อินทิเกรตข้อนี้ทำยังไงหรอครับ

[ILTTLI]

รู้ว่าต้องใช้binomial theorem เเต่พอกระจายเเล้วมันติด$(-x)^n$อะครับ ช่วยหน่อยนะครับ
ปล. e=จน.ใดๆ n=จน.เต็มใดๆ (หมายถึงว่าจากซ้ายเเล้วไปขวาได้ยังไงอะครับ)

[nooonuii]

$\int\limits_0^1 x^e(1-x)^n \,dx = B(e+1,n+1)$

$=\dfrac{\Gamma(e+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(e+n+2)}$

$=\dfrac{\Gamma(e+1)n!}{(e+1)(e+2)\cdots(e+n+1)\Gamma(e+1)}$

$=\dfrac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n+1)}$

รายละเอียดดูได้จากที่นี่

Beta function

[gon]

น่าจะประมาณนี้ครับ

ให้ $I_{m, n} = \int_0^1 x^m(1-x)^n dx$

ให้ $u = (1-x)^n, dv = x^m dx$

by parts ได้ $I_{m, n} = 0 + \frac{n}{m+1} \int_0^1 x^{m+1} (1-x)^{n-1}dx $

นั่นคือ $I_{m, n} = \frac{n}{m+1} I_{m+1, n-1}$

ดังนั้น $I_{m+1, n-1} = \frac{n-1}{m+2} I_{m+2, n-2}$

อีกที $I_{m+2, n-2} = \frac{n-2}{m+3} I_{m+3, n-3}$

ทำซ้ำไป $n$ ครั้ง

จะได้ $I_{m, n} = \frac{n}{m+1}\cdot \frac{n-1}{m+2} \cdot \frac{n-2}{m+3} \cdots \frac{n-(n-1)}{m+n}I_{m+n, n-n} $

แต่ $I_{m+n, 0} = \int_0^1 x^{m+n}dx = \frac{1}{m+n+1}$

ดังนั้น $I_{m, n} = \frac{n}{m+1}\cdot \frac{n-1}{m+2} \cdot \frac{n-2}{m+3} \cdots \frac{n-(n-1)}{m+n} \cdot \frac{1}{m+n+1} = \frac{n!m!}{(m+n+1)!}$

[ILTTLI]

ขอบคุณคุณ gon เเละ คุณ noonuii มากๆครับ พอดีกำลังศึกษาเรื่องที่มาจริงๆของgamma functionอยู่เเต่ก็มาติดตรงนี้พอดีเลย