![]() |
|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
![]() ![]() |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
![]() ![]() ขอเฉลยหรือ hint ทุกข้อหน่อยครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#2
|
||||
|
||||
![]() 1.
ให้ $f(a)$ มีค่าน้อยที่สุด(well ordering) ถ้า $a>1$ แทน n ด้วย a-1 จะเกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น a=1 นั่นคือ f(1) มีค่าน้อยสุด(และมีเพียงตัวเดียวด้วย) สมมติให้ $f(b)$ มีค่าน้อยรองลงมาจาก$f(1)$ และเห็นได้ว่า $b>1$ แทน n ด้วย b-1 ได้ $f(b)>f(f(b-1))$ เนื่องจากตัวที่น้อยกว่า $f(b)$ มีเพียงตัวเดียวคือ $f(1)$ ดังนั้น f(f(b-1))=f(1) แต่เนื่องจาก ไม่มีจำนวนนับ a ตัวอื่นที่ไม่ใช่ 1 ที่ f(a)=f(1) อีกแล้ว จึงได้ f(b-1)=1 ทำให้ได้ว่าค่าของ f ที่น้อยสุดคือ 1 นั่นคือ f(1)=1 รวมทั้ง b-1=1 อีกด้วย ทำต่อโดยการอุปนัย ใช้หลักการคล้ายๆแบบนี้ครับ |
#3
|
||||
|
||||
![]() 3.
$f(x+f(y))=f(x)+y$ แทน $y$ ด้วย $x+f(y)$ $f(x+f(x+f(y)))=x+f(x)+f(y)$ $f(x+y+f(x))=x+f(x)+f(y)$ $f(x+y)+x=x+f(x)+f(y)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ให้$u>v$ แทน $x$ ด้วย $u-v$ แทน $y$ ด้วย $v$ ได้ $f(u)=f(u-v)+f(v) >,= 0$ $f(u)-f(v) >,= 0 $ ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันทางเดียวและสอดคล้องกับโคชี่ ได้ f(x)=cx แทนหา c และตรวจคำตอบ ครับ |
#4
|
||||
|
||||
![]() FE ปีนี้มีแต่แนวใหม่ๆจริงๆ ทำเอาคะแนนห่วยกันทั้งค่าย 555
มีคนได้เกิน20 แค่ 6 คนเอง
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#5
|
||||
|
||||
![]() 2. แทน $m$ ด้วย $f(m)$ จะได้เป็น $f(f(m)+f(n))=n+f(f(m)+58) = m+n+f(116)$
จากตรงนี้จะเห็นได้ชัดว่า f มัน 1-1 แล้วเราสามารถแทนค่า m,n หลายแบบเพื่อให้ผลรวมฝั่งขวายังเท่าเดิม $$f(f(n-1)+f(n+1))=2n+f(116)=f(2f(n))$$ ฉะนั้นโดยความเป็น 1-1 $f(n-1)+f(n+1)=2f(n)$ ซึ่งก็คือ $f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)=k$ ค่าคงที่ จากตรงนี้ก็สามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่า f คือ linear function และมันคือ $f(n)=n+58$ ผลรวมที่แยากได้ก็เลยเท่ากับ $990$ 4. เราแทน z ด้วย -1 และ x ด้วย 0 จะได้ $f(0)=1-f(-1)f(y)+2f(y)$ เราสรุปว่าถ้า $f(-1)$ ไม่เท่ากัย 2 จากสมการนี้เราจะได้ว่า f คือ constant function ซึ่งสามารถเช็คได้ง่ายว่าไม่มีคำตอบ ฉะนั้น f(-1)=2 และ f(0)=1 ที่นี้เราแทนแค่ z=-1 ในมการโจทย์ได้ว่า $f(2x^2)=1-2(x^2+f(y))+2f(y)=1-2x^2$ จากตรงนี้เราสรุปได้ว่า $f(x)=1-x$ สำหรับทุกๆ $x$ ที่เป็นจำนวนจริงบวก ต่อมาแทน x=z=0 ในสมการโจทย์ และใช้ที่ว่า $f(0)=1$ จะได้ $f(f(y))=1-f(0)f(y)=1-f(y)$ พิจารณากรณี $y\geq 0$ เราจะได้ว่า $f(y)=1-y$ เลยได้ด้วยว่า $f(1-y)=1-(1-y)$ แต่เนื่องจาก range ของ 1-y ในที่นี้คือไม่เกิน 1 ดังนั้น $f(y)=1-y$ สำหรับทุก $y$ ที่ $\geq 0$ และ $\leq 1$ ซึ่งจะเห็นว่ามันคลุมทั้งจำนวนจริง 5.เข้าใจว่าหมายถึง f ยกกำลัง 3 เพราะถ้าเป็น the third iteration of f ฟังก์ชั้น $f(x)=0.5$ สอดคล้องโจทย์แต่ไม่สอดคล้องโคชี สามารถหาได้ไม่ยากว่า $f(0)=0$ และ $f(-y)=-f(y)$ แทน $x=y=\frac{t}{2}$ ได้ $f(t)^3=8f(\frac{t}{2})^3\Rightarrow f(t)=2f(\frac{t}{2})$ แทน $(x,y)\rightarrow (\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$ ; $$f(x)^3+f(y)^3=2f(\frac{x+y}{2})^3+6f(\frac{x+y}{2})f(\frac{x-y}{2})^2=\frac{1}{4}[f(x+y)^3+3f(x+y)^2f(x-y)]$$ ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราแทน $(x,y)\rightarrow (\frac{x-y}{2},\frac{x+y}{2})$ แบบสลับคู่จะได้ $$f(x)^3-f(y)^3=\frac{1}{4}[f(x-y)^3+3f(x-y)^2f(x+y)]$$ เอาสองสมการนี้มาบวกกัน ฝั่งขวาจะกลายเป็น $\frac{1}{4}(f(x+y)+f(x-y))^3$ อย่างสวยงาม ในขณะที่ด้สนซ้สยจะเป็น $2f(x)^3$ เพราะฉะนั้นเมื่อปัดส้วนขึ้นมาแล้วถอดรากที่สาม $$2f(x)=f(x+y)+f(x-y)$$ ที่เหลือก็แค่เปลี่ยนตัวแปรให้เข้ากับโคชีแบบทั่วไปๆ ![]()
__________________
...Only NOOBS would use a signature..... |
#6
|
||||
|
||||
![]() อ้างอิง:
แต่ถ้าเราได้ว่า f(x) = 0.5 เราก็ได้ว่าสิ่งที่ให้พิสูจน์เป็นเท็จ ก็จบแล้วไม่ใช่เหรอครับ ![]()
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#7
|
||||
|
||||
![]()
โจทย์บอกชัดเจนว่า prove ไม่ได้ให้ prove or disprove นั่นคือคนออกโจทย์มั่นใจว่าโจทย์ถูกซึ่งถ้าเราคิดว่ามันคือ $f(f(f(x+y)))$ มันจะไม่ได้เพราะได้ตัวอย่างแย้งอย่างที่บอกไป ผมคิดว่าคนออกโจทย์ต้องการให้เป็น $f(x+y)^3$ มากกว่า เพราะ make sense กว่าหนะครับ เหตุเกิดจากสัญลักษณ์ไม่เคลียร์
__________________
...Only NOOBS would use a signature..... 26 เมษายน 2015 00:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ROCKY |
#8
|
||||
|
||||
![]() อ้างอิง:
![]() ![]() ขนาด2ปีที่แล้ว มีข้อนึงที่เป็น IMO ข้อ 6 แต่มีข้อง่ายๆ ก็มีคนเกิน20เยอะอยู่ |
#9
|
||||
|
||||
![]() อ้างอิง:
ว่าแต่ ข้อ2 พิสูจน์ว่าเป็น linear ยังไงครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
#10
|
|||
|
|||
![]()
มองว่ามันคือลำดับเลขคณิตสิครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
||||
|
||||
![]() อ้างอิง:
แต่ผมก็ยังคิดว่าโจทย์อยากให้เป็น $f(x+y)^3$ มากกว่า(อาจจะด้วยว่าก็อปมาผิด เข้าใจผิดหรืออะไรก็แล้วแต่) แค่เพียงมีสอนในค่ายไม่ได้หมายความว่าจะต้องออกสอบนิครับ ยิ่งเป็นค่ายสองด้วย เนื้อหามาก+ไม่ได้เฉพาะเจาะจง คือมากันระดับนี้แล้วไม่น่าจะมาออกโจทย์ผิดกัน สิ่งทีผมสงสัยคือในค่ายตอนสอบไม่มีใครสงสัยเลยเหรอว่า โจทย์มันแปลกๆ(คือถ้าใครให้ f เป็นค่าคงที่ ก็รู้ทันทีว่ามีคำตอบมากกว่า f=0) ไม่มีใครถามอาจารย์เลย?
__________________
...Only NOOBS would use a signature..... |
#12
|
||||
|
||||
![]() ตอนผมทำผมมัวแต่ไปยุ่งกับข้ออื่นเลยไม่ค่อยได้สนใจข้อนี้เท่าไหร่ ส่วนคนอื่นก็ไม่รู้ครับ $5555$
อาจจะคิดว่าถามไปครูเค้าก็ตอบไม่ได้ เพราะครูที่คุมสอบไม่ใช่ครูที่สอน และถ้ามันผิดจริง เค้าก็คงให้ฟรีทั้งค่ายเอง
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ 26 เมษายน 2015 19:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง |
#13
|
|||
|
|||
![]() เห็นด้วยนะครับว่าโจทย์ควรเป็น $[f(x+y)]^3$ มากกว่า $f(f(f(x+y)))$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#14
|
|||
|
|||
![]() เห็นด้วยตามคุณ nooonuii ครับ เพราะว่าผมเคยเห็นโจทย์ข้อนี้ใน AOPs เมื่อนานมาแล้วครับ
และโจทย์ก็ให้หาฟังก์ชันคำตอบเลย ซึ่งต้องทำต่อจากที่อาจารย์ในค่ายให้พิสูจน์อีกเล็กน้อยครับ |
#15
|
||||
|
||||
![]()
โจทย์ใน AOPs เป็น $f^3(x+y)$ หรือ ${(f(x+y))}^3$ ครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ |
![]() ![]() |
![]() |
||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
สพฐ 2558 รอบ 1 | butare | ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย | 20 | 18 มกราคม 2016 22:43 |
ท่านใดมีข้อสอบ สพฐ 2558 ช่วยลงหน่อยคะ | naam | ปัญหาคณิตศาสตร์ ประถมปลาย | 2 | 03 ธันวาคม 2015 21:06 |
ข้อสอบค่าย3 2558 ศูนย์สวนกุหลาบ | กขฃคฅฆง | ข้อสอบโอลิมปิก | 6 | 02 พฤษภาคม 2015 16:19 |
ประกาศผล สพฐ2558. ม.ต้น รอบ 1 เขต สพม. 1 | PoomVios45 | ข่าวคราวแวดวง ม.ต้น | 4 | 05 กุมภาพันธ์ 2015 15:34 |
สพฐ. 2558 รอบเขตพื้นที่ | คณิตสระบุรี | ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย | 3 | 26 มกราคม 2015 19:13 |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|