สมภาค

[sahhh]

รบกวนพิสูจน์หน่อยนะคะ

ให้ a และ b เป็นจำนวเต็ม และ x\geqslant c(b) ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมภาค a^x\equiv x(mod \varphi (b))
แล้ว (a^a)^x\equiv a^x(mod b)

ขอบคุณค่ะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahhh

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวเต็ม และ $x\geqslant c(b)$ ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมภาค $a^x\equiv x \pmod{\phi(b)}$
แล้ว $(a^a)^x\equiv a^x \pmod{b}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahhh

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวเต็ม และ $x\geqslant c(b)$ ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมภาค $a^x\equiv x \pmod{\phi(b)}$
แล้ว $a^{a^x}\equiv a^x \pmod{b}$

สองแบบนี้เป็นอันไหนครับ

และ $c(b)$ คืออะไร

[sahhh]

แบบด้านล่างค่ะ
c(b) คือกำลังสูงสุดของ b ซึ่ง b หารด้วยจำนวนเฉพาะลงตัว เมื่อ b เป็นจำนวนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังสองได้ค่ะ

[gon]

คล้าย ๆ แนว ๆ นี้หรือเปล่าครับ น่าจะเกี่ยวกัน เคยคิดไว้เล่น ๆ นานแล้ว ไม่รู้ถูกไหม

$a^{b^{c}} \equiv a^i \mod m$ เมื่อ $b^c \equiv i \mod \phi(m) $ โดยที่ $(a, m) = 1$

พิสูจน์

ถ้า $b^c \equiv i \mod \phi(m)$ แล้วจะได้ $b^c = i + t \cdot \phi(m)$

ดังนั้น $a^{b^{c}} = a^{i + t \cdot \phi(m) } = a^i \cdot a^{t \cdot \phi(m)} \equiv a^i \cdot 1^t \mod m \equiv a^ i \mod m$

หมายเหตุ โดยทฤษฎีบทออยเลอร์ $a^{\phi(m)} \equiv 1 \mod m$ เมื่อ $(a, m) = 1$

[kongp]

น่าจะลองพิสูจน์ว่าไม่จริงดูนะครับ Contra- , Anti- , ...etc.