|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์เกี่ยวกับ matrix
ให้ A เป็น matrix ที่มีสมบัติว่ามีจำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้
An = 0 (เราเรียก matrix เช่นนี้ว่า nilpotent matrix) ให้แสดงว่า I + A เป็น invertible matrix แล้วก็ให้หาว่า (I + A)-1 = ? บอกซะก่อนนาว่าข้อนี้ผมทำได้ ดังนั้นคงไม่ยากหรอกครับ |
#2
|
||||
|
||||
จาก An = 0
กรณี n เป็นเลขคี่ จะได้ว่า I + An = I (I + A)(An-1 - An-2 + An-3 - ... - A + I) = I ดังนั้น (I + A)-1 = An-1 - An-2 + An-3 - ... - A + I กรณี n เป็นเลขคู่ จะได้ว่า I + An-1 - An-1 = I (I + A)(An-2 - An-3 + An-4 - ... - A + I) - An-1 = I (I + A)(An-2 - An-3 + An-4 - ... - A + I) - (I + A)An-1 = I (I + A)(- An-1 + An-2 - An-3 + An-4 - ... - A + I) = I ดังนั้น (I + A)-1 = - An-1 + An-2 - An-3 + An-4 - ... - A + I นั่นคือ (I + A)-1 = I - A + A2 - A3 + ... + (-1)n-1An-1
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 22 ธันวาคม 2001 16:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#3
|
|||
|
|||
แหม...คุณ TOP ตีโจทย์ของผมแตกกระจุยหมดทุกข้อใน
เวลาอันรวดเร็วเสียจนผมหาโจทย์ใหม่แทบไม่ทันเลย จริงๆผมยังมีโจทย์เหลืออยู่ใน stock อีกข้อนึงแต่อาจไม่ ค่อยสวยนัก ชาว Mathcenter จะลองทำดูก็ได้นะครับ ให้หา (real) matrix A ขนาด 2x2 ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า A2 = A (เราเรียก matrix เช่นนี้ว่า idempotent matrix) จะเห็น ว่าทั้ง 0 และ I ต่างก็เป็น idempotent matrix แต่มันยังมี มากกว่านี้อีก หามาให้หมดเลยครับ |
#4
|
||||
|
||||
ข้อนี้ละไว้ ไม่แสดงวิธีทำละกัน เผื่อว่าจะมีผู้สนใจคิดเล่นบ้าง (อยากให้น้องๆหรือคนอื่น ที่แก้โจทย์พวกนี้ได้ แต่เป็นคนละวิธี ได้ร่วมแสดงความคิดเห็นกันบ้าง จะได้เป็นการแลกเปลี่ยนความรู้ หรือแนวทางการคิด เพื่อให้ทุกคนได้พัฒนาตนเองยิ่งขึ้น อย่าหยุดแสดงความคิดเห็น หรือหยุดความคิดแก้ปัญหา เพียงแค่ว่ามีผู้เฉลยแล้ว)
รูปแบบของเมตริกซ์ที่เหลือคือ [(1-mb) , b ; m(1-mb) , mb]
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 23 ธันวาคม 2001 16:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#5
|
|||
|
|||
ผมว่าคำตอบของคุณ TOP ยังคลุมไม่หมดนะครับ ยกตัวอย่างเช่น
[0 0] [0 1] ก็เป็น idempotent matrix แต่มันไม่อยู่ในคำตอบที่คุณ TOP ให้มาน่ะ ยังไงก็ตามคุณ TOP สามารถ parametrize คำตอบได้สวยกว่าที่ผมทำนะ |
#6
|
||||
|
||||
พลาดไปหนึ่งอันจริงด้วย ตอนแรก ผมหาออกมาได้ 4 แบบดังนี้คือ
[0 , b ; 0 , 1] [1 , 0 ; m , 0] [1 , b ; 0 , 0] [(1-mb) , b ; m(1-mb) , mb] แต่พิจารณาคร่าวๆ แล้วพบว่า จากเมตริกซ์อันที่สี่ แทน m = 1/b จะได้เมตริกซ์อันแรก (กรณีนี้ลืมไปว่า จะใช้แทนเมตริกซ์อันแรกไม่ได้ ถ้า b = 0) แทน b = 0 จะได้เมตริกซ์อันที่สอง แทน m = 0 จะได้เมตริกซ์อันที่สาม จึงตัดสินใจตอบไปเพียงเมตริกซ์อันที่สี่เท่านั้น
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#7
|
|||
|
|||
{{a,b},{c,d}}2 = {{a,b},{c,d}}
จะได้ a2 + bc = a และ d2 + bc = d b(a+d) = b และ c(a+d) = c กรณี 1: a+d = 1 แสดงได้ไม่ยากว่า a - a2 = d - d2 = ad จึงได้ว่า ad = bc ซึ่งก็คือ determinant นั่นเอง กรณีจึงได้ทุกๆ 2x2 singular matrix ที่ a11 + a22 = 1 กรณีที่ 2: a+d ไม่เท่ากับ 1 จะได้ b = c = 0 ดังนั้น a2 = a และ d2 = d ซึ่งมีคำตอบเป็น a = 0,1 และ d = 0,1 เอาเฉพาะกรณีที่ a+d ไม่เท่ากับ 1 (จะได้ไม่ซ้ำกับกรณีที่ 1) จะได้เมตริกศูนย์และเมตริกเอกลักษณ์ตามที่คุณ warut ยกเป็นตัวอย่าง |
#8
|
||||
|
||||
ขอบคุณ คุณ_*_ ที่ได้ร่วมแสดงความคิดเห็นนะครับ งั้นมาดูแนวคิดของผมบ้าง
จาก A2 = A ถ้า A-1 มีจริง จะได้ว่า A = I ถ้า A-1 ไม่มีจริง A จึงเป็น singular matirx ดังนั้น |A| = 0 เราจึงได้ว่า A สามารถเขียนได้ในรูปของ [a , b ; ma , mb] จาก A2 = A จะได้ว่า a2 + mab =a ==> a(a + mb - 1) = 0 ab + mb2 = b ==> b(a + mb - 1) = 0 ma2 + m2ab = ma ==> ma(a + mb - 1) = 0 mab + m2b2 = mb ==> mb(a + mb - 1) = 0 กรณี a น 0 , b น 0 , m น 0 ดังนั้น a = 1 - mb เราจึงได้ A = [(1-mb) , b ; m(1-mb) , mb] กรณีอื่นๆที่เหลือ หลังจากพิจารณาแล้วจะได้ A 3 แบบคือ [0 , b ; 0 , 1] [1 , 0 ; m , 0] [1 , b ; 0 , 0]
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 24 ธันวาคม 2001 13:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#9
|
|||
|
|||
กรณี [0,0; b,1] กับ [0, b; 0, 1] ถือเป็นกรณีเดียวกันด้วยหรือ?
|
#10
|
||||
|
||||
ขอบคุณอีกครั้งที่ชี้จุดบกพร่องให้
"เราจึงได้ว่า A สามารถเขียนได้ในรูปของ [a , b ; ma , mb]" ตรงนี้จะใช้ไม่ได้ถ้า a = 0 หรือ b = 0 เมื่อพิจารณากรณีนี้เพิ่มจะได้ [0 , 0 ; 0 , 0] และ [0 , 0 ; c , 1] ตามที่คุณ _*_ ได้บอกเอาไว้
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 24 ธันวาคม 2001 17:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#11
|
|||
|
|||
ครบแล้วครับ idempotent matrices ขนาด 2 x 2 ทั้งหมด
น้องๆที่อยากเป็นเด็กโอฯต้องขยันทำโจทย์อย่างพี่ TOP นะครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
matrix problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 5 | 14 กรกฎาคม 2008 10:35 |
ปัญหาการพิสูจน์เกี่ยวกับ matrix | warut | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 9 | 29 มีนาคม 2006 03:50 |
ช่วยหน่อยครับ เรื่อง Matrix | Epsilon | พีชคณิต | 11 | 17 ธันวาคม 2005 20:55 |
รบกวนถามเรื่อง matrix หน่อยคับ | prachya | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 15 | 15 สิงหาคม 2005 20:01 |
ใครชอบ matrix เชิญทางนี้ | alongkorn | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 12 | 05 ตุลาคม 2004 14:37 |
|
|