|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
การแก้สมการกำลังสาม (Cubic Equation)
การแก้สมการกำลังสาม (Cubic Equation)
บทความนี้เป็นการแก้ไขที่ผิด และปรับปรุงส่วนหนึ่งของบทความ เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์เรื่อง สมการกำลังสาม,สี่ สมการกำลังสามคือ สมการที่เขียนอยู่ในรูป $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ น้องบางคนอาจเคยพบสมการกำลังสามเหล่านี้ และได้พยายามแก้ตามทฤษฎีที่ได้เรียนมาโดย ตั้งสมมติฐานว่าค่า $x$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ ตัวประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $d$ หารด้วยตัวประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ $a$ หลังจากที่น้องได้ทำการแทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้แล้วพบว่าสมการก็ยังไม่เป็นจริง หลายคนอาจสรุปทันทีว่าคำตอบของสมการนี้เป็นจำนวนเชิงซ้อน (กรณีนี้รวมถึงสมการที่มีกำลังมากกว่าสามด้วยนะครับ) นั่นเป็นความเข้าใจผิดอย่างเต็มที่เลยครับ ที่ว่าเข้าใจผิดอย่างเต็มที่ก็เพราะว่าในทฤษฎีกล่าวไว้แต่เพียงว่า คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดเหล่านี้ ล้วนแต่เป็นคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวนตรรกยะเท่านั้น จึงยังไม่ได้ครอบคลุมกรณีที่คำตอบจะเป็นจำนวนอตรรกยะ ก่อนจะเข้าสู่เนื้อหา ขอย้อนอดีตถึงที่มาของบทความนี้กันก่อน เมื่อครั้งที่พี่ยังเรียนหนังสืออยู่ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายวิชาคณิตศาสตร์เรื่องระบบจำนวนจริงที่สอนให้เราแก้สมการพหุนามที่มีดีกรีมาก กว่าสองขึ้นไปได้ พี่รู้สึกทึ่งมากและคิดว่าเราแก้ได้ทุกสมการแล้ว ลองหาสมการจากแบบฝึกหัดในแบบเรียนและคู่มือคณิตศาสตร์ทั้งหลายมาแก้ก็แก้ได้ทั้งหมด ไม่เห็นมันยากตรงไหน แต่แล้วความรู้สึกชื่นชมก็หายไป หลังจากยังไม่หายร้อนวิชา ลองตั้งสมการพหุนามมั่วๆขึ้นมาดูเองซิว่าจะแก้ได้หรือเปล่า เช่น $x^3 + 2x - 6 = 0$ ฮ่าๆคำตอบของสมการนี้ต้องอยู่ในเซต $\{\pm1 , \pm2 , \pm3 , \pm6\}$ แน่ๆ แต่ทำไมลองแทนค่าทั้งหมดแล้วมันไม่ถูกต้องสักคำตอบ บัดนั้นพี่จึงรู้แจ้งถึงสัจธรรม นี่แสดงว่าสมการที่เราเคยพบและแก้มาทั้งหมด เป็นสมการพหุนามที่เขาเลือกมาแล้วว่าหาคำตอบด้วยวิธีในหนังสือเรียนได้ ส่วนสมการที่แก้ไม่ได้นอกจากจะไม่ได้ใส่ไว้ ยังไม่ได้บอกอีกว่ามีสมการพหุนามอีกเยอะที่แก้ด้วยวิธีนี้ไม่ได้ ที่แย่กว่านั้น พี่พบว่าไม่มีใครในชั้นเรียน (ถ้าจะพูดให้ถูกต้องกว่านี้คือ ในโรงเรียน) รู้ว่ามีสมการพหุนามที่แก้ไม่ได้ และแม้พี่จะแสดงสมการพหุนามเหล่านี้ให้เพื่อนๆดู แต่ละคนจะแสดงสายตาดูถูกประมาณว่า สมการกำลังสามง่ายๆแค่นี้ แก้กันไม่เป็นหรืออย่างไร หลังจากเพื่อนๆแก้กันไปพักใหญ่ก็เริ่มรู้แล้วว่าวิธีที่เรียนมาแก้ไม่ได้ ทุกคนยอมรับตามนั้นทันที โดยไม่มีใครสงสัยหรืออยากรู้เพิ่มเติมถึงวิธีแก้ แล้วน้องละครับอยากรู้วิธีแก้หรือเปล่าละ เดิมทีเราเคยศึกษาการแก้สมการกำลังสองกันมาแล้ว แต่น้องทราบหรือไม่ว่ากว่าจะแก้สมการกำลังสามได้นี่เขาใช้เวลากันเป็นร้อยปีทีเดียว จนกระทั่งมีอัจฉริยะผู้หนึ่งกำเนิดขึ้นมา จำไม่ได้แล้วว่าชื่ออะไร อาจารย์ได้มอบหมายการบ้านในการแก้สมการกำลังสามแก่เขา ซึ่งเขาก็สามารถแก้ได้ การบ้านข้อนั้นคือให้แก้สมการกำลังสามที่อยู่ในรูป $x^3 + px + q = 0$ ถ้าน้องคนใดคิดว่าโจทย์ข้อนี้น่าสนใจหรือคิดว่าตัวเองก็เป็นอัจฉริยะเช่นกัน จะลองแก้โจทย์ข้อนี้ด้วยตัวเองดูก่อนก็ได้ น้องบางคนอาจเกิดความสงสัยได้ว่า รูปแบบของโจทย์ที่อาจารย์ให้มานี้กับรูปแบบของสมการกำลังสามที่เราจะแก้ มีรูปแบบไม่เหมือนกัน แล้วอย่างนี้จะถือได้ว่าสามารถแก้สมการกำลังสามในรูปแบบที่เราต้องการได้หรือ ก่อนที่จะแสดงให้เห็นจริงนั้นก็จะขอพูดถึงเรื่องการเปลี่ยนรูปของสมการพหุนามกันก่อน การเปลี่ยนรูปพหุนาม หากเราแทนค่า $x = y - c$ ลงไปในพหุนาม $a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ จะได้ $\begin{array}{rl} & a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + a_{n - 2}x^{n - 2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1x + a_0\\ = & a_n (y - c)^n + a_{n-1}(y - c)^{n - 1} + a_{n - 2}(y - c)^{n - 2} + \cdots + a_2 (y - c)^2 + a_1 (y - c) + a_0\\ = & a_n y^n + (-n a_n c + a_{n - 1}) y^{n - 1} + \left(\binom{n}{2} a_n c^2 - \binom{n - 1}{1} a_{n - 1} c + a_{n - 2}\right) y^{n - 2} + \cdots \end{array}$ ไม่ต้องตกใจนะครับที่เห็นพหุนามที่ได้มันจะยุ่งๆ ในที่นี้เราให้ความสนใจเฉพาะเทอมของ $y^{n - 1}$ เท่านั้น น้องจะพบว่าหากเราต้องการให้พหุนามใดๆก็ตามที่เปลี่ยนรูปแล้ว ทำให้เทอมของ $y^{n - 1}$ หายไป ก็คือทำให้ค่า $-n a_n c + a_{n - 1} = 0$ หรือ $c = \frac{a_{n - 1}}{n a_n}$ นั่นเอง ลองนำความรู้เรื่องการเปลี่ยนรูปมาใช้กับสมการกำลังสอง (Quadratic Equation) $ax^2 + bx + c = 0$ เพราะว่า $n = 2$ จะได้ $c = \frac{a_1}{2 a_2} = \frac{b}{2a}$ แทนค่า $x = y - \frac{b}{2a}$ ลงไป จะได้ $\begin{array}{rl} ax^2 + bx + c & = 0 \\ a\left(y - \frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(y - \frac{b}{2a}\right) + c & = 0\\ ay^2 - by + \frac{b^2}{4a} + by - \frac{b^2}{2a} + c & = 0\\ ay^2 + \left(\frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c\right) & = 0\\ y^2 & = \dfrac{2b^2 - b^2 - 4ac}{4a^2}\\ y & = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{array}$ เห็นไหมครับว่าสมการกำลังสองแก้ได้ง่ายขึ้นเยอะ ถึงตรงจุดนี้เราจึงได้รากคำตอบของสมการกำลังสองคือ $x = y - c = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} - \frac{b}{2a} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ตรงกับรูปแบบที่เรารู้จักดีนั่นเอง เมื่อเรานำความรู้เรื่องการเปลี่ยนรูปมาใช้กับสมการกำลังสาม เราสามารถเปลี่ยนรูปเพื่อให้เทอมของ $y^2$ หายไปได้เช่นเดียวกัน โดยเลือกค่า $c = \frac{a_2}{3 a_3} = \frac{b}{3 a}$ แทนค่า $x = y - \frac{b}{3 a}$ ลงไปจะได้ $\begin{array}{rl} ax^3 + bx^2 + cx + d & = 0\\ a\left(y - \frac{b}{3 a}\right)^3 + b\left(y - \frac{b}{3 a}\right)^2 + c\left(y - \frac{b}{3 a}\right) + d & = 0\\ ay^3 + \left(c - \frac{b^2}{3a}\right)y + \left(\frac{2b^3}{27a^2} - \frac{bc}{3a} + d\right)& = 0\\ y^3 + \left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}\right)y + \left(\frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}\right)& = 0 \end{array}$ เห็นไหมครับว่าสมการเปลี่ยนมาอยู่ในรูปแบบ $y^3 + py + q = 0$ เรียบร้อยแล้ว โดยมีค่า $p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}$ และ $q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$ การแก้สมการ $y^3 + py + q = 0$ ทีนี้ก็มาถึงการแก้ปัญหาที่อาจารย์ให้มาสักที การแก้ปัญหานี้ทำได้หลายวิธี วิธีหนึ่งในการแก้สมการนี้คือ สมมติให้ $y = u + v$ แทนค่าลงไปจะได้ $u^3 + v^3 + (p + 3uv)(u + v) + q = 0$ เราจะลดความยุ่งยากของสมการลงโดยการทำให้เทอมที่สามหายไป โดยใช้การกำหนดเงื่อนไขทำให้เทอมที่สามหายไป นั่นคือเราต้องการให้ $p + 3uv = 0$ หรือ $uv = -\frac{p}{3}$ จะได้ $u^3 + v^3 + 0 \cdot (u + v) + q = 0$ หรือ $u^3 + v^3 = -q$ หากเราสามารถแก้สมการหาค่า $u$ และ $v$ ออกมาได้ ก็จะหาค่า $y$ ได้ ซึ่งถ้าสังเกตให้ดีจะพบว่าจากเงื่อนไข $uv = -\frac{p}{3}$ หรือ $u^3v^3 = -\frac{p^3}{27}$ และ $u^3 + v^3 = -q$ เห็นรูปแบบคุ้นๆไหม ผลคูณของสองจำนวน($u^3 \cdot v^3$)ได้ค่าหนึ่ง และผลบวกของสองจำนวน($u^3 + v^3$)ได้ค่าหนึ่ง นี่คือรากคำตอบของสมการกำลังสอง $t^2 - (u^3 + v^3)t + u^3v^3 = 0$ หรือ $t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0$ นั่นเอง เพราะว่ารากคำตอบของสมการกำลังสองคือ $t = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป เราสามารถกำหนดให้ $u^3 = -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$ จะได้ $u = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$ และ $v^3 = -\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}$ จะได้ $v = \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$ ดังนั้น $y = u + v = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}$ และ $x = y - c = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} - \frac{b}{3 a}$ วิเคราะห์รากคำตอบ เรื่องราวทั้งหมดน่าจะจบลงตรงนี้หากเราสนใจเพียงแค่รู้ว่ามีวิธีการแก้สมการกำลังสาม แต่ในการนำสูตรนี้ไปใช้งานยังมีปัญหาหลายประการ เราลองมาวิเคราะห์กันอีกสักหน่อย เนื่องจากรากที่ $3$ ของจำนวนเชิงซ้อนมีทั้งหมด $3$ ค่า เราจึงมีค่า $u$ และ $v$ ที่เป็นไปได้อย่างละ $3$ ค่า นั่นหมายความว่าเราจะได้ค่าของ $y$ ที่เป็นไปได้ $3 \times 3 = 9$ ค่า หรือมีค่า $x$ ที่เป็นไปได้ 9 ค่า อย่างนั้นหรือ เราไม่สามารถเลือกคู่ $u , v$ ได้อย่างอิสระ ค่าที่เลือกมาต้องสอดคล้องกับเงื่อนไข $uv = -\frac{p}{3}$ ด้วย สมมติว่า $u = A$ และ $v = B$ เป็นคู่หนึ่งที่ทำให้ $uv = AB = -\frac{p}{3}$ เพื่อความสะดวกในการเขียนสัญลักษณ์ กำหนดให้ $\omega$ เป็นคำตอบของสมการ $\omega^3 = 1$ โดยที่ $\omega \neq 1$ ($\omega = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} , \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$) ($\omega$ มี $2$ ค่า เลือกค่าไหนก็ได้) เพราะว่าค่า $u$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $u = A , \omega A , \omega^2 A$ และค่า $v$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $v = B , \omega B , \omega^2 B$ จับคู่ผลคูณ $uv$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จะพบว่ามีเพียง 3 ค่าที่แตกต่างกันเท่านั้นคือ $AB , \omega AB , \omega^2 AB$ เนื่องจาก $AB = -\frac{p}{3}$ เป็นจำนวนจริง ในขณะที่ $\omega AB , \omega^2 AB$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ค่าเหล่านี้จึงใช้ไม่ได้ (ยกเว้นกรณี $p = 0$ ซึ่งเราไม่สนใจ เพราะหาคำตอบได้ง่ายว่า $y = -q^{\frac{1}{3}}$) ดังนั้น คู่ $u , v$ ที่ทำให้ได้ $uv = -\frac{p}{3}$ จึงเป็น $(A , B) , (\omega A, \omega^2 B) , (\omega^2 A , \omega B)$ เพียง $3$ คู่เท่านั้น จึงได้ว่า $y = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} + \left(-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} = \cases{A + B\cr \omega A + \omega^2 B\cr \omega^2 A + \omega B}$ เพียง $3$ ค่าเท่านั้น (ไม่ใช่ $9$ ค่าอย่างที่ตั้งข้อสังเกตไว้ตอนแรก) พิจารณาค่าของ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}$ ค่าของ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}$ บอกอะไรเราหลายอย่างเกี่ยวกับรากคำตอบของสมการ (คล้ายๆกับ $b^2 - 4ac$ ในสมการกำลังสอง ) กรณี $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} \geqslant 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 \geqslant 0$ จะพบว่า $A = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$ และ $B = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$ สอดคล้องกับเงื่อนไข $u^3 + v^3 = A^3 + B^3 = -q$ และ $uv = -\frac{p}{3}$ ดังนั้นจะได้ $y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}}$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ ส่วนรากคำตอบอีกสองค่าที่เหลือก็คือ $\omega A + \omega^2 B = \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)A + \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)B = -(A+B)\cos \frac{\pi}{3} + i(A-B)\sin \frac{\pi}{3}$ และ $\omega^2 A + \omega B = \left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right)A + \left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)B = -(A+B)\cos \frac{\pi}{3} - i(A-B)\sin \frac{\pi}{3}$ เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนสังยุค โดยที่ผลคูณของสองค่านี้คือ $\begin{array}{rl} (\omega A + \omega^2 B)(\omega^2 A + \omega B) & = A^2 + \omega^2 AB + \omega AB + B^2 = A^2 + B^2 + (\omega^2 + \omega + 1)AB - AB \\ & = A^2 + B^2 + 0 \cdot AB - AB = A^2 + B^2 - AB \end{array}$ เราสามารถพิสูจน์ในทางย้อนกลับได้อีกด้วยว่า รากคำตอบที่เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนสังยุคและจำนวนจริงหนึ่งค่า จะอยู่ในกรณีนี้ทั้งหมด สมมติว่า รากคำตอบที่เป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนคือ $a + bi , a - bi$ จะมีรากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงคือ $-2a$ (เพราะว่าผลรวมของรากคำตอบทั้งหมดต้องเป็นศูนย์) สร้างเป็นสมการกำลังสามได้ดังนี้ $\begin{array}{rl} (y - (a+bi))(y - (a-bi))(y +2a) & = 0\\ y^3 + (b^2 - 3a^2)y + (2a^3 + 2ab^2) & = 0 \end{array}$ จะได้ $p = b^2 - 3a^2$ และ $q = 2a^3 + 2ab^2$ เราพบว่า $4p^3 + 27q^2 = 4(b^2 - 3a^2)^3 + 27(2a^3 + 2ab^2)^2 = 4b^2(9a^2 + b^2)^2 \geqslant 0$ เสมอ กรณีนี้ $p = 2$ และ $q = -6$ มีค่า $4p^3 + 27q^2 = 1004 > 0$ จะได้ $u = \left(-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(3 + \sqrt{\frac{8}{27} + 9}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(3 + \sqrt{\frac{251}{27}}\right)^{\frac{1}{3}}$ และ $v = \left(3 - \sqrt{\frac{251}{27}}\right)^{\frac{1}{3}}$ ดังนั้น $y = \sqrt[3]{3 + \sqrt{\frac{251}{27}}} + \sqrt[3]{3 - \sqrt{\frac{251}{27}}}$ เป็นคำตอบหนึ่ง กรณีเฉพาะ $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} = 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 = 0$ จะพบว่า $A = B = -\sqrt[3]{\frac{q}{2}}$ สอดคล้องกับเงื่อนไข $u^3 + v^3 = A^3 + B^3 = -q$ และ $uv = \sqrt[3]{\frac{q^2}{4}} = -\frac{p}{3}$ นอกจากนี้รากคำตอบอีกสองค่าจะซ้ำกันคือ $\omega^2 A + \omega A = (\omega^2 + \omega + 1)A - A = 0 \cdot A - A= -A$ ดังนั้นจะได้ $y = \cases{2A = -2\sqrt[3]{\frac{q}{2}}\cr -A = \sqrt[3]{\frac{q}{2}}}$ กรณี $\frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4} < 0$ หรือ $4p^3 + 27q^2 < 0$ จะพบว่า $A, B$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนทุกค่า เราได้พิสูจน์ให้เห็นแล้วว่ากรณีที่รากคำตอบเป็นคู่จำนวนเชิงซ้อน จัดอยู่ในกรณี $4p^3 + 27q^2 \geqslant 0$ ทั้งหมด ดังนั้นรูปแบบของคำตอบที่เหลือที่เป็นไปได้มีเพียงกรณีเดียวคือ รากคำตอบทั้งหมดเป็นจำนวนจริง (หากมีราคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน $1$ หรือ $3$ ค่า เมื่อสร้างกลับเป็นสมการกำลังสาม จะมีสัมประสิทธิ์บางตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน) กรณีนี้ เราสามารถแก้สมการกำลังสามโดยใช้ความรู้เรื่องตรีโกณมิติมาช่วยได้ จากเอกลักษณ์ $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ หรือ $4\sin^3 \theta - 3\sin \theta + \sin 3\theta = 0$ สมมติให้ $\sin \theta = y$ แทนค่าลงไป จะได้ว่า $4y^3 - 3y + \sin 3\theta = 0$ หรือ $y^3 - \frac{3}{4}y + \frac{\sin 3\theta}{4} = 0$ จะเห็นว่า ในกรณีที่ $p = -\frac{3}{4}$ และ $q = \frac{\sin 3\theta}{4}$ จะมีรากคำตอบของสมการคือ $y = sin \theta$ โดยที่ $\theta = \frac{1}{3}\sin^{-1}(4q)$ และ $|q| \leqslant \frac{1}{4}$ อืมเหมือนจะใช้ได้นะ แล้วในกรณีที่ $p \neq -\frac{3}{4}$ ละ ลองแบบนี้สิ สมมติว่า $\sin \theta = \frac{y}{a}$ แทนค่าลงไป จะได้ $\frac{4}{a^3}y^3 - \frac{3}{a}y + \sin 3\theta = 0$ หรือ $y^3 - \frac{3a^2}{4}y + \frac{a^3\sin 3\theta}{4} = 0$ มีค่า $p = - \frac{3a^2}{4}$ และ $q = \frac{a^3\sin 3\theta}{4}$ เมื่อเราทราบค่า $p, q$ ก็สามารถหาค่า $a$ และ $\theta$ ที่เหมาะสมได้เป็น $a = \sqrt{-\frac{4p}{3}}$ และ $\theta = \frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{4q}{a^3}\right) = \frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right)$ จึงได้ $y = a\sin \theta = \sqrt{-\frac{4p}{3}} \sin\left(\frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right)\right)$ แล้วคำตอบที่เหลืออีกสองค่าละ ก็ได้จากตอนหาค่า $\sin^{-1}$ ที่ได้มุมออกมาหลายค่านั่นเอง ดังนั้นรากคำตอบทั้งหมด $y = \sqrt{-\frac{4p}{3}} \sin\left(\frac{1}{3}\left(\sin^{-1}\left(\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right) + 2n\pi\right)\right)$ โดยที่ $n = 0, 1, 2$ ยังมีอีก $2$ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการหารากคำตอบเหล่านี้คือ $-\frac{4p}{3} \geqslant 0$ หรือ $p \leqslant 0$ และ $\begin{array}{rl} \left|\frac{3q}{p}\sqrt{-\frac{3}{4p}}\right| & \leqslant 1\\ \left(\frac{9q^2}{p^2}\right)\left(-\frac{3}{4p}\right) & \leqslant 1\\ -\frac{27q^2}{4p^3} & \leqslant 1\\ 4p^3 + 27q^2 & \leqslant 0 \end{array}$ สอดคล้องกับเงื่อนไขของกรณีที่เราต้องการหารากคำตอบพอดี แสดงว่าวิธีนี้ใช้หารากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดได้เท่านั้น
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#2
|
||||
|
||||
สุดยอดครับ
|
#3
|
|||
|
|||
สุดยอดเลยค่ะ ขอบคุณน่ะ ค่ะ
|
#4
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับ เข้าใจเลย
__________________
โลกนี้ช่าง... |
#5
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากขอรับ
--ขอคารวะ--
__________________
คณิตศาสตร์ = สิ่งมหัศจรรย์ |
#6
|
|||
|
|||
สมมติฐานบางอย่างดูไม่ครอบคุมนะครับ ไม่มีที่มาซะดื้อๆ (อาจจะมีข้อคิดอื่นที่เครียร์กว่า)สามารถแตกแขนงออกได้อีก และ ถ้ามีกราฟโชว์ด้วยจะดีมาก
|
#7
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับ
__________________
16.7356 S 0 E 18:17:48 14/07/15 |
#8
|
||||
|
||||
...นี้สส.ส.ส..นุง...
...ละเอียด...ครบถ้วนครับ... ...แต่...อธิบายเป็นเชิงทฤษฐีมากๆแบบนี้... ...สำหรับ...เด็กที่อ่าน...น้อยคนที่จะอ่านแล้วพิจารณาทำความเข้าใจตามไปด้วย...ตั้งแต่ต้นจนจบ...หรือลายตาซะก่อนนั่นเองครับ... ...แนะนำว่า...ถ้าเป็นไปได้...ให้ทำเป็บคลิปสอน...แล้วอัปขึ้น youtube ครับ... ...จริงๆนะครับ...จะทำให้...ติดตามและทำความเข้าใจได้ดียิ่งขึ้นครับ... |
#9
|
||||
|
||||
สุดยอดคราฟฟๆๆ
__________________
สมการ = สมการ INFINITY = INFINITY |
#10
|
||||
|
||||
เทคนิคการวาดกราฟกำลังสาม
ผมรวบรวมรายละเอียดการวาดกราฟสมการกำลังสาม(Cubic equation) ไว้ในแบบที่เข้าใจง่ายเพื่อประกอบกับสูตรการหารากสมการกำลังสาม เผื่อจะเป็นประโยชน์กับผู้ที่สนใจ ดังรูปสรุปแบบต่างๆดังนี้ครับ ขอบคุณครับ
|
#11
|
||||
|
||||
ยกตัวอย่างการใช้กราฟมาวิเคราะห์รากของสมการ
ยกตัวอย่างเราจะวาดกราฟ $y=2x^{3}-12x^{2}+22x-11$
$[A=2,B=-12,C=22,D=-11$] 1)พิจารณาค่า $A=2$ มีค่าเป็นบวก $(A>0)$ 2)พิจารณาค่า $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} =\frac{\sqrt{(-12)^{2}-(3)(2)(22)} }{(3)(2)}=\frac{\sqrt{3} }{3} $ หาค่า a เป็นจำนวนจริงได้ จากข้อ 1)+2) แสดงว่า......กราฟที่ได้จะเป็นรูปตัว Z 3)หาจุดเปลี่ยนเว้า $(r,f(r)),r=-\frac{B}{3A} =-\frac{-12}{(3)(2)}=2$ $f(r)=f(2)=2(2^{3})-12(2^{2})+22(2)-11=1$ แสดงว่า....(2,1)=จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟ หรือ เส้นตรง $x=2,y=1=แกนสะท้อนของกราฟ$ 4)หาระยะสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์วัดจากแกนสะท้อน$=2\left|\,A\right|a^{3}= (2)(2)(\frac{\sqrt{3} }{3} )^{3}=\frac{4\sqrt{3} }{9}\approx 0.77 $ 5)หาระยะแคบ/กว้างของตัวZจากค่า $\sqrt{3}a=(\sqrt{3} )(\frac{\sqrt{3} }{3} )=1$ หลังจากนั้นก็วาดกราฟได้ดังรูป....จะเห็นว่า ค่า $2\left|\,A\right| a^{3}<\left|\,f(r)\right|$ .......(0.77<1) แสดงว่ากราฟตัดแกน $x$ แค่ 1 จุด ...สมการ$2x^{3}-12x^{2}+22x-11=0$ จึงมีรากที่เป็นจำนวนจริงแค่ 1 ค่าเท่านั้น รากอีก 2 ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน |
#12
|
||||
|
||||
การใช้กราฟและฟังก์ชันตรีโกณมิติมาประยุกต์ในการหาคำตอบของสมการกำลังสาม
ก่อนอื่นขออารัมภบทก่อนว่า............
จากทฤษฎีการวาดกราฟสมการกำลังสามที่ผมรวบรวมขึ้น มาจากการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์ คือ ถ้ากำหนด $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D โดยที่ A\not= 0,B,C,D\in R$ $$x_{(relatively...min./max.)}=\frac{-B\pm \sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} $$ แล้วมาต่อยอดเป็น ค่า $r=-\frac{B}{3A} $ ค่า $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3A} $ โดยที่ $(r,f(r))=จุดเปลี่ยนเว้า$ และค่า $a จะเกี่ยวข้องกับค่าสูงสุด/ต่ำสุดสัมพัทธ์$ แต่เพื่อความสะดวกในการวาดกราฟ ถ้าค่า $a$สามารถหาค่าเป็นจำนวนจริงได้ ผมจะให้ค่า $a เป็น+ เสมอ$ คือ $a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3\left|\,A\right| } $แต่ค่า $r=-\frac{B}{3A} $ เหมือนเดิม คือสมการ $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ ถ้าเราสามารถหาค่า $r,a$ ได้แล้ว จะสามารถจัดรูปใหม่ให้อยู่ในรูปแบบของ $A[(x-r)^{3}-3a^{2}(x-r)+\frac{f(r)}{A} ]=0$ ได้เสมอ ซึ่งจะเป็นไปตามสูตรของคาร์ดาน $X^{3}+pX+q=0$ โดย $p=-3a^{2},q=\frac{f(r)}{A}$ .....ในการหาคำตอบของสมการกำลังสามที่มีส.ป.ส.เป็นจำนวนจริง เราจะสามารถจำแนกรากของสมการที่เป็นจำนวนจริงได้จากค่าที่เขาเรียกว่า "ดิสคริมิแนนต์" แต่ผมจะขอสรุปในรูปแบบทฤษฎีของผมดังนี้ครับ .....กรณี $a\not\in R$-$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่า และจำนวนเชิงซ้อน 2 ค่า ......กรณี $a\in R\not= 0$-$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 $ จะสามารถให้คำตอบได้ดังนี้ 1. ถ้า $\left|\,f(r)\right| < 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง3ค่าที่แตกต่างกัน 2. ถ้า $\left|\,f(r)\right| = 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง2ค่าที่แตกต่างกันเท่านั้น 3. ถ้า $\left|\,f(r)\right| > 2\left|\,A\right| a^{3}$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่า และจำนวนเชิงซ้อน 2 ค่า ......กรณี $a\in R= 0$ -$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D =0$ สมการจะให้คำตอบเป็นจำนวนจริง 1ค่าเท่านั้น ลองดูวิธีการหาค่ารากของสมการกรณีที่เป็นจำนวนจริง 3 ค่า โดยใช้กราฟกับฟังก์ชัน sine มาประยุกต์ในการหาเพราะถ้าใช้ตามสูตรของคาร์ดานน่าจะมีความซับซ้อนในกรณีที่รากเป็นจำนวนจริง3ค่าอยู่พอสมควรและถ้ามองกันดีดี กราฟของสมการกำลังสามมีช่วงที่คล้ายกับฟังก์ชัน sine ครับ วิธีก็จะคล้ายกับเจ้าของบทความในกระทู้ครับแต้ผมเพิ่มเติม idea บางอย่างให้ดูง่ายขี้นเข้าไปครับ |
#13
|
|||
|
|||
กำลังหาข้อมูลเรื่องนี้พอดีเลยครับ
|
#14
|
||||
|
||||
ยังมีข้อมูลบางอย่างอีกครับเกี่ยวกับสมการกำลังสามที่ผมค้นคว้าอยู่ แต่ผมยังไม่ได้เปิดเผยที่ไหน อาทิเช่น ทฤษฎีการเป็นลำดับเลขคณิตของรากสมการกำลังสาม และยิ่งค้นก็ยิ่งลึกครับ แต่คาดว่าจะนำข้อมูลทฤษฎีต่างๆมาลงไว้ที่นี่ทีเดียวแหละครับ แต่อาจจะช้าหน่อยเพราะผมค้นคว้างานด้านคณิตศาสตร์เหมือนทำงานด้านศิลปะอย่างหนึ่งครับ มันต้องมีความอยากแล้วถึงจะสร้างสรรค์ผลงานได้อย่างเป็นชิ้นเป็นอันครับ ก็ต้องขอบคุณเจ้าของบทความที่เปิดช่องให้ผมได้เห็นอะไรบางอย่าง อ่านปุ้บไอเดียมาเต็ม ติดตามผลงานกันด้วยนะครับ
|
#15
|
||||
|
||||
ผลเฉลยของสมการกำลังสาม
คราวนี้เมื่อเรารู้จักสมการกำลังสามดีพอแล้ว เราจะมาหาผลเฉลยของสมการ
$$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ x,y,z\in I^{+}$$ ซึ่งนักคณิตศาสตร์เขาบอกว่าไม่มี แต่ผมไม่เชื่อก็เลยพยายามค้นหาว่ามันมี แต่หายังไงก็ยังไม่เจอ ก็เลยเปลี่ยนเงื่อนไขนิดหน่อยเป็น $$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ z\in I^{+},(x+y)\in I^{+},(xy)\in I^{+}....x,y\in R^{+}$$ ซึ่งถ้าผมรู้ผลเฉลยของมันก็แสดงว่าผมเข้าใกล้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3} ....โดยที่ x,y,z\in I^{+}$อีกนิด ซึ่งปรากฎว่าหาผลเฉลยได้หลายผลเฉลยเลยครับ ผลเฉลยชุดหนึ่งก็คือ $$x=\frac{9+\sqrt{5} }{2} ,y=\frac{9-\sqrt{5} }{2},z=6$$ ลองดูวิธีหาของผมครับ............. 06 ตุลาคม 2016 01:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tngngoapm เหตุผล: พิมพ์ตก |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
functional equation(Cauchy's equation) and composition function | tukkaa | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 25 พฤษภาคม 2011 10:53 |
ถามแนวทางแก้โจทย์ differential equation | thai_be | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 1 | 13 พฤษภาคม 2009 15:16 |
differential equationครับ | Sir Aum | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 6 | 25 เมษายน 2009 11:50 |
Equation Like Pell's Equation | Anonymous314 | ทฤษฎีจำนวน | 11 | 07 มกราคม 2009 00:26 |
อยากเรียน Differential Equation ให้รู้เรื่อง | <Darm> | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 04 เมษายน 2001 10:44 |
|
|