|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ช่วยทำข้อสอบ analysisของจุฬาให้หน่อยครับ
15 ข้อ ข้อละ 8 คะแนน ครับ ช่วยคิดหน่อยงับ
|
#2
|
|||
|
|||
1. We'll prove that $ f(x)= 0 $ for all irrational numbers
Let $x$ be an irrational number Since Q is dense in R , we can find sequence $ (x_n) \subset Q $ converges to irrational $x$ And by continuity of $f$ , then we have $ f(x_n) $ converges to $ f(x)$ But from definition of $f$ , we have $ f(x_n)= 0 $ for all $n$ Hence, $ f(x)=0 $ for all irrational $x$ NOTE: This problem leads to interesting corollary: If f,g are continuous on R and f(r)=g(r) for all rational numbers r ,then f(x)=g(x) for all real numbers x 2. Clearly, such $f$ is continuous on R Since $f(1) < 0$ and $f(2) >0$ then ,by intermediate value theorem, there exists $ r \in (1,2) $ such that $ f(r)=0$ Use this theorem again on $(-8,0)$ since $f(-8) >0$ and $f(0)<0$ 3. Define $ g(x)= f(x) - \beta $ Then g is continuous on R and $g(x_0) <0 $ By definition of continuous function, there exists a neighborhood of $x_0$ such that $ \mid g(x)-g(x_0) \mid < \frac{-g(x_0)}{2} $ Equivalently, $ g(x) < \frac{g(x_0)}{2} < 0$ So $ f(x) < \beta $ in a neighborhood of $x_0$ 4. (Like proof for the case f,g are continuous) 5. Not always. For example, $ f(x)=\left\{\begin{array} &-1& x \leq 0 \\ x-1& x>0 \end{array}\right. $ $ g(x)=\left\{\begin{array} &x& x \leq 0 \\ 0& x>0 \end{array}\right. $ But $ (fg)(x)=\left\{\begin{array} &-x& x \leq 0 \\ 0& x>0 \end{array}\right. $ which is decreasing function.
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 23 กันยายน 2006 03:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#3
|
||||
|
||||
ยากจังคับ แหะๆ สงสัยให้ผมไปสอบคงจะไม่รอด
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#4
|
|||
|
|||
ขอบคุณครับ
|
#5
|
|||
|
|||
6. By definition of f , then we have
$ \mid f(x)-g_{\frac{\epsilon}{3}}(x) \mid < \frac{\epsilon}{3} $ ...(1) And $ \mid f(y)-g_{\frac{\epsilon}{3}}(y) \mid < \frac{\epsilon}{3} $...(2) Since $g$ is uniformly continuous on A ,then there exists $ \delta >0 $ such that $ \mid g_{\frac{\epsilon}{3}}(x)-g_{\frac{\epsilon}{3}}(y) \mid < \frac{\epsilon}{3} $ (if $ \mid x-y \mid < \delta $) ...(3) So if we combine (1) to (3) then we have $\mid f(x)-f(y) \mid \leq \,\mid f(x)-g_{\frac{\epsilon}{3}}(x) \mid + \mid g_{\frac{\epsilon}{3}}(x)-g_{\frac{\epsilon}{3}}(y) \mid + \mid g_{\frac{\epsilon}{3}}(y)-f(y) \mid < \frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3} =\epsilon $(if $ \mid x-y \mid < \delta $ and all x,y in A) Hence, f is uniformly continuous on A. 7. Neither open nor closed set. Let $ x \in Q$ Since every neighborhood of x contains irrational numbers ,then Q can't be open set. Moreover, we can construct sequence of points in Q converging to irrational number,say ,y , so y is a limit point of Q, but not in Q. It follows that Q isn't closed set. NOTE: In mathematics, set seems different from door. Sometimes it's both closed and open simultaneously and sometimes it's neither closed nor open simultaneously. 8. No. For example, $ K_n= [n,n+1] $ which is compact in R. So $$ \bigcup_{n=1}^{\infty}=[1,\infty)$$ Such countable union isn't compact (since it's unbounded in R). 9. (I 'll do this problem based on compact in R only) Since compact implies bounded ,then inf K and sup K exist. The remaining is to prove that both are in K. We'll prove for sup K only and inf K is done in similar way. Using characterization of supremum, for all $\epsilon >0$ there exists $x \in K $ such that $\text{sup K} - \epsilon < x $...(1) Since $ x \leq \, \text{sup K} < \text{sup K} +\epsilon $...(2) Combine (1),(2) we obtain$ \mid \text{sup K} - x \mid < \epsilon $ Equivalently, all neighborhoods of sup K contains element in K and thus sup K is a limit point of K. But K is compact , so it's closed and hence K contains all limit points,including sup K. 10. Let $ x,y \in I $ and suppose that x<y By Mean Value Theorem of f on (x,y), so there exists $ c \in (x,y) $ such that $\frac{f(y)-f(x)}{y-x} = f'(c) < 0 $ Thus, f(y)-f(x) < 0 ,that is , f is strictly decreasing.
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 23 กันยายน 2006 19:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคูณมากเลยครับ อีกนิดนะครับ
|
#7
|
|||
|
|||
11. See #18 of this link Solution
13. Since $ f_n$ converges uniformly to $f$ , then $ \exists N $ such that $ \mid f_N(x)-f(x) \mid < 1 $ for all $ x \in A $ And since $f_n$ is bounded on A,say ,by M. It follows that $ \mid f(x) \mid \leq \,\, \mid f(x)-f_N(x) \mid + \mid f_N(x) \mid < 1+M \quad \forall x \in A $ NOTE: เว้นวรรค คำว่า "ขอบเขต" กับคำว่า "บน A" ในโจทย์ด้วยก็ดีนะครับ 14. Use Weierstrass M-Test 15. Let $S_k$ be partial sum of $ \sum f_n $ For $c = 0$ , Obvious ! For $ c \neq 0 $ Since $ \sum f_n $ converges uniformly to $ f $ then $ \forall \epsilon >0 \,\, \exists N $ such that $ \mid S_k(x)-f(x) \mid <\frac{\epsilon}{\mid c\mid} \quad (k \geq N , \forall x \in A)$ After this, it's not difficult to follow. Edit : Add Link of Question 11.
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 28 กันยายน 2006 18:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
numerical analysis 2 | natto | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 0 | 22 กันยายน 2006 16:53 |
โจทย์ real analysis เบื้องต้นรบกวนด้วยครับ | rigor | Calculus and Analysis | 5 | 06 ธันวาคม 2005 21:16 |
หลักการของการ analysis | PaoBunJin | Calculus and Analysis | 5 | 14 ตุลาคม 2005 09:01 |
Real Analysis Exam | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 04 พฤษภาคม 2005 04:52 |
math analysis | kanji | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 3 | 15 พฤศจิกายน 2004 23:30 |
|
|