probability questions??

[suan123]

1.Suppose that X is uniformly distributed in (-\pi /2 , \pi /2). find the density of the random variable Y = tan X

2. Suppsoe that X1 and X2 are independent Poisson random variable with parameters \lambda 1 = 1 and \lambda 2 = 2 respectively. find the probability P(X1 = 20 \mid X1 + X2 = 50)

[M@gpie]

ผมก็ลืมๆแล้วเหมือนกัน ลองดูละกันครับว่าถูกไหม
1. pdf ของ $X$ คือ \[f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} 0 &;& |x| > \frac{\pi}{2}\\ \frac{1}{\pi} &;& |x| \leq \frac{\pi}{2} \end{array}\right.\]
เนื่องจาก
\[ F_Y(a) = P\{ Y\leq a\} = P\{ tanX \leq a \} = P\{ X \leq \tan^{-1}(a)\} \]
จึงได้ว่า \[ F_Y(a) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\tan^{-1} a} \frac{1}{\pi} dx = \frac{\tan^{-1}a + \frac{\pi}{2}}{\pi}, \; \; \; a \in \mathbb{R}\]
ดังนั้น pdf ของ $Y$ คือ \[ f_Y(a)= \frac{d}{da}F_Y(a) = \frac{1}{\pi(1+a^2)}\]

2.เนื่องจาก $X_1,X_2$ เป็นการแจกแจงแบบปัวส์ซองที่มีค่าเฉลี่ย $\lambda_1=1, \lambda_2 = 2$ จะได้ว่า $X_1+X_2$ มีการแจกแจงแบบปัวส์ซองที่มีค่าเฉลี่ย $\lambda_1+\lambda_2 = 3$
และ $X_1,X_2$ เป็นอิสระต่อกัน จึงได้ $P(X_1=20 \cap X_2=30)= P(X_1=20)P(X_2=30)$ ดังนั้น
\[ \begin{array}{ccl}P(X_1=20 | X_1+X_2=50)
&=& {\displaystyle \frac{P(X_1=20 \cap X_2=30)}{P(X_1+X_2=50)} }\\
& =& {\displaystyle \frac{P(X_1=20)P(X_2=30)}{P(X_1+X_2=50)}} \\
&=& {\displaystyle \frac{(e^{-1}\frac{1^{20}}{20!})(e^{-2}\frac{2^{30}}{30!})}{\frac{e^{-3}3^{50}}{50!}} } \end{array}\]

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

1.Suppose that $X$ is uniformly distributed in $(-\pi /2 , \pi /2)$. Find the density of the random variable $Y = \tan {X}$.

2. Suppose that $X_1$ and $X_2$ are independent Poisson random variable with parameters $\lambda_1 = 1$ and $\lambda_2 = 2$ respectively. Find the probability $P(X_1 = 20 \mid X_1 + X_2 = 50)$

1. Note that $P(X\leq a) = \dfrac{a}{\pi}+\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\pi}{2}<a<\dfrac{\pi}{2}$. Thus $F(y)= P(Y\leq y) = P(X\leq \tan^{-1}{y}) = \dfrac{\tan^{-1}(y)}{\pi}+\dfrac{1}{2}$. Therefore, $f(y) = \dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{1}{1+y^2}$.

2. ทำตรงๆครับ สุดท้ายจบที่ $\dfrac{P(X_1=20)P(X_2=30)}{P(X_1+X_2=50)}$

อาจจะต้องใช้ความจริงที่ว่า A sum of two independent Poisson random variables has Poisson distribution with parameter $\lambda_1+\lambda_2$ ครับ

[suan123]

ขอบคุณทุกท่านที่ชี้แนะครับ

[suan123]

how to find probability density function of X?

[nooonuii]

Uniform Distribution on (a,b) has pdf

$f(x) = \dfrac{x}{b-a}\cdot 1_{(a,b)}(x)$

where $1_{(a,b)}$ is the characteristic function of the interval $(a,b).$

มันเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของ Uniform distribution ครับ