|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ
1.กำหนด $m\le n$ เมื่อ $m,n\in\mathbb{N}$ โดย $gcd(m,n)=1$ เเละ $mn=25!$
เเล้ว $(m,n)$ มีกี่คู่อันดับ 2.กำหนดฟังก์ชันพหุนามกำลัง $8$ คือ $f$ เเละ $f(m)=\dfrac{1}{m}$ ทุกๆ $m=1,2,..,9$ จงหา $f(10)$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จากนั้นแยกเป็น $m$ และ $n$ โดยต้องนำจำนวนเฉพาะนั้นๆไปด้วยกันทั้งหมด จะแยกได้ $2^9$ (กลุ่มจำนวนที่มากกว่า จะเป็น $n$ โดยอัตโนมัติ) -------- edit : จากที่คิดแบบ $2^9$ มันคือการคิดโดยระบุตำแหน่ง เพื่อไม่ให้เจาะจง ต้องหารด้วย 2! น่าจะตอบ $2^8$
__________________
แข่งคณิตฯ คิดได้ ง่ายดายเหลือ แข่งทุกเมื่อ ร้อนแรง แจ้งประจักษ์ รับรางวัล หลากหลาย มากมายนัก แต่แข่งรัก ยากแท้ แพ้ใจเธอ 16 สิงหาคม 2012 22:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ MiNd169 เหตุผล: ทำต่อจากเดิม |
#3
|
||||
|
||||
ข้อสอง ผมคิด Closed Form ได้เท่านี้อะครับ
$\displaystyle{f(x) = \sum_{n=1}^{9}\frac{(-1)^{n+1}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)}{n!(9-n)!(x-n)}}$ แทนค่า $x=10$ ก็จะได้ $f(10) = 2-9+24-42+25.2 = 0.2$
__________________
เมื่อไรเราจะเก่งเลขน้าาาาาา ~~~~ T T ไม่เก่งซักที ทำไงดี |
#4
|
||||
|
||||
#2 ทำไมเป็น $2^9$ อ่ะครับ ปล.สอบป่าวพี่มายด์ ^^
#4 ทำยังไงเหรอครับ ดูยากจัง =[]="
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#5
|
||||
|
||||
2.$จากf(m)=\frac{1}{m} \Rightarrow mf(m) - 1 = 0$
$สมมติให้Q(x)=xf(x) - 1 = 0$ $โดยทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต จะได้ว่า Q(x) เป็นพหุนามกำลัง 9 (เพราะ f กำัลัง 8)$ $โดยที่ Q(x)=C(x-1)(x-2)....(x-9)$ $ดังนั้นxf(x) - 1=C(x-1)(x-2)....(x-9)$ $สมมติให้f(x) =a_9x^9+a_8x^8 +......+a_1x+a_0$ $ดังนั้นx(a_9x^9+a_8x^8 +......+a_1x+a_0) - 1 = C(x-1)(x-2)....(x-9)$ $เทียบสัมประสิทธิ์ของค่าคงตัว : -1 = -9!C $ $จะได้ c =\frac{1}{9!} $ $ จะได้ f(x) = \frac{\frac{1}{9!}(x-1)(x-2)....(x-9)}{x} + \frac{1}{x} $ $แทนค่า f(10) = 0.2 $ ครับ
__________________
จะขอทำฝัน....ให้ใกล้เคียงความจริงที่สุด เด็กน้อย ค่อยๆ เรียนรู้ สินะ |
#6
|
|||
|
|||
1. $gcd(m,n)=1$ จะได้ $gcd(25!,n^2)=n$
ถ้าเขียน 25! ในรูปเลขยกกำลังพบว่า 13,17,19,23 มีกำลังหนึ่งแสดง่วาสร้างได้ $2^4$ จากนั้นพิจารณาเลขยกกำลังที่มากกว่า 1 n จะต้องมีกำลังของจำนวนเฉพาะ ใดๆ สูงเท่ากับ 25! มี เช่น $25!=2^a k$ n ก็ต้องมี $2^a$ ด้วย เพราะถ้า n มีกำลังน้อยกว่าเท่ากับหรือมากกว่าเท่ากับ $\dfrac{a}{2}$ แต่ไม่เท่ากับ a ก็จะขัดกับ หรม ดัง n ควรมีกำลัง 0 หรือ a เท่านั้นเป็นต้น เพราะฉะนั้นจะมีคู่อันดับทั้งหมด $2^9$ |
#7
|
||||
|
||||
อ้อครับ ขอบคุณทุกท่านมากๆครับ
มีมาเพิ่มอีก 3.หาส.ป.ส.ของ $x^{20}$ ใน $(x^3+x^4+x^5+...)^3$ 4.หาค่าของ $\tan 53^\circ+\tan 37^\circ-(\tan 53^\circ-\tan 37^\circ)\tan 8^\circ$ 5.ให้ $21A=\pi$ จงหาค่า $\cos 2A+\cos 4A+\cos 6A+...$ 6.ถ้า $\dfrac{\sin x+\sin y+\sin z}{\sin(x+y+z)}=\dfrac{\cos x+\cos y+\cos z}{\cos(x+y+z)}=2\sqrt 2$ เเละ $\cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x=a+b\sqrt 2$ จงหา $a+b$ 7.ให้ $$-\frac{3}{1!}+\frac{7}{2!}-\frac{13}{3!}+\frac{27}{4!}-...+\frac{2548^2+2548+1}{2548!}=a+\frac{b}{c!}$$ เมื่อ $a,b,c\in Z$หาค่าน้อยสุดของ $a+b+c$ 8.$a=16/26,b=125/64$ จงหา $a^{\log_b 3}$ ปล.โหดกันทุกคนเลยครับ อาจจะง่ายเกินไปสำหรับทุกท่าน ปล.2ข้อท้ายสุดเราหาออกมาได้เเบบไม่ติด $\log 3 $ หรือครับ = =
__________________
Vouloir c'est pouvoir 17 สิงหาคม 2012 21:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#8
|
||||
|
||||
ก็เหมือนเลือกพิจารณาไปทีละตัว รายตัวเลย โดยเหมือนให้จำนวนพวกนั้นเลือกลงได้ $2$ ข้าง (ข้างไหนมากกว่า่ให้เป็น $n$ ซะ)
เช่น $2^a$ เลือกลงได้สองข้าง จึงได้ $2$วิธี $3^b$ เลือกลงได้สองข้าง จึงได้ $2$วิธี $5^c$ เลือกลงได้สองข้าง จึงได้ $2$วิธี . . . จึงรวมกันได้ $2^9$ แต่เวลาเลือกแบบนี้ มันมีการ fix ของตำแหน่งที่มันลง มันเลยต้องหาร $2!$ ออก เหลือ $2^8$ ...น่าจะไปแหล่ะ ไปป่าว? ...
__________________
แข่งคณิตฯ คิดได้ ง่ายดายเหลือ แข่งทุกเมื่อ ร้อนแรง แจ้งประจักษ์ รับรางวัล หลากหลาย มากมายนัก แต่แข่งรัก ยากแท้ แพ้ใจเธอ |
#9
|
||||
|
||||
3. star&bars , $a+b+c=20,a,b,c \ge 3$
7. $\displaystyle\sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i^2+i+1}{i!}) = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i^2}{i!}+\dfrac{i+1}{i!})$ $\displaystyle = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!}+\dfrac{i+1}{i!})$ $\displaystyle = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!})+\sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i+1}{i!})$ $\displaystyle = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!})-\sum_{i=2}^{2549}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!})$ $= 1-\dfrac{2549}{2548!}$ สามารถจัดรูปให้ค่า b เป็นลบมากๆได้ดังนั้น a+b+c ไม่จะมีค่าน้อยที่สุดนะครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 17 สิงหาคม 2012 21:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#10
|
|||
|
|||
5. $\displaystyle \sum_{i=1}^n \cos \dfrac{2i}{2n+1} \pi = -\dfrac{1}{2}$
6. $\sin x\sin y+\sin y\sin z+\sin z\sin x=p , \cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x=q , p+q=\dfrac{5}{2} , q-p=2\sqrt{2}$ 7. $\dfrac{n^2+n+1}{n!} = \dfrac{n}{(n-1)!}+\dfrac{n+1}{n!}$ 17 สิงหาคม 2012 22:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pain 7th |
#11
|
||||
|
||||
#9 ขอบคุณครับ เข้าใจละๆ ผมก็ไปเหมือนกัน
#10 เข้าใจเเล้วครับ ขอบคุณมาก ปล.งั้นข้อเเรกนี่ได้ $\dfrac{14!}{3!11!}$ หรือป่าวครับ #11 ข้อ 5.พิสูจน์ได้ยังไงครับ ข้อ 6. ผมไม่เข้าใจว่าทำไม $q-p=2\sqrt 2$ กับ $p+q=5/2$ คือ $q-p$ นี่เกิดจากการกระจายเหรอครับ เเล้ว $5/2$ มาจากไหนอ่ะครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#12
|
|||
|
|||
ข้อ 6 ลองยกกำลังสองจากสมการโจทย์แล้วใช้ $\sin^x + \cos^2 x = 1 $ การหา q-p สังเกตจาก $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
ข้อ 5 ให้ $w= \ cis \dfrac{2\pi}{2n+1}$ ครับ เราจะได้ว่า $\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} w^i = -1$ |
#13
|
||||
|
||||
ข้อ6 ขอเเบบเต็มเลยได้ไหมครับ ยังงเหมือนเดิม 555+
ปล.คุณ Pain ไปป่าวครับ
__________________
Vouloir c'est pouvoir 18 สิงหาคม 2012 08:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#14
|
|||
|
|||
ยังงี้ครับ
$\sin x +\sin y+\sin z= 2\sqrt{2}\sin (x+y+z)$ $\cos x +\cos y+\cos z=2\sqrt{2} \cos (x+y+z)$ จับยกกำลังสองทั้งสองสมการแล้วนำมาบวกกัน จะได้ $3+2p+2q= 8 $ เพราะฉะนั้น $p+q = \dfrac{5}{2}$ จากนั้นดู $q-p= \cos x\cos y -\sin x\sin y+\cos y\cos z -\sin y\sin z+\cos z\cos x -\sin z\sin x$ $\ \ \ \ \ \ \ =\cos (x+y+z-z)+\cos (x+y+z-y)+\cos (x+y+z-z)$ $\ \ \ \ \ \ \ =\cos (x+y+z) (\cos x+\cos y+\cos z)+\sin (x+y+z) (\sin x+\sin y+\sin z)$ $\ \ \ \ \ \ \ = 2\sqrt{2} \cos^2 (x+y+z)+2\sqrt{2} \sin^2 (x+y+z)$ $\ \ \ \ \ \ \ = 2\sqrt{2}$ |
#15
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
20 สิงหาคม 2012 19:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์ |
|
|