โจทย์คิดไม่ออกครับ

[ง่วงนอน]

รูปครึ่งวงกลมสามรูป แต่ละรูปสร้างอยู่บนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยมีด้าน AB=c หน่วย
จงหาผลรวมของพื้นที่ของรูปครึ่งวงกลมทั้งสามรูป


ทุนเล่าเรียนหลวงครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ง่วงนอน

รูปครึ่งวงกลมสามรูป แต่ละรูปสร้างอยู่บนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC โดยมีด้าน AB=c หน่วย
จงหาผลรวมของพื้นที่ของรูปครึ่งวงกลมทั้งสามรูป


ทุนเล่าเรียนหลวงครับ

โจทย์ไม่ได้กำหนดว่ามุมใดเป็นมุมฉาก

ให้ มุม ACB เป็นมุมฉาก โดย AB = c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ก็แล้วกัน



$a^2+b^2 = c^2$

$\pi a^2+\pi b^2 =\pi c^2$

$ \frac{1}{8}(\pi a^2+\pi b^2) = \frac{1}{8}(\pi c^2$)

$\frac{1}{2} \pi (\frac{a}{2})^2 +\frac{1}{2} \pi (\frac{b}{2})^2 = \frac{1}{2} \pi (\frac{c}{2})^2$

$\frac{1}{2} \pi (\frac{a}{2})^2 +\frac{1}{2} \pi (\frac{b}{2})^2 + \frac{1}{2} \pi (\frac{c}{2})^2 = \frac{1}{2} \pi (\frac{c}{2})^2 + \frac{1}{2} \pi (\frac{c}{2})^2 = \pi (\frac{c}{2})^2 = \frac{1}{4} \pi c^2$

[ง่วงนอน]

ขอบคุณครับ
แล้วถ้าโจทไม่ได้กำหนดว่ามุมไหนเป็นมุมฉากเราก็ต้องทำทั้ง 3 กรณีเลยใช่ไหมครับ

[Dr.K]

ขอ อนุญาตในแนวคิด นะครับ
เนื่องจากโจทย์บอกสามเหลี่ยมมุมฉาก เราก็คงทาย Pythagorus ไว้ก่อนหละ
$AB^2 = AC^2 + BC^2$ กรณีที่ABเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งโจทย์กำหนดว่า c
ลองเอา $\pi$ คูณตลอด ของสมการ ดู : $\pi AB^2 = \pi AC^2 + \pi BC^2$
ลองเอา $\frac{1}{2}$ คูณตลอด เพื่อเลียนแบบพื้นที่ครึ่งวงกลม $\frac{1}{2} \pi R^2$
และลองเอา 4 หาร ตลอด เพื่อเปลี่ยนด้านต่างๆให้เป็น รัศมี ที่ผ่านการยกกำลังสอง
$\frac{1}{2} \pi (\frac{AB}{2})^2$ = $\frac{1}{2} \pi (\frac{AC}{2})^2 + \frac{1}{2} \pi (\frac{BC}{2})^2$
โจทย์ถามผลรวมของพื้นที่ครึ่งวงกลมทั้ง 3 วง ก็พอจะเห็นคำตอบแล้วหละ
(อ้าว ช้าไปซะ และ)

[ง่วงนอน]

ผมจะลองนำไปใช้ดูครับ เผื่อมีในข้อสอบ สพฐ. เสาร์นี้