|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยข้อนี้ผมหน่อยครับ
กำหนดให้ $a,b,c$ จำนวนจริงที่แตกต่างกันทั้งหมด จงแสดงว่า
$$a\cdot \frac{(a+b)(a+c)}{(a-b)(a-c)}+b\cdot \frac{(b+c)(b+a)}{(b-c)(b-a)}+c\cdot \frac{(c+a)(c+b)}{(c-a)(c-b)}=a+b+c$$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#2
|
|||
|
|||
ทำตรงๆเลยครับ แต่ถ้าไม่อยากให้ถึกมากลองให้
$q=ab+bc+ca$ แล้วสังเกตว่า $(a+b)(a+c)=a^2+q$ อีกสองเทอมก็เป็นไปในทำนองเดียวกัน สุดท้ายถ้าไม่คำนวณอะไรผิดจะมาจบที่ $a^3(c-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)=(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$ ซึ่งคิดว่าน่าจะไปต่อได้ ผมเริ่มไว้ให้นิดนึงละกัน $LHS=a^3(c-a)+a^3(a-b)+b^3(a-c)+c^3(b-a)$ อีกวิธีคือใช้พหุนาม กำหนดให้ $b,c$ เป็นค่าคงตัว และให้ $a=x$ เป็นตัวแปร เอกลักษณ์จะเปลี่ยนเป็น $(c-b)x(x+b)(x+c)+b(b+c)(x+b)(x-c)+c(b+c)(x+c)(b-x)=(c-b)(x+b+c)(x-b)(x-c)$ จะเห็นว่าทั้งสองข้างเป็นพหุนามกำลังสามที่มีสัมประสิทธิ์นำเป็น $c-b$ ดังนั้นถ้าเราพิสูจน์ว่าพหุนามทั้งสองตัวมีรากเหมือนกันทุกตัวก็จบ สังเกตว่าพหุนามฝั่งขวามีรากคือ $b,c,-b-c$ เราก็แค่พิสูจน์ว่าทั้งสามตัวนี้เป็นรากของพหุนามฝั่งซ้ายด้วยก็จบครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับ ^^
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
|
|