![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
![]() Let $f$ be a real-valued differentiable function on $\mathbb{R}$ such that $sup\left\{\left|\ f^{'}(x)\right|\left.\,\right|x\in \mathbb{R} \right\}<1 $.
Fixed $s_{0}\in \mathbb{R} $. Let $s_{n}=f(s_{n-1})$ for $n\geqslant 1$. Proof that $\left\{s_{n}\right\}$ is a Cauchy sequence. ผมทำได้แค่ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลิปชิตส์ครับ แล้วก็ไปต่อไม่ถูกเลย รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ ![]()
__________________
ได้แต่ถอนหายใจไปออนทู... เอ๊ย วันๆ 02 ตุลาคม 2010 19:27 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Chronon |
#2
|
|||
|
|||
![]() มาถูกทางแล้วครับ แต่ต้องทำต่ออีกนิด
โดย Mean Value Theorem $|f(x)-f(y)|\leq \alpha |x-y|$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ เมื่อ $\alpha=\sup\left\{\left|\ f^{'}(x)\right|\left.\,\right|x\in \mathbb{R} \right\}$ ต่อไปลองพิสูจน์ว่า $|S_m-S_{m-1}|\leq \alpha^{m-1}|S_1-S_0|$ ทุก $m\in\mathbb{N}$ ดังนั้น ถ้า $m\geq n$ แล้ว $|S_m-S_n|\leq |S_m-S_{m-1}|+|S_{m-1}-S_{m-2}|+\cdots +|S_{n+1}-S_n|$ $~~~~~~~~~~~~\leq (\alpha^{m-1}+\cdots+\alpha^n)|S_1-S_0|$ ลองต่อดูครับ ใช้ความจริงที่ว่าลำดับ $T_n=1+\alpha+\cdots+\alpha^n$ เป็น Cauchy sequence เพราะว่า $\alpha < 1$ อีกวิธีคืออ้าง Banach Contraction Principle ครับ จบเลย เพราะเรารู้ว่าฟังก์ชันมันเป็น contraction และ $\mathbb{R}$ complete จะได้ว่าลำดับ $\{S_n\}$ ลู่เข้า และจะได้ Cauchy ทันที แต่คิดว่าจุดประสงค์ของผู้ออกโจทย์คงอยากให้เราพิสูจน์ตรงๆมากกว่า ซึ่งก็คือบทพิสูจน์ของ Banach Contraction Principle นั่นเองครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
![]() ไอ้หยา... ไม่นึกว่าจะโหดขนาดนี้แฮะ ขอบคุณมากครับ
(ว่าแต่ตอนสอบผมจะรู้ได้ยังไงว่าต้องได้อนุกรมสุดท้ายนั่นออกมาน่ะครับ หรือว่าต้องอาศัยศรัทธาอย่างเดียว แหะๆ)
__________________
ได้แต่ถอนหายใจไปออนทู... เอ๊ย วันๆ |
#4
|
|||
|
|||
![]() อ้างอิง:
$\alpha^{m-1}+\cdots+\alpha^n=\alpha^n(1+\alpha+\cdots+\alpha^{m-n-1})<\dfrac{\alpha^n}{1-\alpha}$ แล้วก็ใช้แค่ $\alpha^n\to 0$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
|||
|
|||
![]() ถ้า Sn เป็นสมาชิกของ C หรือ R^3 ซึ่งต้องแก้โจทย์ให้ f เป็น Complex-valued differentiable function (ขอโทษด้วยครับสัญลักษณ์ผมใส่ไม่เก่ง คงเข้าใจความหมายนะครับ) และถามต่อนะครับว่า ค่า n นี่มากที่สุดได้เท่าไหร่ครับ ? เพราะจริงๆ แล้ว ที่ว่า n>=1 มีปัญหาเวลาจำนวนเทอมของอันดับมากๆ แน่
|
#6
|
|||
|
|||
![]() สมัยผมศึกษาต้องหาอ่านเอง อ่านตามเวปตอนเรียนไม่ค่อยมีแฮะ หรือผมไม่รู้ก็เป้นได้
|
![]() ![]() |
![]() |
||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
หนังสือ real analysis | mandog | Calculus and Analysis | 5 | 18 สิงหาคม 2010 14:10 |
ช่วยคิดให้หน่อย เรื่อง REAL ANALYSIS. | ABELEAN | Calculus and Analysis | 4 | 17 มีนาคม 2010 11:40 |
REAL ANALYSIS เบื้องต้น ช่วยหน่อยค่ะ | rinso | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 4 | 14 ธันวาคม 2009 23:59 |
Real analysis Problem | M@gpie | Calculus and Analysis | 15 | 11 เมษายน 2006 16:14 |
โจทย์ real analysis เบื้องต้นรบกวนด้วยครับ | rigor | Calculus and Analysis | 5 | 06 ธันวาคม 2005 21:16 |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|