $x^4-2x^3+x^2+ax+20 = 0$ เป็นสมการพหุนามที่มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกซ้ำกันสองราก และรากอีกสองราก ไม่เป็นจำนวนจริง จงหาค่า $a$ ที่เป็นไปได้

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...&postcount=125

[Slow_Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

104. ถ้า $f(1) = 1996$ และ $f(1)+f(2)+...+f(n) = n^2f(n)$ เมื่อ $n > 1$ และ $n \in \mathbf{I}$ จงหา $f(1996)$

จัดรูปให้สวยๆก่อน $(n-1)f(n-1)+f(n) = n^2f(n)$
เมื่อ $n >1$ จะได้ $\frac{f(n)}{f(n-1)}= \frac{n-1}{n+1}$

ถ้า $n=2$ จะได้ $\frac{f(2)}{f(1)}= \frac{1}{3}$
ถ้า $n=3$ จะได้ $\frac{f(3)}{f(2)}= \frac{2}{4}$
.
.
.
ถ้า $n=1996$ จะได้ $\frac{f(1996)}{f(1995)}= \frac{1995}{1997}$

นำมาคูณกันทั้งหมดและแทนค่า $f(1) = 1996$ จะได้ $\dfrac{f(1996)}{1996} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \cdot \cdot \dfrac{1995}{1997} $
เพราะฉะนั้น $f(1996) = \dfrac{3992}{1997} $

[Slow_Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

105. กำหนดให้ $A \in \mathbf{R}$ และ $x^4-2x^3+x^2+Ax+20 = 0$ เป็นสมการพหุนามที่มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกซ้ำกันสองราก และรากอีกสองราก ไม่เป็นจำนวนจริง จงหาค่า $A$ ที่เป็นไปได้

ขอแก้ $a$ ในโจทย์ เป็น $A$ นะครับ
สมมุติให้รากทั้งสี่ของสมการ $x^4-2x^3+x^2+Ax+20 = 0$ คือ $a,a,b+ci,b-ci$

จากทฤษฎีผลบวกผลคูณของราก พิจารณา สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ จะได้ว่า $a^2+4ab+b^2+c^2 = 1$
พิจารณา สัมประสิทธิ์หน้า $x^0$ และ $x^3$ จะได้ว่า $a^2(b^2+c^2) = 20$ และ $a+b = 1$ ตามลำดับ

จากนั้นก็แก้สมการ ... จะได้ว่า $a^2+4a(1-a)+\frac{20}{a^2}= 1$
$3a^4-4a^3-20+a^2 = 0$ เห็นได้ชัดเจนว่า $a=2$ เป็นราก
จะได้ $3a^4-4a^3+a^2-20= (a-2)(3a^3+2a^2+5a+10)=0$
เนื่องจากโจทย์กำหนดว่า $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ $3a^3+2a^2+5a+10 > 0$ เพราะฉะนั้นรากที่สอดคล้องจึงมีเพียง $a=2$ เท่านั้น ทำให้ $b=-1$ และ $c=\pm 2$

เพราะฉะนั้นรากคือ $2,2,-1+2i,-1-2i$
ค่า $A$ ที่เป็นไปได้คือ $-12$

[Slow_Math]

ข้อ 103 กำหนดให้ $x + y +z = a, x^2+y^2+z^2 = b^2$ และ $xy = z^2$ จงหาเงื่อนไขความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b$ ที่ทำให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก ที่แตกต่างกัน
ผมได้เงื่อนไขว่า $a^2>3b^2$ ไม่มั่นใจเหมือนกันครับ

unsure solution

พิจารณา $x+y+z =a$ เนื่องจาก $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่แตกต่างกัน และจาก Am-GM inequality

จะได้ $x+y+z > 3\sqrt[3]{xyz}= 3z$ นั่นคือ $a > 3z $ ทำให้ $a^2>9z^2$ ---(1)

พิจารณา $x^2+y^2+z^2 = b^2$ จาก Am-Gm inequality
จะได้ $x^2+y^2+z^2 > xy+yz+zx = z^2+z(x+y) > z^2+2z^2 = 3z^2$ นั่นคือ $b^2 > 3z^2$ --(2)

นำ (1) หารด้วย (2) จะได้ $a^2 > 3b^2$

[PP_nine]

มาเฉลยข้อ 88 ให้ครับ โจทย์ตอนแรกดูน่ากลัว แต่ทำไปทำมาออกซะงั้น

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

88. จงพิสูจน์ว่า ในทุกๆจำนวนนับ $n>1$

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}}} < 3$$

ทำผิดครับ

ขอแก้โจทย์เพิ่มเป็น $n>1$ นะครับ จะได้ครบถ้วน

สังเกตว่า $\sqrt{2} < 3$ ดังนั้น มี $n\in\mathbb{N}-\{ 1 \}$ ซึ่งทำให้โจทย์เป็นจริง

โดย contradiction สมมติว่ามี $n>2$ ซึ่งเป็นจุดเปลี่ยนอสมการ

กล่าวคือ $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n-1}}}} <3$ แต่ $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n}}}} \ge 3$

คูณสองอสมการเข้าด้วยกัน เป็น $$3\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n-1}}}} < 3\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n}}}}$$
$$(n-1)^{1/2^{n-2}} < n^{1/2^{n-1}}$$
$$(n-1)^2 < n$$
ซึ่งอสมการดังกล่าว มีจำนวนเต็มที่สอดคล้องเพียง $1,2$ เท่านั้น

แสดงว่าไม่มี $n>2$ ซึ่งเป็นจุดเปลี่ยนอสมการ

หรือก็คือ $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n}}}}<3$ เสมอ ตามต้องการ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slow_Math

ข้อ 103 กำหนดให้ $x + y +z = a, x^2+y^2+z^2 = b^2$ และ $xy = z^2$ จงหาเงื่อนไขความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b$ ที่ทำให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก ที่แตกต่างกัน
ผมได้เงื่อนไขว่า $a^2>3b^2$ ไม่มั่นใจเหมือนกันครับ

unsure solution

พิจารณา $x+y+z =a$ เนื่องจาก $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่แตกต่างกัน และจาก Am-GM inequality

จะได้ $x+y+z > 3\sqrt[3]{xyz}= 3z$ นั่นคือ $a > 3z $ ทำให้ $a^2>9z^2$ ---(1)

พิจารณา $x^2+y^2+z^2 = b^2$ จาก Am-Gm inequality
จะได้ $x^2+y^2+z^2 > xy+yz+zx = z^2+z(x+y) > z^2+2z^2 = 3z^2$ นั่นคือ $b^2 > 3z^2$ --(2)

นำ (1) หารด้วย (2) จะได้ $a^2 > 3b^2$

ถ้า $x>y$ และ $z>w$ แต่ไม่จำเป็นที่ $\frac{x}{z}>\frac{y}{w}$ นี่ครับ

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

101. ถ้า $a,b,k \in \mathbf{I}^+$ และเราสามารถเขียนจำนวน $a^a\times b^b$ ได้ในรูปของ $k\times 10^{98}$ จงหาคู่อันดับที่เป็นไปได้ $(a,b)$ ที่ $a\times b$ มีค่าน้อยที่สุด

สังเกตว่า $a^a\times b^b\mid 1^1\times(ab)^{ab}$
จึงได้ว่าถ้าสามารถเขียนจำนวน $a^a\times b^b$ ได้ในรูปของ $k\times 10^{98}$ แล้วจะสามารถเขียน
$(ab)^{ab}$ ในรูปของ $m\times 10^{98}$ สำหรับบางจำนวนเต็ม m
จึงสามารถพิจารณาเพียงคู่อันดับในรูป (1,n) เท่านั้น
ถ้า n<98 จะได้ว่ากำลังสูงสุดของ 10 ที่ไปหาร n คือ 1 ทำให้กำลังสูงสุดของ 10 ที่ไปหาร $n^n$ มีค่า $\le n$ ดังนั้น $10^98\nmid n^n$
ถ้า n=98,99 เห็นได้ชัดว่า $10^{98}\nmid n^n$
จาก $10^{98}\mid 100^{100}$ จึงได้ว่า 100 เป็นค่า n ที่ต่ำที่สุด
จาก $10^{98}\nmid a^a\times b^b$ เมื่อ a>1,ab=100
จึงได้ว่า (1,100),(100,1) เป็นคู่อันดับที่เป็นคำตอบทังหมด

[Sirius]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

$$3\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n-1}}}} < 3\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{n}}}}$$
$$(n-1)^{1/2^{n-2}} < n^{1/2^{n-1}}$$
$$(n-1)^2 < n$$

ตรงสีแดงมันได้แค่ว่า $1 < n^{1/2^{n-1}}$ ไม่ใช่เหรอครับ

[PP_nine]

อ้อ จริงด้วยครับ เบลอไปหน่อย

[Suwiwat B]

ข้อ 103. นะครับ
ถ้าหาก $a=0$ จะได้ $(x,y,z)=(0,0,0) $
ถ้า $a\not= 0$ จะได้ $a^2 = b^2 + 2(xy+yz+zx)$ จะได้ $z=\frac{a^2 - b^2}{2a}$
เเละจะได้ $x+y = a-z = \frac{a^2 + b^2}{2a}$
นั่นคือ $x,y$ เป็นรากของสมการ $t^2 - (\frac{a^2 + b^2}{2a}) + [\frac{a^2 - b^2}{2a}]^2 = 0$
จัดรูปสมการได้ $4a^2t^2 - 2a(a^2+b^2)t+(a^2-b^2)^2=0$
$t=\frac{2a(a^2+b^2)\pm \sqrt{a^2 (3a^2-b^2)(3b^2-a^2)} }{2(4a^2)}$
$t=\frac{(a^2+b^2) \pm \sqrt{(3a^2-b^2)(3b^2-a^2)}}{4a}$

พิจารณาค่า $t$ พบว่าค่า $t$ จะเป็นบวกได้เมื่อ $(3a^2-b^2)(3b^2-a^2)\geqslant 0$ เเละ $a>0$
พิจารณาจาก $z$ จะได้ว่า $z$ จะเป็นบวกได้ก็ต่อเมื่อ $a^2 - b^2 > 0$ นั่นคือ $a^2 > b^2$
เมื่อนำมาพิจารณาร่วมกัน จาก $a^2 > b^2$ ทำให้ $3a^2 -b^2 > 0$ ทำให้ $3b^2 - a^2 >0 $

เมื่อนำมารวมกันจะได้ $3b^2 > a^2 > b^2$ เเละ $a>0$ เป็นเงื่อนไข

[hydralisk]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

88. จงพิสูจน์ว่า ในทุกๆจำนวนนับ $N$

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}} < 3$$

ข้อ88. ใช้ Am-Gm นะครับออกแน่นอน

ขั้นแรกกำหนดข้อมูลชุดหนึ่งคือ i จำนวน $2^{n-i}$ สำหรับ i= 2,3,4,5,...,n และ 1 อีก1ตัว

จาก Am-Gm จะได้ว่า
$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}} \leqslant \frac{2(2^{n-2})+3(2^{n-3})+...+(n-1)(2^1)+n+1}{2^{n-1}} = \frac{3(2^{n-1})-(n+1)}{2^{n-1}} < 3$
ครับ

[hydralisk]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ข้อ 89. ผมคิดมั่วๆออกมาเเบบนี้นะครับ
$\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5 +1} < \sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5} < \int_{1}^{100}\frac{x^3 +1}{x^5 }dx = A$
อินทิเกรตหาค่า $A$ ออกมาได้ $A = \frac{5}{4} - \frac{1}{100}-\frac{1}{4 \times 100^4} < 2$

ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5 +1} < 2$ เเปลกๆ !!!

ผมว่า
$\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5} > \int_{1}^{100}\frac{x^3 +1}{x^5 }dx$
นะครับถ้าเริ่มอินทริเกรดจาก1 เพราะ $\frac{x^3 +1}{x^5 }$ เป็นฟังก์ชั่นลด ในช่วง x>0 อ่ะครับ
ไม่รู้นะครับไม่มั่นใจเหมือนกัน

[Suwiwat B]

อันนั้นผมเข้าใจอะไรบางอย่างผิดไปอะครับ ... ตอนนี้โอเคเเล้ว
เเต่ AM-GM นี่คาดไม่ถึงจริงๆครับ

[Slow_Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ hydralisk

ข้อ88. ใช้ Am-Gm นะครับออกแน่นอน

ขั้นแรกกำหนดข้อมูลชุดหนึ่งคือ i จำนวน $2^{n-i}$ สำหรับ i= 2,3,4,5,...,n และ 1 อีก1ตัว

จาก Am-Gm จะได้ว่า
$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}} \leqslant \frac{2(2^{n-2})+3(2^{n-3})+...+(n-1)(2^1)+n+1}{2^{n-1}} = \frac{3(2^{n-1})-(n+1)}{2^{n-1}} < 3$
ครับ

the best solution