Functional Equation

[dektep]

1.The function $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfies $x+f(x) =f(f(x))$ for every $x \in \mathbb{R}$.Find all solutions of the equation $f(f(x))=0$

[nooonuii]

สมมติว่าสมการ $f(f(x))=0$ มีคำตอบ
แสดงได้ไม่ยากว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงทำให้ $f\circ f$ ก็เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วย
ดังนั้นสมการ $f(f(x))=0$ มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว
แต่ $f(0)=f(f(f(x)))=f(x)+f(f(x))=f(x)$
ดังนั้น $x=0$

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แสดงได้ไม่ยากว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงทำให้ $f\circ f$ ก็เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วย

สำหรับผมมันไม่ง่ายเลยคับ ยังคิดไม่ออกพี่ nooonuii ชี้แนะด้วยครับ

[M@gpie]

เป็นผลโดยตรงจากการที่ $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 ครับ
แสดงได้ดังนี้
ให้ $(fof)(x_1)=(fof)(x_2)$ นั่นคือ $f(f(x_1))=f(f(x_2))$
เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า $f(x_1)=f(x_2)$ ทำแบบเดิมอีกครั้ง จะได้ $x_1=x_2$ นั่นคือ $fof$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 ตามต้องการ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

สำหรับผมมันไม่ง่ายเลยคับ ยังคิดไม่ออกพี่ nooonuii ชี้แนะด้วยครับ

ส่วนไหนครับ ถ้าส่วนหลังน้อง Magpie ทำให้ดูแล้ว
ส่วนแรกทำดังนี้

สมมติ $f(x)=f(y)$ จะได้

$f(f(x))=f(f(y))$

$x+f(x)=y+f(y)$

$x=y$

[kanakon]

ขอบคุณครับ

[dektep]

2.Find all function $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ such that
$$f(x+y+z)+f(x-y)+f(y-z)+f(z-x) = 3f(x)+3f(y)+3f(z)$$

[dektep]

hint

พยายามพิสูจน์ว่า $f(nx)=n^2x,\forall x \in \mathbb{N}$
แล้วหา $f(x)$ ใน $N$ แล้วพิสูจน์ใน $\mathbb{Q}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

2.Find all function $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ such that
$$f(x+y+z)+f(x-y)+f(y-z)+f(z-x) = 3f(x)+3f(y)+3f(z)$$

ให้ $x=y=z=0;4f(0)=9f(0)\Rightarrow f(0)=0$..............(1)

ให้ $y=z=0;f(x)+f(x)+f(-x)=3f(x)\Rightarrow f(x)=f(-x)$......................(2)

ให้ $z=0;f(x+y)+f(x-y)+f(x)+f(y)=3f(x)+3f(y)\Rightarrow f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)$................(3)

ให้ $r\in\mathbb{Q}$
จะำพิสูจน์ว่า $f(nr)=n^2f(r)$ ทุกจำนวนนับ $n$........................(4)
ถ้า $n=1$ เห็นได้ชัดว่าจริง
สมมติว่า $f(kr)=k^2f(r)$ ทุกจำนวนนับ $k\leq n$
ให้ $x=nr,y=r$ แล้วแทนค่าใน (3) จะัได้
$f(nr+r)+f(nr-r)=2f(nr)+2f(r)$

$f((n+1)r)=2n^2f(r)+2f(r)-(n-1)^2f(r)=(n+1)^2f(r)$

ดังนั้น (4) จริงโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

ให้ $m,n\in\mathbb{N}$
จะำพิสูจน์ว่า $f\big(\dfrac{m}{n}\big)=\big(\dfrac{m}{n}\big)^2f(1)$........................(5)

จาก (4) เราจะได้

$m^2f(1)= f(m)$

$ ~~~~~~~~~= f\big(n\cdot\dfrac{m}{n}\big)$

$ ~~~~~~~~~= n^2f\big(\dfrac{m}{n}\big)$

ดังนั้น $f\big(\dfrac{m}{n}\big)=\big(\dfrac{m}{n}\big)^2f(1)$

จาก (1),(2), และ (5) เราจึงได้ว่า

$f(x)=f(1)x^2$ สำหรับทุก $x\in\mathbb{Q}$

[dektep]

มีเรื่องจะถามเรื่องหนึ่งครับ
"สมการคู่ขนานของสมการโคชีจำเป็นต้องมีเงื่อนไขเหมือนสมการโคชีไหมครับ"

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

มีเรื่องจะถามเรื่องหนึ่งครับ
"สมการคู่ขนานของสมการโคชีจำเป็นต้องมีเงื่อนไขเหมือนสมการโคชีไหมครับ"

มันเป็นยังไงครับ ลองยกตัวอย่างได้ไหม

[dektep]

ตอนนี้ผมได้ข้อสรุปแล้วครับ
-All continuous functions $f:\mathbb{R} \rightarrow (0,\infty) $ satisfying

$f(x+y) = f(x)f(y)$ are of the form $f(x)=a^x$

-All continuous functions $f : (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying

$f(xy) = f(x)+f(y)$ are of the form $f(x)=log_{a}x$

-All continuous functions $f : (0,\infty) \rightarrow (0,\infty )$ satisfying

$f(xy)=f(x)f(y)$ are of the form $x^t$

[nooonuii]

จริงๆแล้วจากข้อ 2 เราจะำได้ว่า

All continuous functions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisfying $$f(x+y+z)+f(x-y)+f(y-z)+f(z-x)=3f(x)+3f(y)+3f(z)$$ are of the form $f(x)=cx^2$

[dektep]

ทำไมหรือครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ทำไมหรือครับ

อันนี้ใช้ึความรู้จากฟังก์ชันต่อเนื่องครับ

ถ้า $f,g$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่ง $f(x)=g(x)$ ทุก $x\in\mathbb{Q}$ แล้ว $f(x)=g(x)$ ทุก $x\in\mathbb{R}$