|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
square root and serie
มีเรื่องจะ รบกวนถาม 2 ข้อครับ
1. Evaluate \[ \large \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{...}}}} \] อยากรู้มานานแล้วครับ ว่าตอบเท่าไหร่ 2. หาค่าของ \[\large \frac{ln2}{2}-\frac{ln3}{3}+\frac{ln4}{4}-\frac{ln5}{5}+... \] ขอบคุณ ล่วงหน้า สำหรับผู้ที่จะมาตอบ ครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#2
|
||||
|
||||
ข้อ 1. นี่เป็นคำถามที่ 289 ใน Journal ของอินเดียครับ. รามานุจัน เป็นคนถาม ถ้าผมจำไม่ผิด เรามีการคุยกัน 2 ครั้งในข้อนี้ ครั้งแรกนานมาแล้ว Top เป็นคนตั้ง ส่วนอีกครั้ง คุณ aaa เป็นคนตั้ง วิธีคิดของแต่ละคนอยู่แถว ๆ นี้ล่ะ เดี๋ยวว่าง ๆ ผมจะลองค้นให้อีกทีถ้ายังไ่ม่มีคนค้นให้ คำตอบ คือ 3 ครับ
|
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
0.1598689037\dots\]โดยที่ \(\gamma=0.5772156649\dots\) คือ Euler's constant เห็นคำตอบแล้วคงพอเดากันได้นะครับว่าโจทย์ข้อนี้คงไม่ใช่หมูๆ |
#4
|
|||
|
|||
ก่อนอื่น ต้อง ขอบคุณทั้งคุณ gon และคุณ warut สำหรับคำตอบรวดเร็วเพียงชั่วข้ามคืน
ตอนนี้ผมหา link ของข้อ 1 บน webboard เจอแล้วครับ nested radical ส่วนข้อ 2 คำตอบนี้ มันมายังไงอ่ะครับ คุณ warut
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 11 เมษายน 2007 07:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: Tag Post |
#5
|
||||
|
||||
โจทย์แนว ๆ ข้อ 2 คลับคล้ายคลับคลาว่าผมจะเคยเห็นใน The Lost NoteBook ของรามานุจันนะครับ. บางทีอาจจะลองเปิดหาใหู้อีกทีครับ.
ตอนนี้ผมกำลังเพิ่งสร้างเทคนิคใหม่สำเร็จ กำลังดีใจอย่างมาก "เทคนิคการคำนวณเลขยกกำลังสอง" คิดอยู่ 2 วันเต็ม ๆ เชื่อหรือไม่ว่าสามารถคำนวณค่าของกำลังสองของเลขหลายหลัก เช่น 87543142 ด้วยมือล้วน ๆ ได้ในเวลาไม่เกิน 1 นาทีได้ เทคนิคนี้ไม่น่าจะปรากฏบนโลกมนุษย์มาก่อน ... ว่าไปโน่น |
#6
|
|||
|
|||
วิธีทำข้อ 1 ของคุณ aaaa ก็น่าสนใจมากเหมือนกันครับ
ส่วนข้อ 2 นี่เอาไงดีล่ะ ถ้ารอได้เอาไว้ผมว่างจะมาโพสต์วิธีทำให้ละกัน ป.ล. ดีใจกับคุณ gon ด้วยครับสำหรับการค้นพบเทคนิคการยกกำลังสองแบบใหม่ 11 เมษายน 2007 07:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: Tag Post |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จากที่ \(\frac{\ln x}{x}\) เป็น strictly decreasing function เมื่อ \(x\ge3\) ดังนั้น\[\frac{\ln(n+1)}{n+1}\quad<\quad \int_n^{n+1}\frac{\ln x}{x}\,dx=\frac{\left(\ln(n+1)\right)^2}{2}- \frac{(\ln n)^2}{2}\,,\quad n\ge3\]เราจึงได้ว่า\[a_{n+1}-a_n=\frac{\left(\ln(n+1)\right)^2}{2}-\frac{(\ln n)^2}{2}-\frac{\ln(n+1)}{n+1}\,>\, 0\]นั่นคือ \(\{a_n\}\) เป็น strictly increasing sequence เนื่องจาก \(\{a_n\}\) เป็น increasing sequence ที่มี upper bound ดังนั้น \(\lim_{n\to\infty}a_n\) หาค่าได้ เราจึงได้ว่า\[\lim_{n\to\infty}a_{2n}-a_n= 0\]ต่อไปก็เป็นการหาค่าผลบวกของอนุกรมเสียที\[\sum_{k=2}^{2n}(-1)^k\frac{\ln k}{k}= \frac{\ln2}{2}-\frac{\ln3}{3}+\frac{\ln4}{4}-\cdots+ \frac{\ln(2n)}{2n}\]\[=\left(\frac{\ln2}{1}+\frac{\ln4}{2}+\frac{\ln6}{3} +\cdots+\frac{\ln(2n)}{n}\right)-\left(\frac{\ln2}{2}+\frac{\ln3}{3}+\frac{\ln4}{4}+ \cdots+\frac{\ln(2n)}{2n}\right)\]\[= \left(\frac{\ln2+\ln1}{1}+\frac{\ln2+\ln2}{2}+\frac{\ln2+\ln3}{3}+\cdots+\frac{\ln2+\ln n}{n}\right)- \sum_{k=2}^{2n}\frac{\ln k}{k}\]\[= \ln2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)+\sum_{k=2}^{n}\frac{\ln k}{k}- \sum_{k=2}^{2n}\frac{\ln k}{k}\]\[= \ln2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{(\ln n)^2}{2}-a_n\right)- \left(\frac{(\ln(2n))^2}{2}-a_{2n}\right)\]\[=\ln2\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)-\frac{(\ln2)^2}{2}+ (a_{2n}-a_n)\]ให้ \(n\to\infty\) เราจะได้คำตอบออกมาคือ\[\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\ln k}{k}= \gamma\ln2-\frac{(\ln2)^2}{2}\]โดยที่ \(\gamma=0.5772156649 \dots\) คือ Euler Constant หมายเหตุ\[\lim_{n\to\infty}a_n= -\gamma_1=0.0728158454836767\dots\]และเราเรียก \(\gamma_1\) ว่า First Stieltjes Constant ครับ 18 มกราคม 2006 15:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#8
|
||||
|
||||
โหยาวมากเลยครับ. เดี๋ยวผมจะหาเวลาศึกษาดูบ้าง
|
#9
|
|||
|
|||
สังเกตมาหลายครั้งแล้วว่า คุณ warut ใช้ integrate มาช่วยคลี่คลาย series โหดๆทั้งหลาย ให้ดู soft ลงไปเยอะเลยครับ
ขอบคุณ คุณ warut มากๆสำหรับวิธีทำ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#10
|
|||
|
|||
ดีใจด้วยครับกับคุณ gon ว่าแต่ถ้าคิดเทคนิคได้สมบูรณ์ อย่าลืมบอกกันบ้างนะคับ อิอิ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
root of polynomial | M@gpie | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 09 มีนาคม 2007 10:47 |
ลองชิมดู: inverse-square law & ODE | Redhotchillipepper | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 6 | 18 มกราคม 2007 12:48 |
MAGIC - SQUARE | banker | ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย | 1 | 02 มีนาคม 2006 13:40 |
เรื่องของ square root ครับ | Trigonometric | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 5 | 25 ธันวาคม 2005 15:56 |
ช่วยอธิบายเรื่องการถอด Root ให้หน่อยได้ไม๊ค่ะ | พรรณราย - เฟิร์ส | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 4 | 24 พฤศจิกายน 2004 11:33 |
|
|