|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์ analysis ช่วยคิดหน่อยครับ
1. ถ้า $f : R\rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ โดยที่ $\left|\,f'(x)\right| < \frac{1}{x^2+1} $
แล้วจงพิสูจน์ว่า $f(x)$ มีขอบเขต 2. กำหนดให้ $A = \left\{\,f\in C^1[-1,1]| \left|\,f(x)\right|+\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10\right\} $ 2.1 จงแสดงว่าทุกๆลำดับของฟังก์ชันจากเซต A มีลำดับย่อยที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ 2.2 ถ้าลำดับของฟังก์ชันจากเซต A ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ จงอธิบายว่าลิมิตของลำดับนั้นจำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของ A หรือไม่ |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
By using the Fundamental Theorem of Calculus, we have $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^xf'(t)\,dt+f(0)}$. Thus $\displaystyle{|f(x)|\leq\Big|\int_{0}^xf'(t)\,dt\Big|+|f(0)|}$ $\displaystyle{\leq\int_{0}^x|f'(t)|\,dt+|f(0)|}$ $\displaystyle{<\int_{0}^x\dfrac{1}{1+t^2}\,dt+|f(0)|}$ The same idea for $x<0$.
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
นั่นคือ ถ้าเราพูดว่า "$f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),...$ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์" นั่นหมายความว่า "ทุก $x$(ที่อยู่ในโดเมน) ทุก $\varepsilon >0$ มี $N>0$ ที่ทำให้ เมื่อ $m,n>N$ จะได้ว่า $||f_m(x)|-|f_n(x)||<\varepsilon $ " รึเปล่าครับ แล้วสำหรับ Uniform converge ภาษาไทยเรียกว่าอะไรหรือครับ (ในที่นี้ ถ้าเราพูดว่า "$f_1(x),f_2(x),...,f_n(x),...$ Uniform converge" นั่นหมายความว่า " ทุก $\varepsilon >0$ มี $N>0$ ที่ทำให้ เมื่อ $m,n>N$ จะได้ว่า $|f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon $ สำหรับทุก $x$(ที่อยู่ในโดเมน) ") สำหรับข้อ 2.1 ผมพิสูจน์ออกมาได้ข้อสรุปที่ Strong กว่าคือ "มีลำดับย่อยที่ Uniform converge" สำหรับข้อ 2.2 ผมไม่แน่ใจว่าตัวอย่างผมถูกหรือเปล่า รบกวนช่วยเช็คกันด้วยยนะครับ $f_n(x) = \cases{0 &,x\in [-\frac {1}{n},\frac {1}{n}] \cr \frac {n}{2}(x-\frac {1}{n})^2 & , x\in [\frac {1}{n},\frac {2}{n}] \cr \frac {n}{2}(x+\frac {1}{n})^2 & , x\in [-\frac {2}{n},-\frac {1}{n}] \cr x-\frac {3}{2n} &, x\in [\frac {2}{n},1] \cr -x-\frac {3}{2n} &, x\in [-1,-\frac {2}{n}]}$ สามารถแสดงได้ว่า $f_n \in A$(ทุก n)และลู่เข้าหาฟังก์ชัน $abs(x)$ (หรือ$|x|$) แต่ว่า $abs(x) \not\in A$ (เพราะว่า หาอนุพันธ์ที่จุด $x=0$ ไม่ได้) 25 กรกฎาคม 2009 16:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ picmy |
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
2.1 สำหรับข้อนี้สามารถ apply ทฤษฏีบทสำคัญของ Analysis คือ Arzela-Ascoli theorem ได้ ขั้นที่ 1 ใส่ norm ให้ $f \in C^1[-1,1]$ โดย $\left\Vert\ f \right\Vert = \sup_{x \in [-1,1]} \left|\ f(x) \right|$ จะเห็นว่า $f_n \rightarrow f$ in this norm iff $f_n \rightarrow f$ uniformly สำหรับแต่ละ $f$ ใน $A$ จะได้ว่า $\left|\ f(x) \right| \leq 10$ สำหรับทุก $x$ ดังนั้น $\left\Vert\ f \right\Vert \leq 10$ สมบัตินี้เรียกว่า A is uniformly bounded ขั้นที่ 2 เราจะใช้ว่าแต่ละ $f \in A$, $\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10$ และเทคนิคเหมือนข้อหนึ่ง สำหรับ $d>0$, $\left|\,f(x+d) - f(x) \right| = \left|\,\int_{x}^{x+d}\,f'(t) dt \right| \leq \int_{x}^{x+d}\,\left|\, f'(t) \right| dt \leq 10d$ และคล้ายๆกัน $\left|\,f(x-d) - f(x) \right| \leq 10d$ สมบัตินี้เรียกว่า A is equicontinuous ขั้นสุดท้าย เนื่องจาก $A$ uniformly bounded and equicontinuous, Arzela-Ascoli theorem บอกว่า every sequence in A has a uniformly convergent subsequence สำหรับพิสูจน์ของทฤษฏีบทนี้ดูได้ในลิงก์ wikipedia หรือ textbook ทั่วไป ลืมบอกไปอย่างนึงคือ hypothesis ที่สำคัญของ Arzela-Ascoli theorem อีกข้อคือ แต่ละฟังก์ชั่นใน A ต้องนิยามบน compact set ด้วยครับ ในกรณีของเราคือ $[-1,1]$ เพิ่มเติมนิดหน่อยว่า every sequence in A has a uniformly convergent subsequence เทียบเท่ากับ A is compact as a metric space with $d(f,g) = \left\Vert\ f-g \right\Vert$ the above norm. และ เซต A เป็นตัวอย่างกลายๆ ของ Sobolev space ครับ 2.2 ถ้าเป็น uniform convergence ก็น่าจะจริงนะครับ เพราะอย่างแรก if $f_n \in C^1$ and $f_n \rightarrow f$ uniformly, then $f \in C^1$ ส่วน $\left|\,f(x)\right|+\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10$ เป็น pointwise property และเครื่องหมายเป็นน้อยกว่าหรือเท่ากับ ก็น่าจะไม่มีปัญหาอะไร สำหรับ 2.1 น่าจะมีพิสูจน์ที่ไม่ต้องอ้่าง Arzela-Ascoli theorem นะครับ แต่ไอเดียน่าจะคล้ายๆกัน คือใช้ความ uniformly bounded, equicontinuous, compactness of $[-1,1]$ แต่ถ้าเราจะใช้นิยาม pointwise absolute convergence ก็อาจจะง่ายขึ้นอีก (และ 2.2 ก็ไม่น่าจะจริง) |
#5
|
||||
|
||||
ผมเห็นด้วยกับคุณ Anarist ครับที่ใช้ Arzela-Ascoli theorem
แต่ผมติดอยู่ตรงที่ว่า ในที่นี้ $A\subset C^1[-1,1]\subset C[-1,1]$ โดยที่ $C^1[-1,1]\not= C[-1,1]$ การที่เราใช้ Arzela-Ascoli theorem ทำให้เราสรุปได้ว่า มีลำดับย่อยที่ convergence uniformlyใน $C[-1,1]$ แต่ผมคิดว่าอาจจะสรุปไม่ได้ว่า ลำดับย่อยนั้นจะยัง convergence uniformly ใน $C^1[-1,1]$อยู่ อันที่จริงแล้วตัวอย่างข้างบนที่ผมให้มานั้น convergence uniformly to $abs(x)$ (ถ้าผมคิดไม่พลาดนะคับ) ซึ่งเห็นได้ชัดว่า $abs(x) \in C[-1,1]$ แต่ว่า $abs(x) \not\in C^1[-1,1]$ |
#6
|
||||
|
||||
จริงครับ ตัวอย่างของคุณ picmy ถูกต้องเลย สวยมากด้วย ผมพลาดจุดนี้ไป
ถ้าจะให้ $\left\{\,f_{n}\right\}$ converges uniformly ใน $C^1[-1,1]$ ต้องให้ $\left\{\,f_{n}'\right\}$ converges uniformly ด้วย ซึ่งส่วนใหญ่ต้องใช้ uniform bound on second derivative แต่ผมกำลังงงอยู่คือ ผม quote มาจาก Wikipedia ว่า "Let X be a compact metric space, Y a metric space. Then a subset F of C(X,Y) is compact in the compact-open topology if and only if it is equicontinuous, pointwise relatively compact and closed" ในกรณีของเรา A ก็น่าจะ compact ด้วย แล้วก็ุถ้า X,Y metric space and X compact แล้ว compact-open topology ของ C(X,Y) จะ้เทียบเท่ากับ topology of uniform convergence (จากหน้านี้) ซึ่งผมก็คิดว่า topology ของ C(X,Y) ที่เกิดจาก sup norm ก็น่าจะ้เหมือนกับ topology of uniform convergence แล้วใน metric space เราก็มีว่า compact $\Leftrightarrow $ complete and totally bounded เพราะฉะนั้นถ้า A compact แล้วมันก็ต้อง complete ด้วย! ก็รบกวนช่วยกันดูหน่อยนะครับ ผมก็จะไปอ่านให้ละ้เอียดๆเพิ่่มอีก แต่ผมว่าตัวอย่างนี้น่าจะทำให้ผมเข้าใจเพิ่มขึ้นอีกมากมาย |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ซึ่งในคำตอบของ กรณีข้อ2.2 คือ"ไม่จำ้เป็น" ดังนั้นผมคิดว่า A ไม่น่าจะ compact คับ 26 กรกฎาคม 2009 16:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ picmy |
#8
|
|||
|
|||
uniform convergence ภาษาไทยคือ การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ ครับ
คิดว่าคงหมายความว่าอย่างนั้น โจทย์ข้อนี้คงต้องการให้เราพิสูจน์ว่า $A$ ไม่ compact ใน $C^1[-1,1]$ นั่นแหละครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
||||
|
||||
ขอบคุณทุกคนที่ช่วยกันตอบนะครับ
โทษทีนะครับ....ผมใช้คำผิด ในโจทย์ต้องการหมายถึง uniformly convergent น่ะครับ ข้อ 2 ผมอ่านแล้วงงๆ จังเลยครับ ผมว่าโจทย์ในที่นี้น่าจะต้องการให้พิสูจน์โดยใช้ความรู้ analysis ระดับ undergraduate นะครับ....ผมยังไม่ได้เรียนพวก Arzela-ascoli Theorem เลยครับ...แต่ก็ขอบคุณมากนะครับ..ทำให้ผมจุดประกายความคิดด้าน analysis มากเลยครับ....รู้สึกว่ายังต้องไปศึกษาเพิ่มเติมอีกมากเลยครับ ผมว่าการพิสูจน์ในด้าน analysis นี่ละเอียดอ่อนกว่าการพิสูจน์ด้าน algebra จังเลยครับ...ทำความเข้าใจยาก...หาตัวอย่างค้านก็ยากจังครับ .... ปล.1 ตกลงว่าข้อ 2.2 นี่จำเป็นรึเปล่าครับ???? ปล.2 คุณ nooonuii เรียน PhD. ที่ U. of Maryland ทำวิจัยเกี่ยวกับด้านไหนเหรอคับ??? ( ผมกำลังอ่าน My maths คอลัมน์พี่อยู่เลย...การแก้อสมการเศษส่วนของพหุนามโดยใช้เมตริกซ์ ) ปล.3 คุณ picmy เด็กกว่าผม 1 เดือนพอดีเลย....แต่เก่งจังเลยครับ... ปล.4 คุณ Anarist เรียนที่ MIT เหรอคับ...สถาบันในฝันผมเลย ( คิดว่า math ที่ MIT กับ Princeton ใครเจ๋งกว่ากันครับ???...ถามความคิดเห็นส่วนตัวเล่นๆน่ะครับ ) ปล.5 ตอนนี้ทั้ง 3 คนเป็น idol ของผมไปแล้วครับ...... 26 กรกฎาคม 2009 22:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ HIGG BOZON |
#10
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ปัญหาที่ผมทำอยู่เป็น conjecture อันหนึ่งใน Symbolic Dynamics แต่ตอนนี้ปัญหากลายพันธุ์เป็นปัญหาทาง Geometry ของ Simplex
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ถ้าคุณHIGG BOZON สนใจเกี่ยวกับ Arzela-ascoli Theorem สามารถหาอ่านได้ในหนังสือเรื่อง Functional analysis นะครับ ซึ่งที่จริงแล้ว Arzela-ascoli Theorem เป็นทฤษฎีพื้นฐานและสำคัญมากทฤษฎีนึงเลยครับในหัวข้อนี้ ส่วนคำตอบของข้อ 2.2 ก็คือถ้าลำดับของฟังก์ชันจากเซต A คอนเวอจ uniformly แล้วลิมิตของลำดับนั้นไม่จำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของ A ซึ่งตัวอย่างค้านก็คือตัวอย่างที่ผมได้ให้ไว้แล้วครั้งหนึ่งในข้างต้น $f_n(x) = \cases{0 &,x\in [-\frac {1}{n},\frac {1}{n}] \cr \frac {n}{2}(x-\frac {1}{n})^2 & , x\in [\frac {1}{n},\frac {2}{n}] \cr \frac {n}{2}(x+\frac {1}{n})^2 & , x\in [-\frac {2}{n},-\frac {1}{n}] \cr x-\frac {3}{2n} &, x\in [\frac {2}{n},1] \cr -x-\frac {3}{2n} &, x\in [-1,-\frac {2}{n}]}$ สามารถแสดงได้โดยง่ายว่า $f_n \in A$ (ทุก n) และ $f_n$ converge uniformly to $abs(x)$ แต่ $abs(x) \not\in A$ ผมขอเพิ่มเติมถึงการพิสูจน์ในข้อ 2.1นะครับว่า เราสามารถพิสูจน์โดยไม่ใช้ Arzela-ascoli Theorem ได้ แต่แน่นอนว่าวิธีการอาจจะไม่กระทัดรัดเท่าไหร่นัก ข้างล่างได้แสดงขั้นตอนโดยคร่าวๆ ขั้นตอนที่ 1 สามารถใช้เงื่อนไข$\left|\,f(x)\right|+\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10$ในการพิสูจน์ข้อเท็จจริงข้างล่างได้ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m และทุกลำดับของเซต A (สมมติว่าเป็น $f_1,f_2,...,f_n,...$)จะสามารถหาลับดับย่อย $f_{n_1},f_{n_2},...,f_{n_k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{n_i}(x)-f_{n_j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^m}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$ ได้ ขั้นตอนที่ 2 สมมติว่าเรามีลำดับในเซต A คือ $f_1,f_2,...,f_n,...$ ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_1,f_2,...,f_n,...$) $f_{1,1},f_{1,2},...,f_{1,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{1,i}(x)-f_{1,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$ ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 กับลำดับ $f_{1,1},f_{1,2},...,f_{1,k},...$ จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_{1,1},f_{1,2},...,f_{1,k},...$ ) $f_{2,1},f_{2,2},...,f_{2,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{2,i}(x)-f_{2,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^2}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$ ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 กับลำดับ $f_{2,1},f_{2,2},...,f_{2,k},...$ จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_{2,1},f_{2,2},...,f_{2,k},...$ ) $f_{3,1},f_{3,2},...,f_{3,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{3,i}(x)-f_{3,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^3}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$ ................................ ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 กับลำดับ $f_{t,1},f_{t,2},...,f_{t,k},...$ จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_{t,1},f_{t,2},...,f_{t,k},...$ ) $f_{t+1,1},f_{t+1,2},...,f_{t+1,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{t+1,i}(x)-f_{t+1,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^{t+1}}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$ ................................. ขั้นตอนที่ 3 เราสามารถเลือกลำดับย่อยของ $f_1,f_2,...,f_n,...$ เป็น $f_{1,1},f_{2,2},...,f_{t,t},...$ (ในที่นี้ $f_{1,1},f_{2,2},...,f_{t,t},...$ เป็นฟังก์ชันที่ถูกกล่าวถึงในขั้นตอนที่ 2) ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า$f_{1,1},f_{2,2},...,f_{t,t},...$ converge uniformly (สังเกตในขั้นตอนที่ 2) |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ส่วนระหว่าง analysis กับ algebra มันก็คนละรสชาติกัน แล้วแต่ความคุ้นเคยครับ แตุ่ถ้าจะศึกษาต่ิอไปเรื่อยๆ ก็ควรจะต้องพยายามรู้กว้างๆไว้ ยิ่งตอน undergrad ก็น่าจะลองเยอะๆ จะได้รู้ว่าอยากทำต่อด้านไหน ผมก็ analysis ไม่แข็งแรงมาก แต่ก็ต้องใช้ในด้านที่ศึกษาพอสมควร อ้างอิง:
ทั้งสองที่โดยรวมก็เจ๋งทั้งคู่นะครับ ส่วนถ้าดูเป็นสาขา ผมว่าอย่าง algebra & number theory ด้าน Princeton น่าจะเด่นกว่า ส่วน MIT ก็น่าจะเด่นด้าน geometry, topology, applied math มากกว่านะครับ อันนี้ความส่วนตัวแบบคร่าวๆนะครับ อ้างอิง:
ผมนึกว่า closed ในนั้นเป็น pointwise closed ซึ่งแบบที่ถูกก็ make sense กว่ามาก |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Analysis | SoLuTioN | Calculus and Analysis | 2 | 25 มิถุนายน 2009 19:40 |
Analysis | kanji | Calculus and Analysis | 16 | 03 กรกฎาคม 2007 19:29 |
ขอวิธีทำอย่างละเอียดโจทย์ข้อนี้หน่อยครับ<analysis> | เรียวคุง | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 2 | 13 มิถุนายน 2007 14:28 |
ช่วยทำข้อสอบ analysisของจุฬาให้หน่อยครับ | mayalone | Calculus and Analysis | 6 | 28 กันยายน 2006 06:43 |
หลักการของการ analysis | PaoBunJin | Calculus and Analysis | 5 | 14 ตุลาคม 2005 09:01 |
|
|