|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Equivalent Norm on L2
มีเรื่องรบกวนครับประเด็นหลักๆอยู่ที่ตอน proof ครับแต่ก่อนอื่น
เราจะกล่าวว่า $\| \cdot \|_1$ และ $\| \cdot \|_2$ ที่นิยามบนปริภูมิเวกเตอร์ $X$ สมมูลกันก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง $\alpha, \beta$ ที่ทำให้ \[ \alpha \| x \|_1 \leq \|x\|_2 \leq \beta \| x \|_1, \quad \; \; \forall x \in X \] สมมูลกับนอร์มต่อไปนี้ \[ \| z \| = \; \; \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; 2 \sum_{n=1}^{\infty}\mid \int_0^1 z(s)\cos (n\pi s) ds \mid ^2 \] ก่อนอื่นให้ $z\in L_2(0,1)$ ซึ่ง $z$ ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง โดยเลือกใช้ orthonormal basis เป็น $e_n = e^{jn\pi s}, \forall n \in \mathbb{N}$ ใช้คุณสมบัติ parseval จะได้ว่า \[ \| z \|_{L_2(0,1)} = \; \; \sum_{n=-\infty}^{\infty}\mid \langle z, e_n \rangle \mid ^2 = \mid \langle z, e_0 \rangle \mid + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \mid \langle z, e_n \rangle \mid ^2 +\mid \langle z, e_{-n} \rangle \mid ^2 \right]\] แทนค่าตามสูตรจะได้ว่า \[\|z\|_{L_2(0,1)} = \; \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; \sum_{n=1}^{\infty} \left[\mid \int_0^1 z(s)e^{jn\pi s} ds \mid ^2 + \mid \int_0^1 z(s)e^{- jn\pi s} ds \mid ^2 \right] \] \[ \leq \; \; \; \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \mid \int_0^1 z(s)e^{jn\pi s} ds \mid ^2 +2 \int_0^1z(s)e^{jn\pi s}ds \int_0^1z(s)e^{-jn\pi s}ds + \mid \int_0^1 z(s)e^{- jn\pi s} ds \mid ^2 \; \right] \] \[ = \; \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; \sum_{n=1}^{\infty} \mid \int_0^1 z(s)e^{jn\pi s} ds + \int_0^1z(s)e^{-jn\pi s} ds \mid ^2 \] \[ \leq \; 2 \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; 4 \sum_{n=1}^{\infty} \mid \int_0^1 z(s)\cos (n\pi s) ds\mid ^2 \] ดังนั้น \[ \|z\|_{L_2(0,1)} \leq 2 \left( \; \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; 2 \sum_{n=1}^{\infty} \mid \int_0^1 z(s)\cos (n\pi s) ds\mid ^2 \right) = 2\| z \|\] จากนิยามนอร์มสมมูลฝั่งขวาสำเร็จ แต่ฝั่งซ้ายยังหาวิธีไปไม่ได้เลยครับ พี่ๆน้องๆหรือผู้รู้ท่านใดเห็นว่าที่ผมทำมีข้อผิดพลาด หรือมีอสมการเด็ดๆในการทำฝังซ้าย ก็ขอแนะนำด้วย ครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 19 พฤศจิกายน 2006 20:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
#2
|
||||
|
||||
วิธีการฝั่งซ้ายมาแล้วครับ
\[ \begin{array}{ccl} \|z\| & = & \displaystyle{ \mid \int_0^1z(s)ds \mid^2 + 2\sum_{n=1}^{\infty}\mid \int_0^1 z(s)\left( \frac{e^{jn\pi s} +e^{-jn\pi s}}{2} \right) ds \mid ^2 } \\ & = & \displaystyle{ \mid \int_0^1z(s)ds \mid^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\mid \int_0^1 z(s) e^{jn\pi s} ds + \int_0^1 z(s)e^{-jn\pi s}ds \mid ^2 } \\ & \leq &\displaystyle{ \mid \int_0^1z(s)ds \mid^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} ( \mid \int_0^1 z(s) e^{jn\pi s} ds\mid^2 + 2 \mid \int_0^1 z(s) e^{jn\pi s} ds \mid \mid \int_0^1 z(s) e^{-jn\pi s} ds\mid } \\ & & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle{ + \mid \int_0^1 z(s)e^{-jn\pi s}ds \mid ^2 ) } \\ & \leq &\displaystyle{ \mid \int_0^1z(s)ds \mid^2 + \sum_{n=1}^{\infty} ( \mid \int_0^1 z(s) e^{jn\pi s} ds \mid^2 + \mid \int_0^1 z(s) e^{-jn\pi s} ds\mid^2 ) } \\ & = &\| z \|_{L_2(0,1)} \end{array} \]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
งงคับ กับ Equivalent Polynomial | M@gpie | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 7 | 04 ธันวาคม 2005 00:05 |
|
|