Functional Equation Problem

[NaPrai]

จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง

$f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^2,$ $ \forall x,y\in\mathbb{R} $

[Panithi Vanasirikul]

ให้ f(x)=x เลยคับผม 5555

[NaPrai]

เกรงว่าคำตอบจะไม่ครบนะครับ @Panithi

[กขฃคฅฆง]

แทน $y=-f(x)^2$ จะได้ว่ามี $a$ ที่ $f(a)=0$

แทน $x=a$ ได้ $f(f(y))=y$

แทน $x=f(x)$ ได้ $f(xf(x)+f(y))=y+x^2$ ได้ว่า $f(x)^2=x^2$ นั่นคือ $f(x)=x$ หรือ $-x$

สมมติมี $a,b \not= 0$ ที่ $f(a)=a$ และ $f(b)=-b$ แทน $x=a,y=b$ ได้

$f(a^2-b)=a^2+b$ เกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้นคำตอบคือ $f(x)=x$ ทุก $x \in R$ และ $f(x)=-x$ ทุก $x \in R$