#1
|
||||
|
||||
Trigonometry
ข้อสอบในค่ายสสวท.ครับ
1.สมมติว่า $\theta$ เป็นพหุคูณตรรกยะของ $\pi$ นั่นคือ $\theta = \frac{m\pi}{n}$ โดยที่ $m,n \in \mathbb{Z},n \not= 0$ (1)ถ้า $cos \theta \in \mathbb{Q}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $cos \theta$ (พร้อมบทพิสูจน์) (2)ถ้า $tan \theta \in \mathbb{Q}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $tan \theta$ (พร้อมบทพิสูจน์) เมื่อ $\mathbb{Q}$ แทนเซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
พี่ nooonuii ช่วยโพสต์เฉลยได้ไหมครับ ผมยังคิดไม่ออกเลยครับ
|
#4
|
||||
|
||||
เกิดมาเพิ่งเคยได้ยินเนี่ยแหละครับ Cyclotomic polynomial รอพี่ Noonuii มาแถลง
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#5
|
|||
|
|||
Cyclotomic polynomial คือ พหุนามที่ลดทอนไม่ได้บนเซตของจำนวนตรรกยะที่มีกำลังน้อยสุดซึ่งมีรากทั้งหมดคือ primitive $n th$ roots of unity(รากที่ $n$ ของ $1$ ที่ไม่ใช่ $1$ และมีคุณสมบัติพิเศษบางอย่าง อธิบายยากจัง ) เราใช้สัญลักษณ์ $\Phi_n(x)$ แทนพหุนามชนิดนี้
มีทฤษฎีบทหนึ่งกล่าวไว้ว่ากำลังของ $\Phi_n(x)$ จะมีค่าเท่ากับ $\phi(n)$ เมื่อ $\phi$ คือ Euler-phi function ตัวอย่าง $\Phi_2(x)=x+1$ $\Phi_3(x)=x^2+x+1$ $\Phi_4(x)=x^2+1$ $\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ $\Phi_6(x)=x^2-x+1$ ปูพื้นให้แค่นี้ก่อนละกันครับ คราวนี้กลับมาที่ปัญหาของเรา ให้ $z=e^{i\theta}$ จะได้ว่า $z$ เป็นรากของพหุนาม $z^2-2\cos{\theta}z+1$ ซึ่งเป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ แต่ $z$ เป็น primitive $n th$ root of unity สำหรับบาง $n$ เราจึงได้ว่า $\Phi_n(x)$ มีกำลังไม่เกินสอง เพราะพหุนามนี้เป็นพหุนามที่มีกำลังน้อยสุดที่มี $z$ เป็นราก เราจึงได้ว่า $\phi(n)\leq 2$ ซึ่ง $n$ ที่สอดคล้องคุณสมบัตินี้คือ $1,2,3,4,6$ เท่านั้น ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ $\cos\theta$ คือ $0,\pm 1,\pm \dfrac{1}{2}$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $\sin\theta$ หาได้จากสูตร $\sin\theta=\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$ ค่าที่เป็นไปได้ของ $\tan\theta$ หาได้จากสูตร $$\cos2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}$$ ที่มา : Rational Values of Trigonometric Functions, The American Mathematical Monthly จำ Volume ไม่ได้แล้วครับ แต่เป็นวารสารที่ตีพิมพ์เมื่อเร็วๆนี้ หน้า 818 Comment : ผมว่าวิธีนี้ใช้เทคนิคของพีชคณิตชั้นสูงเกินไป ถึงแม้ว่าวิธีพิสูจน์จะค่อนข้างสั้นแต่ต้องการความเข้าใจในหลายๆเรื่อง ผมเชื่อว่ายังมีวิธีที่ง่ายกว่านี้อีกครับ ผู้เขียนได้แนะไว้ว่ามีวิธีพิสูจน์ซึ่งอาจจะเข้าใจง่ายกว่านี้ในหนังสือ 1. Irrational Numbers ของ I. Niven ตีพิมพ์ปี 1956 หน้า 41 2. Introduction to Cyclotomic Fields ของ Lawrence Washington ตีพิมพ์ปี 1997 หน้า 15 ลองหาจากสองเล่มนี้เผื่อจะมีวิธีง่ายๆครับ แต่หนังสือเล่มที่สองผมว่าไม่ง่ายน่ะเพราะคนนี้เป็นอาจารย์สอนอยู่มหาลัยของผมเอง เขาเขียนหนังสือระดับ graduate ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
|||
|
|||
หลังจากเสียเวลาพิมพ์ความคิดเห็นข้างบนอยู่นาน สุดท้ายผมก็คิดวิธีง่ายๆออกแล้วครับ
ข้างบนเอาไว้อ่านเพลินๆก็แล้วกันนะครับ แต่ก็ได้ไอเดียจากวิธีนี้แหละนะ ให้ $z=\cos\theta + i\sin\theta$ จากข้อสมมติเราจะได้ว่า $z$ เป็นรากที่ $n$ ของ $1$ สำหรับบาง $n$ นั่นคือ $z$(และ $\overline{z}$) เป็นรากของพหุนาม $x^n-1$ แต่ $z,\overline{z}$ เป็นรากของพหุนาม $x^2-2\cos\theta x+1$ ด้วย เราจึงได้ว่า $$x^2-2\cos\theta x+1\mid x^n-1$$ แต่ตัวประกอบของ $x^n-1$ จะเป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเสมอ ดังนั้นจึงเป็นไปได้อย่างเดียวว่า $2\cos\theta$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม เราจึงได้ว่า $$\cos\theta=0,\pm 1,\pm\frac{1}{2}$$ เท่านั้น
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#7
|
|||
|
|||
ผมว่าวิธีง่ายๆที่ผมว่ายังมีข้อผิดพลาดอยู่ มีใครจับผิดได้บ้างครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ชวนคิดโจทย์ Trigonometry | Switchgear | พีชคณิต | 12 | 14 กรกฎาคม 2007 20:57 |
Trigonometry | darkball2000 | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 22 | 02 เมษายน 2007 10:29 |
trigonometry problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 7 | 18 เมษายน 2005 21:31 |
|
|