มาร่วมเฉลยข้อสอบ สอวน.ค่าย1-2

[polsk133]

ข้อสอง เรขาค่าย1 ปี2554 ผมได้ว่ามันไม่จริงอะครับ

[PP_nine]

ผมรู้แล้วครับ FE ข้อ 6 ที่ติดข้องกันอยู่อาจารย์ให้โจทย์ผิดมาครับ รู้สึกจะต้องเป็น
$$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-2$$
เหมือนว่าอาจารย์ต้องการแปลงโจทย์จาก IMO 1999 จาก -1 เป็น -2 ครับ

[จูกัดเหลียง]

#45 AM.-GM. $\sqrt{a}\sqrt{2ab+2+a}\le [a+(2ab+2+a)]/2=a+ab+1$ ครับ

[polsk133]

ขอบคุณครับ พี่จูกัดเหลียง

[polsk133]

พีชคณิต ค่าย2 ปี 2554 ข้อ 3 จะทำไงหรอครับ

ปล.ผมยังไม่เคยเรียนFE แล้วดันมาเรียนวิชาสุดท้ายเลย ผมยังทำไม่เป็นเลย

คือให้แทน x,y เป็นอะไรก้ได้แล้วก็ลบๆบวกๆหา f(x) ให้ได้ แบบนี้หรอครับ

ข้อสอง เรขาค่าย1 ปี2554 ผมได้ว่ามันไม่จริงอะครับ

สรุปโจทย์ผิดนะครับ ได้10คะแนนฟรีทั้งค่าย

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

4. กำหนด $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องอสมการ $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + |x-y|$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$ แล้ว จงแสดงว่า $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + 2^n|x-y|$$ ทุกจำนวนนับ $n$ พร้อมทั้งหา $f$ ทั้งหมด

ข้อนี้มีพิมพ์อะไรตกหล่นไปรึเปล่าครับ

[polsk133]

กลับมาบอกรุ่ยต่อไปครับ
ค่าย1 78คะแนนติดค่ายสอง สูงสุดปีนี้200คะแนน
เต็ม250

[polsk133]

พีชคณิต. ค่ายสองยากจังเลยครีบไว้ว่างๆจะแสกนให้
4.จงหาจำนวนตรรกยะx y zทั้งหมดที่ทำให้
X+y+z,xyz,1/x+1/y+1/z. เป็นจำนวนเต็ม

ปล.ที่ไม่พิมlatexเพราะ พิมในโทรศัพท์นะครับ

[Thgx0312555]

เนื่องจาก $xyz, \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \in \mathbb{Z}$
$\therefore xy+yz+zx \in \mathbb{Z}$

ให้ x,y,z เป็นรากของ $k^3+ak^2+bk+c = 0$
$\because a=-(x+y+z), b = xy+yz+zx, c=-xyz$
$\therefore a,b,c \in \mathbb{Z}$

ให้รากตรรกยะของสมการนี้อยู่ในรูป $\dfrac{p}{q}, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$
จะได้ $q|1$ ดังนั้น $q = 1$

ดังนั้น $x,y,z \in \mathbb{Z}$

จึงเป็นการเพียงพอที่จะ solve $ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \in \mathbb{Z}$ (ซึ่งยังยากอยู่ดี )

[polsk133]

คอมบิมีimoข้อ6ด้วยครับ สมบัติp อะใรนั่น ผมดันลืมเสียดายมาก

โจทย์คือ

การเรียชสับเปลี่ยนของ$x_1x_2...x_2n$ของเซต{1,2,...,2n}โดยที่ n€N

จะเรียกว่ามีสมบัติP ถ้ามี i€{1,2,...,2n-1} อย่างน้อยหนึ่งค่าที่ $|x_i-x_{i+1}|=n$

จงแสดงว่า สำหรับแต่ละ n จะมีการเรียงสับเปลี่ยนที่มีสมบัติPอยู่มากกว่าที่ไม่มีสมบัติP

มาเพิ่มอีกนิด เอาตัวพิมพ์ไปก่อนละกัน

เรขา มีข้อนี่น่าสนใจ
5.กำหนดสามเหลี่ยมabc สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าออกไปภายนอกบนด้านab เรียกabr
สำหรีบจุดXใดๆในระนาบจงพิสูจน์ว่า XA+XB+XC >,= RC
และจงหาเงื่อนไขที่เกิดสมการ

พืช
3.จงหาpที่ทำให้สมการ $5x^3-5(p+1)x^2+(71p-1)x-(66p-1)=0$

มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกสามราก

NT
1.ให้pเป็นจำนวนเฉพาะที่หารด้วย4แล้วไม่เหลือเศษ3 จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม a,b ที่ทำให้
$a^2+b^2$ หารด้วยpลงตัว โดยที่ a,b หารด้วยpไม่ลงตัว

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

NT
1.ให้pเป็นจำนวนเฉพาะที่หารด้วย4แล้วไม่เหลือเศษ3 จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม a,b ที่ทำให้
$a^2+b^2$ หารด้วยpลงตัว โดยที่ a,b หารด้วยpไม่ลงตัว

ใช้ Lemma จากในนี้ครับ พิสูจน์ ช่วยหน่อยครับ

นั่นคือ สำหรับจำนวนเฉพาะใดๆ,
$$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod{p}$$
แต่เพราะ $p \equiv 1 \pmod{4}$ เท่านั้น แสดงว่า
$$\frac{p+1}{2} \equiv 1 \pmod{2}$$
ดังนั้น
$$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 \equiv -1 \pmod{p}$$
$$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 +1^2 \equiv 0 \pmod{p}$$
แสดงว่ามีจำนวนเต็ม $a=\Big( \dfrac{p-1}{2} \Big) !$ และ $b=1$ ที่โจทย์ต้องการ

ส่วนในกรณีที่ $p=2$ ก็ใช้ $a=b=1$ ได้ครับ (ลืมไปว่าโจทย์ไม่ได้กำหนดว่าเป็นจำนวนเฉพาะคี่ )

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

การเรียงสับเปลี่ยน $x_1,x_2,...,x_{2n}$ ของเซต $\{ 1,2,...,2n \}$ โดยที่ $n \in \mathbb{N}$

จะเรียกว่ามีสมบัติ P ถ้ามี $i \in \{ 1,2,...,2n-1 \}$ อย่างน้อยหนึ่งค่าที่ $|x_i-x_{i+1}|=n$

จงแสดงว่า สำหรับแต่ละ n จะมีการเรียงสับเปลี่ยนที่มีสมบัติPอยู่มากกว่าที่ไม่มีสมบัติ P

เป็นการเพียงพอที่จะหากรณีที่ไม่มีสมบัติ P แทน หรือก็คือ ไม่มี $i$ ซึ่ง $x_{i+1} \equiv x_i \pmod{n}$

โดยเราจะเลือกทีละตัวจับมาเรียงกัน และพิจารณาการหยิบจากตารางดังต่อไปนี้
$$\vmatrix{1 \\ 2 \\ \vdots \\ n} \vmatrix{n+1 \\ n+2 \\ \vdots \\ n+n}$$
ถ้าเราเลือกตัวหนึ่งขึ้นมา ตัวถัดไปที่เลือกต้องไม่ใช่แถวเดียวกัน

และในการเลือกตัวต่อไปก็ในทำนองเดียวกัน

ดังนั้น จำนวนวิธีจึงเป็น
$$2n(2n-2)(2n-3) \cdots (3)(2)(1)=\frac{(2n)!}{2n-1}$$
แต่จำนวนวิธีสับเปลี่ยนทั้งหมดคือ $(2n)!$ ซึ่งสำหรับ $n \ge 2$ จะได้ว่า
$$\frac{(2n)!}{2} > \frac{(2n)!}{2n-1}$$
หรือก็คือ จำนวนวิธีที่ไม่มีสมบัติ P มีน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนวิธีทั้งหมด

หรือก็คือ จำนวนวิธีที่มีสมบัติ P มีมากกว่าจำนวนวิธีที่ไม่มีสมบัติ P #

ส่วนในกรณี $n=1$ ชัดเจนอยู่แล้ว

( วิธีทำผมมันดูแปลกๆยังไงไม่รู้นะครับ รู้สึกไม่มั่นใจเลย )

[NoN2538]

เรขาครับ
พิจารณาเพียงกรณี จุด P อยู่ข้างใน \triangle ABC
โดย Ptolemy จะได้ว่า AP*BR+BP*AR\geqslant AB*PR
ดังนั้น AP+BP\geqslant PR
AP+BP+CP\geqslant PR+CP
AP+BP+CP\geqslant RC

[LightLucifer]

พีชคณิต
ให้ $a,b,c$ เป็นราก จะได้
$(a-1)(b-1)(c-1)=0$
ที่เหลือน่าจะไปต่อได้

ที่น่าสนใจคือ NT เปลี่ยนเป็น ทุกๆ $a$ จะมี $b$ แล้วจะจริงไหม ??

[polsk133]

update ข้อสอบค่าย 2 ปีล่าสุด กำลังทยอยลงครับ