Functional Equation

[จูกัดเหลียง]

เห็นว่าน่าสนใจดีครับ
จงหา ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f:R^+\rightarrow R^+$
$$f(x+f(x)+y)=2x+f(y)$$
สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$

[กขฃคฅฆง]

บรรทัดสุดท้ายต้องเป็น $R^+$ รึป่าวครับ

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เห็นว่าน่าสนใจดีครับ
จงหา ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ $f:R^+\rightarrow R^+$
$$f(x+f(x)+y)=2x+f(y)$$
สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$

โจทย์น่าทำดีครับ ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความดังกล่าว
$P(x,x);$
$\quad f(2x+f(x))=2x+f(x)$

$P(2x+f(x),y);$
$\quad f(4x+2f(x)+y)=4x+2f(x)+f(y)$

$P(x,y+3x+f(x));$
$\quad f(4x+2f(x)+y)=2x+f(3x+f(x)+y)$

$P(x,y+2x);$
$\quad f(3x+f(x)+y)=2x+f(y+2x)$

$\therefore 4x+2f(x)+f(y)= f(4x+2f(x)+y)=2x+f(3x+f(x)+y)=4x+f(y+2x)$

$\therefore f(y+2x)=f(y)+2f(x)$ ให้แทนด้วย $Q(x,y)$

$Q(x,2), Q(1,2x)$
$\quad f(2+2x)=f(2)+2f(x)=f(2x)+2f(1)$

$f(2x)-2f(x)=f(2)-2f(1)$
ให้ $c=f(2)-2f(1)$

$f(2x)=2f(x)+c$

$Q(\frac{x}{2},y)$
$\quad f(x+y)=f(y)+2f(\frac{x}{2})=f(y)+f(x)-c$

ให้ $g(x)=f(x)-c$
$g(x+y)=g(x)+g(y)$

จาก $g: (0,\infty) \rightarrow (-c,\infty)$, $g$ มีขอบเขตล่าง

ดังนั้น $g(x)=mx$ สำหรับบางค่าคงที่ $m$
$f(x)=mx+c$

แทนใน $Q(x,y)$, $c=0$
แทนใน $P(x,y)$, $m=1$

$\therefore f(x)=x$ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นคำตอบ

[จูกัดเหลียง]

เก่งมากครับ ส่วนข้างล่างเป็นวิธีของผมนะครับ

เเทนค่าให้ $y=x$ ได้ $f(2x+f(x))=2x+f(x)$ เเล้วเเทน $y$ ด้วย $2y+f(y)$ ในโจทย์
ได้ว่า $f(x+2y+f(x)+f(y))=f(y)+2(x+y)=f(x+2y+f(x+y))$

ทำให้ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (จากตรงนี้ใช้ สมการโคชีครับ)

[Thgx0312555]

ถ้าจะใช้ solution นี้ต้องพิสูจน์หนึ่งต่อหนึ่งด้วยครับ

[จูกัดเหลียง]

ใช่ครับ เพราะจริงๆเเล้วพิสูจน์ได้ไม่ยากนักครับ

[Thgx0312555]

พิสูจน์ยังไงครับ

[จูกัดเหลียง]

ให้ $f(x)=f(y)$ จะได้ว่า $$2x+f(y)=f(x+y+f(x))=f(x+y+f(y))=2y+f(x)$$

ซึ่งจะได้ว่า $x=y$ ครับ (สมการหลังเกิดจากการสลับตัวเเปรในโจทย์ครับ)