อสมการพหนามและโจทย์ช่วยดูหนอยครับ

[Jew]

สำหรับจำนวน่จริง $a,b$
จะได้ว่า
$a^2+b^2\geqslant 2ab$
ในทำนองเดียวกันจะไดว่า
$a^2+b^2+c^2ab+bc+ca$
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc\geqslant 3abc$


คำถามที่ผมสงสัยก็คือ
1.อสมการข้างบนเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริงa,b,c ซึ่งสอดคล้องกับ a+b+c> หรือ = 1 ใช่รหือไม่ครับ
2.ถ้า a,b,c เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ
a+b+c=1
$a^2+b^2+c^2=2$
จะได้ว่าค่าสูงสุดของ $abc=\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ ใช่หรือไม่ถ้าเราสามารถหาค่าจำนวนจริง
$a,b,c ่ที่สอดคล้องกับ a+b+c=1 a^2+b^2+c^2 และabc=abc=\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
ต่อไม่เป็นโจทย์พหุนามนะครับ
1.ให้$ x,y,z$ เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับสมการ $x+y+z=5$ และ $xy+yz+zx=3$
จงหาค่ามากที่สุดของ $x,y,z$ ที่จะเป็นไปได้
(จากหนังสือพีชคณิตสอวน)
2.$ให้ x_1,x_2+x,3,..........,x_n$ เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับสมการ $x_1+x_2+x_3+........x_n =a$
และสมการ$\sum_{1\leqslant i\prec j\leqslant n}^{n}x_ix_j =b^2$ จงหาค่ามากที่สุดของ $x_1,x_2,x_3,...........,x_n$ ที่จะเป็นไปได้
3.ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนคงค่าที่แตกต่างกันทั้งหมดจงหาค่า $x,y,w,z$ที่สอดคล้องกับระบบสมการ
$x+ay+a^2z+a^3w=a^4$
$x+by+b^2z+b^3w=b^4$
$x+cy+c^2z+c^3w=c^4$
$x+dy+d^2z+d^3w=d^4$

ถ้าเป้นไปได้ขอ solution เลยได้ไหมครั
ขอบคุณมากคับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

1.ให้$ x,y,z$ เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับสมการ $x+y+z=5$ และ $xy+yz+zx=3$
จงหาค่ามากที่สุดของ $x,y,z$ ที่จะเป็นไปได้

3.ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนคงค่าที่แตกต่างกันทั้งหมดจงหาค่า $x,y,w,z$ที่สอดคล้องกับระบบสมการ
$x+ay+a^2z+a^3w=a^4$
$x+by+b^2z+b^3w=b^4$
$x+cy+c^2z+c^3w=c^4$
$x+dy+d^2z+d^3w=d^4$

สำหรับข้ออื่นแก้คำให้ชัดเจนก่อนครับ

สองข้อนี้คำถามสมบูรณ์แล้ว

1. ใช้อสมการนี้ $ab\leq\dfrac{1}{4}(a+b)^2$

วิธีที่ 1

$x^2=(x+y)(x+z)-(xy+yz+zx)$

$~~~=(x+y)(x+z)-3$

$~~~\leq\dfrac{1}{4}(2x+y+z)^2-3$

$~~~=\dfrac{1}{4}(x+5)^2-3$

วิธีที่ 2

แทนค่า $y+z=5-x$ ในอีกสมการจะได้

$3=x(y+z)+yz$

$~~=x(5-x)+yz$

$~~\leq x(5-x)+\dfrac{1}{4}(y+z)^2$

$~~= x(5-x)+\dfrac{1}{4}(5-x)^2$

สุดท้ายทั้งสองวิธีนี้จะไปจบที่อสมการ

$3x^2-10x-13\leq 0$

ที่เหลือก็แก้อสมการหาขอบเขตของ $x$

ขอบเขตของ $y,z$ ก็จะได้เหมือนกัน

3. ลองพิจารณาสมการพหุนาม

$t^4-wt^3-zt^2-yt-x=0$

เห็นได้ชัดว่า $a,b,c,d$ คือคำตอบของสมการ

ดังนั้นโดยความสัมพันธ์ของรากและ ส.ป.ส. จะได้

$x= ?$

$y=?$

$z=?$

$w=?$

[Jew]

ขอบคุณมากครับ