#1
|
|||
|
|||
Convex problem
Assume that $\phi $ is twice differentiable function, show that $\phi$ is convex if and only if $\phi''(x) \geqslant 0 $ for all $x$
รบกวนพี่ๆช่วยแนะนำหน่อยครับ |
#2
|
||||
|
||||
Hint: สังเกตว่า convex function, linear approximation ของมันจะ underestimate อยู่ต่ำกว่าตัว function เสมอ(ไม่ก็ค่าเท่ากัน) นั่นคือ $f(x)\geqslant f(y)+f'(y)(x-y)$
ใช้ fact นี้ช่วย prove $ (\Rightarrow )$ ส่วน $(\Leftarrow ) $ใช้ Taylor theorem ที่ 2nd order Fact นี้เป็น well-known result และเป็น alternative definition ในกรณี convex differentiable function ซึ่งจริงใน $f:\mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R} $ ด้วยแค่เปลี่ยนจาก f' เป็น $\bigtriangledown f$, f'' เป็น Hessian และ prove ใช้ไอเดียเดียวกัน
__________________
I am _ _ _ _ locked |
#3
|
|||
|
|||
ช่วยขยายความอีกสักนิดได้ไหมครับ แล้ว fact ที่แนะนำมาจะลิงค์ไป second derivative ได้ยังไงครับ
|
#4
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
Taylor's: $f(x+tv)=f(x)+f'(x)tv +f''(x)t^2v^2 + o(t^2)$ ย้ายข้างสองตัวแรกไป LHS ใช้ subgradient property ที่บอกไปตอนแรก แล้วหาร$ t^2 $ทั้งสองข้าง take limit t->0 จบ.
__________________
I am _ _ _ _ locked |
#5
|
|||
|
|||
Taylor Expansion ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ $\phi$ มัน $n+1$ differentiable นะครับ
16 กันยายน 2015 22:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ suan123 |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem
__________________
I am _ _ _ _ locked 19 กันยายน 2015 12:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ t.B. |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Convex set over R^n | kimmath | Calculus and Analysis | 1 | 10 กรกฎาคม 2012 17:03 |
convex ครับ | Yuranan | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 6 | 16 มีนาคม 2011 20:30 |
convex polytope | ~ArT_Ty~ | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 03 กันยายน 2010 20:38 |
convex n-gon | tatari/nightmare | คอมบินาทอริก | 0 | 18 สิงหาคม 2007 09:02 |
Convex function ?? | DeBoRo | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 6 | 11 กรกฎาคม 2005 18:43 |
|
|