พี่กรช่วยตอบกระทู้หน่อย

[gnopy]

พี่กรช่วยตอบคำถามเหล่านี้ด้วยครับ

[gnopy]

มีต่อครับ

[M@gpie]

อ่า ขออนุญาตตอบละกันนะครับหวังว่าคงไม่ว่ากัน ( พี่กรงานคงยุ่งๆ )
ข้อ1. และ 2. ถูกต้องทั้งสองความสัมพันธ์แหละครับ แต่ถ้าจะให้ถูกทั้งหมดควรมีบวกลบข้างหน้าด้วยนะครับ พิสูจน์ได้ดังนี้ครับ
จาก \( \cos 2A = 2\cos^2A-1 \rightarrow \cos^2A = \frac{1+\cos 2A}{2} \)
ให้ \( A=\frac{\theta}{2} \) ก็จะได้ว่า \( \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos \theta}{2} \) เรียกว่าเป็นสูตรทอนกำลังนะครับ
ส่วนข้อ 2. จาก \( \cos 2A = 1-2\sin^2A \rightarrow \sin^2 A = \frac{1-\cos 2A}{2} \)
ให้ \( A=\frac{\theta}{2} \) ก็จะได้ว่า \( \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2} \)


ข้อ3. จัดกำลังสองสมบูรณ์กันเล็กน้อยครับ (ผมทำแล้วทำไมไม่มีเทอมตรงกลางไม่รู้ลองเช็คดูนะครับ)
\( \begin{array}{rcl} \sin^8 A +\cos^8 A & = & \sin^8 A +2\sin^4 A \cos^4 A + \cos^8 A - 2\sin^4 A \cos^4 A \\ & = & 1 - 2\sin^4A \cos^4A = 1-\frac{1}{8} \sin^4 2A \end{array} \)

ข้อ4. ค่าของตรีโกณสำหรับมุมลดลงทีละ k เท่า อาจจะไม่ได้เป็นรูปแบบเหมือนกันสำหรับทุก k ครับ แล้วก็อาจจะไม่ใช่สูตรที่น่าจำซักเท่าไร แต่ถ้าลองดูก็คิดว่าน่าจะทำได้ครับ อันนี้ต้องรอผู้รู้มา ยืนยัน

ข้อ5. ตัวเลขหลังค่า tan เป็นองศาใช่รึเปล่าครับ หาได้จาก
\( | \tan \frac{A}{2}| = |\frac{\sin \frac{A}{2}}{ \cos\frac{A}{2} }| = \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}\) ใช้ \( A= 30^o \) ก็สามารถหาค่า \( \tan 15^o \) ได้ครับ
ปล. ขออภัยที่ตอนแรกพิมสูตรผิดครับ

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
\( \cos^2 \theta = \frac{1+\cos \theta}{2} \)
\( \sin^2 \theta = \frac{1-\cos \theta}{2} \)

\( \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2} \)

\( \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos \theta}{2} \)

$$ \tan \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{\sin A}=\csc A-\cot A=\frac{\sin A}{1+\cos A}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}=... $$

สูตร tan (A/2) ใช้ได้เหมือนกันทุกสูตรครับ

$$\tan 15^\circ =\tan(\frac{30}{2})^\circ=\frac{1-\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}=(1-\frac{\sqrt3}{2})/ \frac{1}{2}=2-\sqrt3$$

[Mastermander]

$$ \because\; \sin^2a+\cos^2a=1 $$ ยกกำลัง2
$$ \sin^4a+2\sin^2a\cos^2a+\cos^4a=1 $$
$$ (\sin^4a+\cos^4a)^2=(1-\frac{\sin^22a}{2})^2 $$
$$ \sin^8a+2\sin^4a\cos^4a+\cos^8a=1-\sin^22a+\frac{\sin^42a}{4}$$
$$ \because\, \sin^42a=2^4\sin^4a\cos^4a $$
$$ \therefore\ 2\sin^4a\cos^4a=\frac{\sin^42a}{8} $$
$$ \sin^8a+\frac{\sin^42a}{8}+\cos^8a=1-\sin^22a+\frac{\sin^42a}{4} $$

$$ \therefore\;\sin^8a+\cos^8a=1-\sin^22a+\frac{\sin^42a}{8} $$

[gon]

ใครตอบส่วนไหนได้ ช่วยกันตอบเลยครับ

[Mastermander]

$$ \sin3a=\sin(2a+a)=\sin 2a\cos a+\cos 2a\sin a $$
$$ =2\sin a\cos^2a+(1-2\sin^2a)\sin a $$
$$ =2\sin a(1-\sin^2a)+\sin a-2\sin^3a $$
$$ =2\sin a -2\sin^3a+\sin a -2\sin^3a $$
$$ \sin(3a)=3\sin a-4\sin^3a $$

$$\sin 5a=\sin(3a+2a)=\sin 3a\cos 2a + \cos 3a\sin 2a $$
$$ =(3\sin a-4\sin^3a )(1-2\sin^2a)+(4\cos^3a-3\cos a )(2\sin a\cos a) $$
$$ =8\sin^5a-10\sin^3a+3\sin a+(4\cos^2a-3)(2\sin a)(1-\sin^2a) $$
$$ =8\sin^5a-10\sin^3a+3\sin a+(2\sin a-2\sin^3a)(1-4\sin^2a) $$
$$ =8\sin^5a-10\sin^3a+3\sin a+8\sin^5a-10\sin^3a+2\sin a $$
$$ \sin 5a=16\sin^5a-20\sin^3a+5\sin a $$

[Mastermander]

จงพิสูจน์ว่า
$$2\cos\frac{A}{2^n}= \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots\sqrt{2+2\cos A}}}}}_{n\; \text{time}} $$