#1
|
||||
|
||||
minimum
ถ้า $0\leq P_i\leq 1$ สำหรับทุก $1\leq i\leq n$ และ $P_1+P_2+P_3+\cdots+P_n=1$
จะแสดงว่า ค่าน้อยสุด(minimum) ของ $P^2_1+P^2_2+P^2_3+\cdots+P^2_n=\frac{1}{n}$ และ $P_i=\frac{1}{n}$ สำหรับทุก $1\leq i\leq n$
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#2
|
||||
|
||||
ทำได้โดยอาศัย Cauchy Inequality ครับ
\[ 1 = P_1+P_2+ ...+ P_n \leq \sqrt{P_1^2+P_2^2+...+P_n^2}\sqrt{n} \]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#3
|
||||
|
||||
โดย Cauchy-Schwarz inequality:
$$1=1\cdot P_1+1\cdot P_2+\cdots+1\cdot P_n\le (1+1+\cdots+1)^{1/2}(P_1^2+P_2^2+\cdots+P_n^2)^{1/2}$$ ดังนั้น $P_1^2+P_2^2+\cdots+P_n^2\ge\frac1n$ และสมการเกิดขึ้นเมื่อ $P_1=P_2=\cdots=P_n$ ซึ่งทำให้เราได้ข้อสรุปตามต้องการ |
#4
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากนะครับที่ช่วยเหลือ (ทุกคนเลย)
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#5
|
|||
|
|||
แถมให้อีกหนึ่งวิธีครับ
ใช้อสมการ $2ab\leq a^2+b^2$ พิสูจน์ $1=(p_1+p_2+\cdots + p_n)^2$ $\displaystyle{\,\,\,\, =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^np_ip_j}$ $\displaystyle{\,\,\,\,\leq \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\dfrac{p_i^2+p_j^2}{2}}$ $\,\,\,\,=n(p_1^2+\cdots + p_n^2)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ทำไมต้องเป็นอย่างนี้คับ
__________________
ความรู้คือ ประทีป ส่องทาง จริงๆนะครับ |
#7
|
||||
|
||||
ได้จากเงื่อนไขที่อสมการกลายเป็นสมการของ อสมการโคชีครับ สำหรับกรณีนี้ คือ มีค่าคงที่ค่าหนึ่งที่ทำให้ $P_i=k$
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 12 กุมภาพันธ์ 2008 23:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
minimum eigenvalue & concavity | sompong2479 | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 5 | 22 กุมภาพันธ์ 2006 21:28 |
minimum value?????????? | Preety boy | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 7 | 20 พฤศจิกายน 2004 03:43 |
|
|