มาร่วมเฉลยข้อสอบ สอวน.ค่าย1-2

[Pain 7th]

2/2555 NT(3)

$x^n=(x+1)((x+2)^{n-1}+(x+2)^{n-2}(x+1)+...+(x+2)(x+1)^{n-2}+(x+1)^{n-1})$

$(x+1)((x+2)^{n-1}+(x+2)^{n-2}(x+1)+...+(x+2)(x+1)^{n-2}+(x+1)^{n-1})>(x+1)(n(x+1)^{n-1})$

$x^n > n(x+1)^{n}$

ข้อความนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x<0$

เพราะฉะนั้น ไม่มี x เป็นคำตอบที่เป็นบวก

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

2/2555 NT(3)

$x^n=(x+1)((x+2)^{n-1}+(x+2)^{n-2}(x+1)+...+(x+2)(x+1)^{n-2}+(x+1)^{n-1})$

$(x+1)((x+2)^{n-1}+(x+2)^{n-2}(x+1)+...+(x+2)(x+1)^{n-2}+(x+1)^{n-1})>(x+1)(n(x+1)^{n-1})$

$x^n > n(x+1)^{n}$

ข้อความนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x<0$

เพราะฉะนั้น ไม่มี x เป็นคำตอบที่เป็นบวก

เพราะอะไรครับ?

[polsk133]

#61 ข้อนั้นผมใช้ mod 4 อะครับ ไม่แน่ใจว่าได้ไหม

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

เพราะอะไรครับ?

$x^n < n(x+1)^n $ เป็นจริงสำหรับ ทุกๆ จำนวนคี่ n และ x>0

แต่ที่เราได้คือ $x^n > n(x+1)^n$ แสดงว่ามันจะเป็นจริงก็เมื่อ x เป็นำจวนลบครับ

[Majesty]

งง มันของ ม.ไหนครับเนี่ย

[polsk133]

อยากรบกวนให้ใครก็ได้ ช่วยเฉลยค่าย2ปี2555 วิชา FE AL NT ให้ผมทีครับ ผมข้องใจมากๆ

#65 ส่วนใหญ่ไม่มีใน ม ไหนหรอกครับ น่าจะอยู่ใน มหาลัยนะครับไม่ก็ มัธยมในบางหัวข้อ (ผมก็ไม่แน่ใจรู้แค่ว่ามันเรียนในค่าย สอวน.)

[PP_nine]

NT ค่าย2 ปี 2555

1. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p \not\equiv 3 (mod 4)$ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม $a,b$ ที่ทำให้ $a^2+b^2\equiv 0 (mod p)$ โดยที่ $p \nmid aและ b$ พร้อมยกตัวอย่างให้เห็นจริง

ข้อนี้เคยเฉลยไปแล้วครับ key

2. ให้ $a,b\in N$ ซึ่ง $(a,b)=1$ จงหาคำตอบของสมภาค
$$(a+b)x \equiv a^2+b^2 (mod ab)$$

คูณ $a+b$ ลงไปตรงๆเลย แล้วพิสูจน์หรม.อีกนิดหน่อยครับ

3. สำหรับจำนวนเต็มบวกคี่ $n>2$ จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $x$ ที่สอดคล้องกับ
$$x^n+(x+1)^n=(x+2)^n$$

สมมติว่ามีจำนวนนับ $x$ ซึ่งสอดคล้องเงื่อนไข

สังเกตว่า LHS มี $2x+1$ เป็นแฟคเตอร์ ดังนั้น $x+2$ ต้องเป็นจำนวนคี่ หรือก็คือ $x$ ต้องเป็นจำนวนคี่

ให้ $x=2k-1$ จากนั้นก็จัดรูปสมการเป็น $(2k)^n = (2k+1)^n - (2k-1)^n$

พอกระจายออกมาก็ชัดเจนอยู่แล้วครับ

4. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาเศษที่เกิดจากการหาร
$$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6+2^{2^{2558}}+1 ด้วย 100$$

ข้อนี่ผมขอผ่านนะครับ (ลืมไปแล้วว่าทำยังไง ตัวยกกำลัง 6 )

5. จงหาจำนวนเต็มบวก $m,n$ ซึ่ง $m>n$ และ $m+n$ มีค่าน้อยสุด ที่ทำให้
$$1234^m\equiv 1234^n (mod 1000)$$

ข้อนี้ยังไม่แน่ใจ ขอเวลาก่อนครับ

[polsk133]

ขอบคุณมากครับคุณ PP_nine ข้อ 4 ไม่เป็นไรครับ อึดอย่างเดียว(ผมจัดรูปเอา)

ปล.ปีนี้ไปสอบ ระดับชาติไหมครับ หรือเกิน ม6แล้ว

[Pain 7th]

ข้อ 5 นี่ได้เท่าไหร่หรอครับ ไม่มั่นใจว่ามันน้อยที่่สุดหรือเปล่าอ่ะครับ

(ปล . ผมพึ่งรู้เมื่อ 2-3 เดือนที่ผ่านมาว่ามีการสอบ สอวน สมัครตอนเดือนไหนอ่ะครับแต่มันยากมากอ่ะครับ )

[polsk133]

สมัครตอนประมาน กรกฎา อะครับสอบสิงหา ประกาศกันยา เข้าค่ายแรก ตุลา ค่ายสองมีนา ค่าย3เมษา สอบระดับชาติ พฤษภา (ผมพูดเหมือนเคยไปเลย555+)

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

สมัครตอนประมาน กรกฎา อะครับสอบสิงหา ประกาศกันยา เข้าค่ายแรก ตุลา ค่ายสองมีนา ค่าย3เมษา สอบระดับชาติ พฤษภา (ผมพูดเหมือนเคยไปเลย555+)

เดี๋ยวครั้งนี้คุณ polsk133 ก็ได้ไปแล้วล่ะครับ (ผมสังเกตมาสองเดือนแล้ว น่าจะได้ไปอยู่แล้วครับ)

แล้วประกาศผลตอนไหนอ่ะครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

เดี๋ยวครั้งนี้คุณ polsk133 ก็ได้ไปแล้วล่ะครับ (ผมสังเกตมาสองเดือนแล้ว น่าจะได้ไปอยู่แล้วครับ)

แล้วประกาศผลตอนไหนอ่ะครับ

ยังไม่ได้ปีนี้ครับ ต้องลุ้นปีหน้า แต่ในค่ายมีคนเก่งกว่าผมเยอะมากครับ

ส่วนคนที่ได้ไป ในเว็บนี้ก็มีอยู่ครับ

ประกาศผลหมายถึงค่ายไหนหรอครับ

รอบแรกประกาศผล กันยา
ผลค่าย1 กลางธันวา
ผลค่าย2 ต้นเมษา
ผลค่าย3 สอบเสร็จเย็นๆประกาศเลย
ผลระดับชาติ สอบเสร็จ1วันประกาศ (มั้งครับน่าจะใช่ ผมยังไม่เคยไป)

[Pain 7th]

ขอบคุณมากๆครับ ปีหน้าพยายามด้วยกันครับ

[PP_nine]

#68 ตอนนี้ผมอยู่ ม.6 (จบแล้ว) แล้วครับ

ข้อนี้สวยดีครับ เป็น IMO 1968

FE ค่าย2 ปี 2555

5. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันค่าจริง นิยามโดยสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ มีบางจำนวนจริงบวก $a$ ที่ทำให้
$$f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2}$$
5.1จงแสดงว่า $\frac{1}{2}\leqslant f(x)\leqslant 1$
5.2 จงแสดงว่ามีบางจำนวนจริงบวก $b$ ที่ทำให้ $f(x+b)=f(x)$ ทุก $x\in R$

5.1) มองว่า $f(x)$ เป็นตัวเลขหนึ่งซึ่ง $f(x)-[f(x)]^2 \ge 0$

และโดยพาราโบลาจะพบว่า $f(x)-[f(x)]^2 \le \dfrac{1}{4}$

ดังนั้น $\dfrac{1}{2} \le f(x+a) \le 1$ ทุกจำนวนจริง $x$

ซึ่งจริงๆก็คือ $\dfrac{1}{2} \le f(x) \le 1$ ทุกจำนวนจริง $x$



5.2) พิจารณา $f(x+2a)=\dfrac{1}{2}+\sqrt{f(x+a)-[f(x+a)]^2}$

แล้วกระจาย $f(x+a)=\dfrac{1}{2}+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2}$ ลงไป

สุดท้ายนำข้อ 5.1) มาช่วยตอนถอดรากที่สองออกมาก็จะได้ว่า $f(x+2a)=f(x)$

ดังนั้นมีจำนวนจริง $b=2a$ ที่สอดคล้องเงื่อนไข

[AnDroMeDa]

NT ค่าย2 ปี 2555

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

2. ให้ $a,b\in N$ ซึ่ง $(a,b)=1$ จงหาคำตอบของสมภาค
$$(a+b)x \equiv a^2+b^2 (mod ab)$$

3. สำหรับจำนวนเต็มบวกคี่ $n>2$ จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $x$ ที่สอดคล้องกับ
$$x^n+(x+1)^n=(x+2)^n$$

4. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาเศษที่เกิดจากการหาร
$$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6+2^{2^{2558}}+1 ด้วย 100$$

5. จงหาจำนวนเต็มบวก $m,n$ ซึ่ง $m>n$ และ $m+n$ มีค่าน้อยสุด ที่ทำให้
$$1234^m\equiv 1234^n (mod 1000)$$

ข้อ 2.

$(a+b)x \equiv a^2+b^2 (mod ab)\Rightarrow (a+b)^2x \equiv (a^2+b^2)(a+b)= a^3+b^3+ab(a+b) \equiv a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)(mod ab)$ แต่จาก $(a,b)=1$ จะได้ $(a+b,ab)=1$ ทำให้ได้ $(a+b)x \equiv a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab\equiv (a+b)^2(mod ab)$ จาก $(a+b,ab)=1$ จะได้ $x\equiv a+b (mod ab)$ เป็นคำตอบของสมภาค

ข้อ 3.

take $mod (x+1)$ จะได้ $(x+2)^n\equiv 1(mod x+1)$จะได้$$1\equiv (x+2)^n=x^n+(x+1)^n\equiv x^n=((x+1)-1)^n\equiv (-1)^n=-1 (mod x+1)\Rightarrow x+1|2\Rightarrow x=1\Rightarrow 1+2^n=3^n$$เนื่องจาก n เป็นจำนวนนับคี่ที่มากกว่า2 take mod 4 จะได้ $1\equiv 1+2^n=3^n\equiv (-1)^n=-1(mod 4)$เกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้นไม่มีจำนวนเต็มบวก $x$ ที่สอดคล้องกับ สมการเริ่มต้น

ข้อ 4.

แบ่งคิดเป็น$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6 (mod 100)$ และ $2^{2^{2558}} (mod 100)$
ส่วนแรก$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6 (mod 100)$ เนื่องจาก ${n,n+1,n+2,...,n+99}$เป็น Complete residue system modulo 100 จะได้ว่า$$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6\equiv \sum_{i = 0}^{99} i^6=\sum_{0\leqslant k,l\leqslant9 ,k,l\in \mathbb{Z}}(10k+l)^6\equiv \sum_{0\leqslant k,l\leqslant9 ,k,l\in \mathbb{Z}}(60kl^5+l^6) (mod 100)
จะได้ $$ $$\sum_{0\leqslant k,l\leqslant9 ,k,l\in \mathbb{Z}}(60kl^5+l^6) = 60(1+2+...+9)(1^5+2^5+...+9^5)+10(1^6+2^6+...+9^6) \equiv 10(1^6+2^6+...+9^6) (mod 100)$$
แต่จาก $$(1^6+2^6+...+9^6)\equiv 2(1^6+2^6+3^6+4^6)+5^6\equiv 2(1+4+1+6)+5=29\equiv 9 (mod 10)$$
จะได้ว่า$$10(1^6+2^6+...+9^6)\equiv 90 (mod 100)$$
ดังนั้น$$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6\equiv 90 (mod 100)$$

ส่วนที่สอง$2^{2^{2558}} (mod 100)$แยกคิดเป็นmod4 และmod 25จะได้
$2^{2^{2558}}\equiv 16 (mod 25)$และ$2^{2^{2558}}\equiv 0 (mod 4)$
โดยท.บ.เศษเหลือจีนจะได้$2^{2^{2558}}\equiv 16 (mod 100)$

ดังนั้น$$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6+2^{2^{2558}}+1 \equiv 90+16+1\equiv 7 (mod 100)$$
หรือก็คือเศษที่เกิดจากการหาร
$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6+2^{2^{2558}}+1 $ ด้วย 100 เท่ากับ 7

ข้อ 5.

จากโจทย์จะได้$1000|(1234^m-1234^n)=1234^n(1234^{m-n}-1)=2^n\bullet 617^n(1234^{m-n}-1)$
สังเกตว่า$1234^{m-n}-1$เป็นจำนวนคี่และจาก$1000=2^3\times 5^3$จะได้$2^3|2^n\Rightarrow min(n)=3$เราจะหาค่าmที่ต่ำที่สุดที่ทำให้$125|617^3(1234^{m-3}-1)$
หรือก็คือ$125|(1234^{m-3}-1)\Leftrightarrow 1234^{m-3}\equiv 1 (mod 125)$จากEuler's Theorem เราได้ $1234^{100}\equiv 1 (mod 125)$ แต่เราต้องการ $m-3$ ที่มีค่าต่ำที่สุดดังนั้น $m-3|100$ แต่เราได้ว่า $1234^{25}\equiv 124 (mod 125)$ และ $1234^{50} \equiv 1 (mod 125)$ ดังนั้น $m-3=50\Rightarrow m=53$
ดังนั้น$m,n$ที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าวก็คือ$(m,n)=(53,3)$