|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ช่วยหน่อยครับ เรื่อง Matrix
อยากทราบว่าเรามีวิธีหาผลรวมสมาชิกทุกตัวใน matrix หรือปล่าวครับ
เช่นกำหนด matrix A ขึ้นมา มีผลรวมสมาชิกทุกตัวเป็น k แล้ว A ยกกำลัง n มีผลรวมสมาชิกทุกตัวเป็นเท่าไหร่ ในรูป k กับ n ถ้าไม่มี อยากทราบว่าเพราะอะไรครับ 15 ธันวาคม 2005 20:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Epsilon |
#2
|
||||
|
||||
Edit: ขอโทษทีครับรีบอ่านโจทย์ไปนิด ตอบหลุดไปไกลเลย
หากกำหนดแค่ k และ n โดยไม่ให้เมตริกซ์ A มาจะไม่มีคำตอบ เพราะเมตริกซ์ไม่ unique ครับ ตัวอย่าง \[A=\pmatrix{1&2\cr3&4\cr}\qquad{}A^2=\pmatrix{7&10\cr15&22\cr}\] \[B=\pmatrix{2&3\cr4&1\cr}\qquad{}B^2=\pmatrix{16&9\cr12&13\cr}\] สองเมตริกซ์นี้มี k(A)=k(B)=10 แต่ k(A2)=54, k(B2)=50 แต่หากให้ A มา คิดว่าทำคล้ายๆกับที่คุณ warut และคุณ nooonuii ตอบด้านล่างแหละครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 16 ธันวาคม 2005 07:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum |
#3
|
|||
|
|||
ยังไม่เคยเห็นสูตรพวกนี้เหมือนกันครับ
แต่เท่าที่คิดดูพวก diagonalizable matrix ก็น่าจะคำนวณได้ง่ายครับ เพราะ matrix ชนิดนี้เขียนให้อยู่ในรูป A = PBP-1 ได้ เมื่อยกกำลังก็เลยอยู่ในรูป An = PBnP-1
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
|||
|
|||
ช่วยขยายความหน่อยครับคุณ nooonuii
ว่าเรามีวิธีทำได้มั้ยครับ ที่จะหาผลรวมของสมาชิก A ^n แบบง่ายๆ ไม่ต้องเปนสูตรก็ได้ครับ แต่เอาให้ง่ายที่สุดอ่าครับ ขอบคุณมากครับ |
#5
|
|||
|
|||
matrix นี้ทำได้ป่าวครับ
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 กับ 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 |
#6
|
|||
|
|||
ถ้า\[A=\pmatrix{0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0}\]
โดย induction เราจะได้\[A^{2n}= \pmatrix{F_{2n-1}&0&F_{2n}&0\\0&F_{2n+1}&0&F_{2n}\\F_{2n}&0&F_{2n+1}&0\\ 0&F_{2n}&0&F_{2n-1}}\] โดยที่ \(F_n\) คือ Fibonacci number ตัวที่ \(n\) นั่นคือ \(F_1=F_2=1\) และ \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) ดังนั้น\[A^{2n+1}=AA^{2n}= \pmatrix{0&F_{2n+1}&0&F_{2n}\\F_{2n+1}&0&F_{2n+2}&0\\ 0&F_{2n+2}&0&F_{2n+1}\\F_{2n}&0&F_{2n+1}&0}\] แสดงว่าผลบวกของสมาชิกทุกตัวของ \(A^n\) มีค่าเท่ากับ \(2F_{n+1}+4F_n+2F_{n-1}=2F_{n+3}\) 16 ธันวาคม 2005 05:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ให้ \[ \Large{ A=\bmatrix{1 & 2 \\ 2 & 1} } \] จะได้ว่า \[ \Large{ A = \bmatrix{1 & 1 \\ 1 & -1}\bmatrix{3 & 0 \\ 0 & -1} \bmatrix{1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2} } \] ดังนั้น \[ \Large{ A^n = \bmatrix{1 & 1 \\ 1 & -1}\bmatrix{3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n} \bmatrix{1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2} = \frac{1}{2} \bmatrix{3^n+(-1)^n & 3^n-(-1)^n \\ 3^n-(-1)^n & 3^n+(-1)^n} } \] ถ้าให้ \( \Large{ \sigma{(A)}= } \)ผลบวกของทุกสมาชิกใน A เราจะได้ว่า \[ \Large{ \sigma{(A^n)} = 2 \cdot 3^n } \]
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 16 ธันวาคม 2005 06:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#8
|
|||
|
|||
อ๊ะ คุณ Warut แสดงให้ดูแล้วครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
|||
|
|||
สำหรับเมตริกซ์อันที่สองก็ทำได้ครับ (characteristic polynomial ดีกรี 5 ของมันสามารถแยกตัวประกอบได้) แต่ว่าทารุณมาก คำตอบแบบแยกกรณีที่ผมหาได้คือ\[\sigma(A^{2n})=
14\cdot3^{n-1}\]\[\sigma(A^{2n+1})= 8\cdot3^n\]คิดแบบแยกกรณีจะง่ายกว่า แต่จะเอาคำตอบที่ได้มารวมกันได้ยากครับ ถ้าจะหาคำตอบแบบรวมต้องทำตั้งแต่ต้นเลย ซึ่งที่ผมหาได้คือ\[\sigma(A^n)= \left((7+4\sqrt3)+(7-4\sqrt3)(-1)^n\right)3^{n/2-1}\] |
#10
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ
|
#11
|
|||
|
|||
ว่าแต่คุณ warut แยกเมทริกซ์อันที่ 2 ออกเป็น matrix คูณกัน 3 เมทริกซ์ยังไงเหรอครับ
ช่วยแสดงวิธีให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ |
#12
|
|||
|
|||
ใช้คอมพ์ช่วยครับ แต่ถ้าอยากทำแบบ manual ก็ลองอ่านบทความของคุณ TOP ดูนะครับ
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
matrix problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 5 | 14 กรกฎาคม 2008 10:35 |
ปัญหาการพิสูจน์เกี่ยวกับ matrix | warut | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 9 | 29 มีนาคม 2006 03:50 |
รบกวนถามเรื่อง matrix หน่อยคับ | prachya | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 15 | 15 สิงหาคม 2005 20:01 |
ใครชอบ matrix เชิญทางนี้ | alongkorn | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 12 | 05 ตุลาคม 2004 14:37 |
โจทย์เกี่ยวกับ matrix | warut | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 10 | 25 ธันวาคม 2001 04:38 |
|
|