#1
|
||||
|
||||
Inverse modulo
ขอยกโจทย์มาจาก (Shortlist)TMO6 ละกันครับ
ให้ $p\ge 5$ และเป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $\frac{a}{b}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ $$\displaystyle \frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{(p-1)^2}=\frac{a}{b}$$ จงพิสูจน์ว่า $p|a$ ขอวิธีคิดแบบ inverse modulo หน่อยครับไม่ค่อยเข้าใจ |
#2
|
||||
|
||||
ลองใช้แบบมอดุโลธรรมดาหรือยังอ่ะครับ?? เพราะอินเวอร์สมอดุโลมันค่อนข้างยากด้วยครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#3
|
||||
|
||||
นี่ใช้ Wolstenholme's Theorem รึเปล่าครับ
|
#4
|
||||
|
||||
#3
ลองแสดงให้ดูหน่อยครับ |
#5
|
|||
|
|||
อยากเห็นวิธีแก้ด้วยวิธีเรขาคณิต ฮะ น้องๆ คนไหนเก่งช่วยแสดงหน่อยครับ
|
#6
|
||||
|
||||
inverse modulo p (p is prime)
อันนี้จะเกริ่นนำพื้นฐานเล็กน้อย พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า inverse ของ 1,2,...,p-1 mod p คือการเรียงสับเปลี่ยนของตัวมันเอง (โดย contradiction ว่ามีบางคู่ inverse เท่ากัน) ต่อมาก็พิสูจน์ว่า inverse ของ $1^2,2^2,...,(p-1)^2$ แตกต่างกันเพียง $\frac{p-1}{2}$ แบบ (เพราะ $k^2\equiv (p-k)^2 (mod p)$) โดย inverse ของ $1^2,2^2,...,(\frac{p-1}{2})^2$ ก็คือการเรียงสับเปลี่ยนของตัวมันเองเหมือนกัน ใช้ผลอันสุดท้ายเนี่ยแหละมาช่วย จากเดิมคูณ $4b[(\frac{p-1}{2} )!]^2$ ทั้งสองข้างสมการ ได้ $b[(\frac{p-1}{2} )!]^2[\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +...+\frac{1}{(\frac{p-1}{2} )^2} ]= 4a[(\frac{p-1}{2} )!]^2$ lemma : $[(\frac{p-1}{2} )!]^2\equiv (-1)^\frac{p+1}{2} (mod p)$ $\therefore RHS\equiv 4a,-4a (mod p)$ ชัดเจนว่า $[\frac{(\frac{p-1}{2})!}{k}]^2\equiv [(\frac{p-1}{2})!]^2[k^{-1}]^2 (mod p)$ $\therefore LHS\equiv b[(\frac{p-1}{2})!][(1^{-1})^2+(2^{-1})^2+...+((\frac{p-1}{2})^{-1})^2] (mod p)$ ตามข้างต้นได้ว่า inverse ก็คือการเรียงสับเปลี่ยนของมันเอง $\therefore LHS\equiv b(-1)^{\frac{p-1}{2}}[1^2+2^2+...+(\frac{p-1}{2})^2] (mod p)$ พิจารณา $1^2+2^2+...+(\frac{p-1}{2})^2 = \frac{(\frac{p-1}{2})(\frac{p+1}{2})}{6}(p)$ แต่สำหรับ $p\geqslant 5, p^2\equiv 1 (mod 24)$ $\therefore LHS\equiv 0 (mod p) \Rightarrow p|4a$ or $p|-4a$ แต่ $p\geqslant 5, p|a \ \square$
__________________
keep your way.
06 พฤษภาคม 2011 19:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#7
|
||||
|
||||
เห็นมีคนมาถามผมก็เลยพิสูจน์อันนี้มาให้ด้วย ลองดูคับๆ
__________________
keep your way.
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Inverse modulo | {([?])} | ทฤษฎีจำนวน | 1 | 07 กุมภาพันธ์ 2011 13:11 |
จะหา inverse ยังไงครับ | Math_M | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 1 | 08 กรกฎาคม 2010 23:01 |
ทวินาม vs Modulo | sharkyboy | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 1 | 09 มิถุนายน 2009 23:40 |
ช่วยกันรวมสูตร modulo | expol | ทฤษฎีจำนวน | 1 | 29 มิถุนายน 2008 12:20 |
ลองชิมดู: inverse-square law & ODE | Redhotchillipepper | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 6 | 18 มกราคม 2007 12:48 |
|
|