|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์ความน่าจะเป็น
คือ สงสัยมานาน ช่วยบอกวิธีทำด้วยนะครับ โจทย์มีอยู่ว่า
ในสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่ง สุ่มจุดมาคู่หนึ่งแล้วลากเส้นเชื่อม แล้วก็สุ่มจุดมาอีกคู่หนึ่งในสี่เหลี่ยมเดียวกัน ลากเส้นเชื่อม ถามว่า ความน่าจะเป็นที่เส้นเชื่อมทั้งสองจะตัดกันเป็นเท่าใด (ผมลองมั่วๆดูแล้ว ไดประมาณ 1/(2 x sqrt(3)) แต่มันดูไม่ค่อยจะถูกต้องเท่าไหร่) |
#2
|
||||
|
||||
ลองบอกแนวคิดที่ลองคิดดูมาหน่อยสิครับ.
ผมอ่านดูแล้วมันงง ชอบกล เพราะการตัดกันมันมีได้หลายรูปแบบ แล้วโจทย์จากที่ไหนครับ |
#3
|
|||
|
|||
โทษทีครับ ผมพิมพ์ผิดไป จริงๆแล้วผมมั่วได้ประมาณ 1 / (3 x sqrt(2)) ไม่ใช่ 1 / (2 x sqrt(3))
ก็ วิธีคิดของผม (มันผิดแน่ๆนะครับ) คือ เนื่องจากเมื่อเราสุ่มจุดมาสองจุดบนเส้นจำนวนในช่วง [a, b] จะได้ว่าผลต่างเฉลี่ยของสองจุดเป็น (b - a) / 3 ดังนั้น แสดงว่าความยาวเส้นตรงเฉลี่ยในแกน 2 มิติก็ควรจะเป็น sqrt((1/3)^2 + (1/3)^2) = sqrt(2) / 3 เมื่อคำนวณในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย จากนี้ ผมก็ลองมั่ว คิดให้เส้นตรงที่สุ่มได้เส้นแรกอยู่ตรงกลางของสี่เหลี่ยม เส้นตรงอีกเส้นจะตัดเส้นแรกได้ก็ต่อเมื่อจุดปลายทั้งสองอยู่คนละฝั่งกัน (ใช้เส้นที่ 1 เป็นตัวแบ่ง) ความน่าจะเป็นที่จุด 2 จุดอยู่คนละฝั่งกัน ก็ควรจะเป็น 1/2 ส่วน แต่ ปัญหาคือ เส้นตรงเส้นแรก มีความยาวเป็น sqrt(2) / 3 ซึ่งสั้นกว่าแกนสมมติที่ใช้แบ่งฝั่งของจุด (ซึ่งประมาณว่ายาว 1) ความน่าจะเป็นที่เส้นที่สองจะตัดกับเส้นแรกเลยเป็น (sqrt(2) / 3) x (1 / 2) เลยได้ 1 / (3 x sqrt(2)) |
#4
|
||||
|
||||
รบกวนบอกที่มาด้วยครับ.
โจทย์จากที่ไหน ใครเป็นตั้ง คืออย่างน้อยถ้าที่มามันน่าเชื่อถือ ว่ามันมีคนเคยคิดและหาคำตอบออกมาได้จริง ๆ ผมจะได้ลองนั่งคิดดูจริง ๆ จัง ครับ. |
#5
|
|||
|
|||
อ๋อ ครับ จริงๆแล้วมันเป็นโจทย์ของคอมพิวเตอร์น่ะครับ เค้าให้หาความน่าจะเป็นนี่แหละ แต่ให้ใช้คอมพิวเตอร์ทำ โดยสุ่มเส้นมา 2 เส้นแล้วตรวจสอบว่าตัดกันรึเปล่า แล้วก็สุ่มใหม่มาเรื่อยๆ บันทึกจำนวนครั้งที่มันตัดกันกับจำนวนครั้งที่ทดลองทั้งหมด นำมาหารกัน ผลที่ได้ประมาณ 0.22 (มันไม่ค่อยแน่นอนเพราะทดลองแค่ 10000 ครั้ง) ผมเลยคิดว่ามันน่าจะมีวิธีทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนกว่าน่ะครับ แต่คิดแล้วคิดไม่ออก ไม่รู้ว่าต้องคิดยังไง
|
#6
|
|||
|
|||
ว่าแต่ ลากเชื่อมนี่
ลากเป็นเส้นตรง หรือ ส่วนของเส้นตรงเหรอ แล้วมันก็น่าจะขึ้นอยู่กับ ขนาดสี่เหลี่ยมด้วยนา |
#7
|
|||
|
|||
มันก็ต้องส่วนของเส้นตรงสิครับ
ส่วนเรื่องขนาดสี่เหลี่ยม ผมว่ามันไม่น่าจะต่างกันนะ |
#8
|
||||
|
||||
ตกลงผมจะลองคิดดูซักตั้งนะครับ.
ถ้าออกก็จะบอก ท่าทางปวดหัวน่าดู แต่ผมลองคิดดูคร่าว ๆ แล้ว ขนาดของสี่เหลี่ยมน่าจะมีผลนะ เอาเป็นว่าผมจะลองตั้งสมมติฐานว่ามันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็แล้วกัน จะได้ simplified ขึ้นอีกหน่อย |
#9
|
|||
|
|||
คือผมก็จะลองคิดดูครับ
|
#10
|
|||
|
|||
ผมลองใช้ Monte Carlo method ทำดูได้ผลแตกต่างจาก
ของคุณ tunococ มาก คือจากการทดลอง 10,000 ถึง 100,000,000 ครั้ง ค่าที่ได้ก็ตกอยู่ที่ 0.38 กว่าๆตลอดเลย ขนาดของสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่มีผลใดๆต่อคำตอบ คำอธิบาย อย่างง่ายๆก็คือ สมมติว่าเราเริ่มทำการทดลองกับสี่เหลี่ยม จตุรัสได้ผลมาอันหนึ่ง แล้วเราจินตนาการการเรายืดสี่เหลี่ยม จตุรัสอันนี้ให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าผลการทดลองก็ยังคง ต้องเหมือนเดิม - เสันที่เคยตัดกันมันก็ยังตัดกัน เส้นที่ไม่ตัด กันก็ยังคงไม่ตัดกันอยู่ดี ผมก็อยากรู้มากเหมือนกันว่าโจทย์ข้อ นี้มี analytic solution รึเปล่า แล้วก็อยากให้มีใครอีกสักคน ลองทำ simulation ดูอีกสักครั้งว่าจะได้เท่าไหร่ |
#11
|
||||
|
||||
ยังไม่ได้ simulation ดูเลย
เท่าที่ลองคิด มันติดหลายๆปัญหา เช่น ความน่าจะเป็นที่เส้นตรงทั้งสองนั้นแตะกัน (ไม่ได้ตัดข้ามกันไปเลย แต่ก็ถือว่าการแตะคือการตัดกันอย่างหนึ่ง) ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่า เส้นตรงเส้นแรกที่สุ่มขึ้นมา บังเอิญเป็นด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ถามว่าความน่าจะเป็นที่เส้นตรงอีกเส้นที่สุ่มขึ้นมา จะไปตัด(หรือแตะ) กับเส้นตรงเส้นนี้เป็นเท่าไร ? หรือให้ง่ายไปกว่านั้น จงหาความน่าจะเป็นที่สุ่ม 2 จุดใดๆในสี่เหลี่ยมผืนผ้า แล้ว 2 จุดนั้นเป็นจุดเดียวกัน ? เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้น่าจะแก้โจทย์เป็น ความน่าจะเป็นที่ เส้นตรงทั้งสองตัดข้ามกันไปเลย เป็นเท่าไร ?
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#12
|
|||
|
|||
ตามความเห็นของผมนะครับ - โดย measure theory
(ซึ่งผมเองก็ยังงูๆปลาๆอยู่) แล้วค่าความน่าจะเป็นที่เส้นสอง เส้นจะแตะกันก็คือ 0 ส่วนความน่าจะเป็นที่สุ่มจุดขึ้นมาสอง จุดแล้วเป็นจุดเดียวกันก็คือ 0 อีกเหมือนกัน เหตุผลก็ทำนอง เดียวกับว่า ถ้าเราเลือกค่า x มาอย่างสุ่มจากช่วง [0,1] ถามว่า โอกาสที่ x จะเท่ากับ 1 เป็นเท่าไหร่ คำตอบก็คือ 0 อะครับ ถ้าเราเลือกเส้นตรงมาอันนึงอย่างสุ่มโอกาสที่ความชันของเส้น ตรงนั้นจะเท่ากับ 1 ก็คือ 0 ถ้าเราเลือกจุดมาจุดหนึ่งจาก สี่เหลี่ยมจตุรัส [0,1]x[0,1] โอกาสที่จะได้จุด (0.5,0.5) ก็ คือ 0 อีกเช่นกัน |
#13
|
|||
|
|||
ขอเล่าถึงวิธีทดลองแบบง่ายๆที่ผมทำหน่อยนะครับ
ในการทดลองแต่ละครั้งผมจะสุ่มเลขในช่วง (0,1) มา 8 ตัว คือ a, b, c, d, e, f, g, h ถ้า a>c ก็จะสลับค่า a กับ c จาก นั้นก็จะคำนวณหาจุดตัด (x,y) ระหว่างเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (a,b) ไปยัง (c,d) กับเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (e,f) ไปยัง (g,h) แล้วจึงเช็คว่า a < x < c หรือไม่ ถ้าใช่ก็แสดงว่าส่วน ของเส้นตรงที่ลากจาก (a,b) ไปยัง (c,d) นั้นตัดกับส่วนของ เส้นตรงที่ลากจาก (e,f) ไปยัง (g,h) ถ้าไม่ใช่ก็แสดงว่าส่วน ของเส้นตรงทั้งสองไม่ตัดกัน ขอให้สังเกตว่าค่า y ไม่ได้ใช้ เลย และที่ผมทำจริงๆก็คำนวณแต่ค่า x ออกมาเท่านั้น |
#14
|
||||
|
||||
ใช่ครับ ความน่าจะเป็นที่เส้นตรงทั้ง 2 แตะกันคือ 0 และความน่าจะเป็นที่สุ่มแล้วได้จุดเดียวกัน ก็เป็น 0 อีกนั่นแหละ แต่คิดทีไรก็รู้สึกว่ามันแปลกๆชอบกล เพราะสิ่งใดก็ตามที่มีความน่าจะเป็น เป็น 0 นี่แสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เลย
เมื่อคืนลองกลับไปทำ simulation มาแล้ว จะขออธิบายรูปแบบที่ผมไปทำมานะครับ จะสุ่มตัวเลขในช่วง [0,1] ออกมา 100 ค่า ดังนั้นสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1*1 ตารางหน่วย จะได้พิกัด (x,y) ที่เป็นไปได้ทั้งสิ้น = 100*100 = 10,000 ค่า เราจะทำการสุ่มพิกัดเหล่านี้ออกมาเป็น (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x4,y4) จากนั้นลากส่วนของเส้นตรงระหว่าง (x1,y1) ไปยัง (x2,y2) และระหว่าง (x3,y3) ไปยัง (x4,y4) ถ้าให้การสุ่มพิกัดทั้ง 4 ออกมานี้นับเป็น 1 รอบ จะได้ว่า มันควรจะครอบคลุมทุกรูปแบบที่เป็นไปได้เมื่อ ทำไปถึงรอบที่ 10,000 ^ 4 = 100,000,000 รอบ (ขอโทษด้วย ตอนคิดครั้งแรกมันเบลอๆ เลยได้คำตอบออกมาแบบนี้:P หากคิดให้ถูกจริงๆแล้วต้องทำการ simulation ไปเป็นจำนวนมากๆเลย 10^16 รอบ) แต่บางทีมันอาจยังไม่ครบทุกกรณีก็ได้ เพื่อเป็นการเผื่อเอาไว้ จึงทำไปที่ 2,147,000,000 รอบ (เผื่อไว้เต็มที่เลย ) 1. หาจุดตัดของส่วนของเส้นตรงทั้งสอง (x,y) ตรวจสอบว่าส่วนของเส้นตรงทั้งสองขนานกันหรือไม่ (ดูจากจุดตัดว่าอยู่ที่ infinity หรือไม่) 1.1 หากพบว่าไม่ขนานกัน(แสดงว่ามันต้องไปตัดกันที่ไหนสักแห่ง) ก็ให้ตรวจสอบจากเงื่อนไขทั้ง 4 นี้
1.2 หากพบว่าขนานกัน จะทำการตรวจสอบว่า ส่วนของเส้นตรงจาก (x2,y2) ไปยัง (x3,y3) ขนานกับ ส่วนของเส้นตรงจาก (x1,y1) ไปยัง (x2,y2) หรือไม่ 1.2.1 หากพบว่าไม่ขนานกัน แสดงว่าส่วนของเส้นตรงทั้งสอง วิ่งขนานกันไป (ไม่ได้อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน) จึงไม่ตัดกัน 1.2.2 หากพบว่าขนานกัน ก็ให้ตรวจสอบจากเงื่อนไขทั้ง 2 ข้อนี้
ผลจากการทดสอบไปได้ 2,147,000,000 รอบ พบว่า ความน่าจะเป็นที่เส้นตรงทั้ง 2 ตัดกันเป็น 23.117%
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 02 สิงหาคม 2001 11:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 7 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#15
|
|||
|
|||
ผมลองทำแบบเยกกรณีแล้วพบว่า
ไม่ว่าสี่เหลี่ยมที่ให้มาจะมีขนาดเท่าไร่ก็ตามจะไม่เป็นผลครับและผมแยกกรณีได้ดังนี้ครับ 1. ทุกด้านมีจุด 1 จุด ตัดกันได้ 1 กรณี และในเวลาเดียวกันเราสามารถลากเส้นให้ไม่ตัดกันได้ด้วย รวมความเป็นไปได้ 2กรณี 2. มี 1 ด้านที่มี 2 จุด เหตุการณ์เดียวกับข้อ 1 คือในเวลาเดียวกันเราก็สามารถลากให้ไม่ตัดกันได้ด้วย 3. มีด้านละ 2 จุด ก็เป็นเหตุการณ์เดียวกับ ข้อ 1,2 4. มี 1 ด้านที่มี 3 จุด จะได้ว่าเราไม่สามารถลากจุดสองจุดใดๆให้ตัดกันได้ กรณีนี้จึงมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เพียง 1 กรณีเท่านั้น 5. ทั้ง 4 จุด อยู่รวมกัมสามด้านเป็นเหตุการณ์เดียวกับข้อ 4 เารจึงสรุปจาก 3 กรณีได้ว่า ความน่าจะเป็นคือ ( 1+1+1+0+0)/(2+2+2+1+1)=3/8 |
|
|