|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 12: Divisibility of Central Binomial Coefficients
จงพิสูจน์ว่า สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ แล้ว$$(n+1)\, \Bigg| \, {2n\choose n}$$ป.ล. เห็นว่ายังหัวค่ำอยู่ก็เลยรีบเอาโจทย์มาให้ก่อน แล้วจะตามไปตอบกระทู้ที่เกี่ยวข้องทีหลังครับ
|
#2
|
||||
|
||||
เราจะพิสูจน์เอกลักษณ์ต่อไปนี้ $$C_n=\frac{1}{2n+1}{{2n+1}\choose{n}}=\frac{1}{n+1}{{2n}\choose{n}}$$
เอกลักษณ์นี้เป็นจริงเนื่องจาก $${{2n+1}\choose{n}} =\frac{(2n+1)\cdot 2n\cdots (n+2)}{n!}=\frac{2n+1}{n+1}\cdot\frac{2n!}{(n!)^2} =\frac{2n+1}{n+1}{{2n}\choose{n}}$$ ซึ่งสิ่งที่ต้องการพิสูจน์ตามมาจากความจริงที่ว่า (n+1,2n+1)=1 ### (Edited: Danke sehr nong Nithi ^_^) หมายเหตุ: $C_n$ เป็น nth catalan numbers หากต้องการอ่านเพิ่มเติมสามารถอ่านได้จากลิงค์ด้านล่างครับ central binomial coefficients Catalan number from mathworld Central Binomial Coefficient identities
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 29 มกราคม 2006 01:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ขอเสนออีกวิธีนึงครับ พิจารณาตามนี้ $${{2n+1}\choose{n+1}}-2{{2n}\choose{n+1}} =\frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!}-\frac{2(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} =\frac{(2n+1)!-2n(2n)!}{(n+1)!n!} =\frac{(2n)!}{(n+1)!n!} =\frac{1}{n+1}{{2n}\choose{n}}$$ เนื่องจาก ${{2n+1}\choose{n+1}}$ และ ${{2n}\choose{n+1}}$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า $\frac{1}{n+1}{{2n}\choose{n}}$ เป็นจำนวนเต็มด้วย ดังนั้น $$(n+1)\, \Bigg| \, {2n\choose n}$$ |
#4
|
||||
|
||||
เอิ๊ก จริงด้วยๆ ขอบคุณน้อง nithi_rung มากๆครับสำหรับคำแนะนำ ตอนพิมพ์ตอนแรกนึกไม่ออกจะอ้างอะไร หากใครเข้ามาตอนแรกๆคงเห็นผมใช้การอ้างว่า $C_n$ เป็นจำนวนเต็มด้วยซ้ำ... ไปแก้แล้วครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#5
|
|||
|
|||
ดีใจจังที่เห็นน้อง nithi_rung ผู้เคยได้รับเหรียญโอลิมปิกมาแล้วมาเล่นด้วย
วิธีทำของคุณ nongtum แปลกดี ผมชอบครับ ส่วนของน้อง nithi_rung ก็เป็นแบบง่ายๆที่ผมไม่เคยเห็น อ้อ ขอบใจน้อง nithi_rung ที่ช่วยเช็คคำตอบของคนอื่นให้ด้วยนะครับ ผมยังรอการพิสูจน์แบบอื่นๆ (น่าจะมีอีกนา) อยู่นะครับ ข้อนี้เป็นข้อแรกที่ผมเอามาจากหนังสือที่เขารวมโจทย์ไว้ (โดยไม่มีประสพการณ์เกี่ยวกับโจทย์ข้อนี้จากที่อื่นมาก่อนเลย) ผมรู้สึกว่าข้อนี้ยากตรงที่ทุกครั้งที่ผมเริ่มทำใหม่ (หลังจากที่ลืมเฉลยไปแล้ว) ผมจะเริ่มต้นด้วยการพยายามใช้ induction ทุกทีเลย (เนื่องจากเป็นโจทย์ประเภทให้พิสูจน์ว่า $\forall n\in\mathbb N\dots$) แล้วก็ไม่เคยสำเร็จ สงสัยมันจะใช้กับข้อนี้ไม่ได้จริงๆแฮะ อ้อ เวลาใช้ฟังก์ชัน gcd ใน LaTeX อย่าลืมใส่ \ ข้างหน้า (เป็น \gcd) ด้วยนะครับ 01 กุมภาพันธ์ 2006 01:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#6
|
|||
|
|||
Hint: ลองหาดูสิครับว่าพอจะมีวิธีอื่นนอกจากที่น้อง nithi_rung แสดงไปแล้วอีกไหม ที่เราสามารถเขียน $$\frac{1}{n+1} {2n \choose n}$$ ในรูปของผลบวกหรือผลต่างของสัมประสิทธิ์ทวินามได้
|
#7
|
|||
|
|||
อืม ไม่รู้จะ hint ว่าไงแล้วครับ เอาเป็นแจกคะแนนไปก่อนละกัน ครับ...คุณ nongtum และน้อง nithi_rung รับไปคนละ 5 คะแนนครับ
|
#8
|
|||
|
|||
คำตอบนี้ไม่ขอรับคะแนนละกัน เอามาจาก Hint ของคุณ Warut ครับ
\( \displaystyle{\frac{1}{n+1}{2n \choose n} = {2n \choose n} - \frac{n}{n+1}{2n \choose n} = {2n \choose n} - {2n \choose n+1}} \)
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
|||
|
|||
อ้าว ทำไมไม่เอาคะแนนล่ะครับ
|
#10
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
|||
|
|||
คุณ nooonuii ไม่ต้องเป็นห่วงเรื่องพวกนั้นหรอกครับ แค่เข้ามาเล่นก็นับเป็นเกียรติอย่างสูงแล้ว (ไม่ได้หมายถึงเฉพาะคุณ nooonuii คนเดียวนะครับ แต่หมายถึงทุกๆคนที่เข้ามาร่วมตอบคำถาม) เรื่องคะแนน เรื่องช้าเร็ว และเรื่องอื่นๆ ปล่อยให้เป็นภาระของผมเถอะครับ
ผมรอคำตอบอันของคุณ nooonuii มาตั้งเกือบเดือน ไม่ให้คะแนนได้ไง ถ้าผมเห็นว่าช้าไป คงเฉลยไปแล้วไม่รออยู่อย่างนี้หรอกครับ ผมว่าคำตอบอันนี้สวยกว่าของน้อง nithi_rung อีกเพราะใช้ binomial coefficients แค่ 2 ตัว (ของน้อง nithi_rung เทียบเท่ากับใช้ 3 ตัว) คำตอบอีกอันหนึ่งที่ใช้ได้ก็คือ $$\frac{1}{n+1} {2n\choose n} = 2{2n\choose n} - {2n+1\choose n}$$ สรุปว่าคุณ nooonuii รับไปอีก 5 คะแนนสำหรับคำตอบอันนี้ครับ |
#12
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับ
โจทย์ข้อนี้พิสูจน์ได้หลายแบบดีครับ กำลังคิดอยู่เหมือนกันว่าจะใช้ induction ได้รึปล่าว
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Binomial Expansion | modulo | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 13 พฤศจิกายน 2005 03:07 |
binomial problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 3 | 17 เมษายน 2005 19:47 |
โจทย์ของ simple[2] (โจทย์ binomial) | infinity | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 21 กันยายน 2002 17:59 |
|
|