|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Fundamental Theorem of Calculus .... Not!!!
วันนี้ไปเรียนวิชา PDE มา เจอปัญหา Calculus พื้นฐานที่น่าสนใจ เลยเอามาถามเพื่อนๆ
จงหา \[ \frac{d}{dx}\int_0^xe^{(x+y)^2}dy \] (คำตอบไม่ใช่ \(e^{4x^2} \)) หมายเหตุ โดยทั่วไป \[ \frac{d}{dx}\int_a^{x}G(x,y)dy\neq G(x,x) \] 26 มกราคม 2005 08:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ aaaa |
#2
|
||||
|
||||
ใช่แบบนี้หรือเปล่าครับ. ขอเดา
\[ \frac{d}{dx}\int_0^xe^{(x+y)^2}dy = \frac{d}{dx}\int_0^xe^{(x+y)^2}d(x +y) = e^{x^2}\] |
#3
|
||||
|
||||
ยังไม่ใช่ครับ
คือ Fundamental Theorem of Calculus เป็นดังนี้ครับ ถ้า \(G:[a,b]\to\mathbb{R} \) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วจะได้ว่า \[ \frac{d}{dx}\int_a^x G(y)\;\!dy=G(x) \] |
#4
|
||||
|
||||
ขออภัย
26 มกราคม 2005 09:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ aaaa |
#5
|
||||
|
||||
ผมก็พยายามเดา ๆ ไปทางนั้นล่ะครับ. เดี๋ยวจะลองอีกทีว่าจะไปทางไหนดี
|
#6
|
|||
|
|||
นานน้านจะมีคำถามจากคุณ aaaa ที่ผมพอจะรู้เรื่องบ้าง อย่างนี้คงต้องขอลองสักตั้ง
ให้ \(F\left(y\right)\) เป็น antiderivative (อันหนึ่ง) ของ \(e^{y^2}\) นั่นคือ \(F'\left(y\right)=e^{y^2}\) ดังนั้น \[\frac{d}{dx}\int_0^xe^{\left(x+y\right)^2}\,dy=\frac{d}{dx}\left(\left[F\left(x+y\right)\right]_0^x\right) =\frac{d}{dx}\left(F\left(2x\right)-F\left(x\right)\right)\] \[=2F'\left(2x\right)-F'\left(x\right)=2e^{4x^2}-e^{x^2}\] |
#7
|
||||
|
||||
เยี่ยมครับคุณ warut เป็นวิธีที่นักเรียนซึ่งเรียน Calculus ต้องเข้าใจให้ละเอียดครับ แต่วิธีของคุณ warut ยังไม่ถูก 100% นะครับ
ลองมามองในมุมของ analysis บ้างครับ พิจารณา \[ \frac{d}{dx}\int_a^xG(x,y)\;\!dy=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1}{\Delta x}\left\{\int_a^{x+\Delta x}G(x+\Delta x,y)\;\!dy-\int_a^xG(x,y)\;\!dy\right\} \] แยกเทอมในวงเล็บเป็น \[ \left\{\int_a^{x+\Delta x}G(x+\Delta x,y)\;\!dy-\int_a^{x}G(x+\Delta x,y)\;\!dy\right\}+\left\{\int_a^{x}G(x+\Delta x,y)\;\!dy-\int_a^xG(x,y)\;\!dy\right\} =\int_x^{x+\Delta x}G(x+\Delta x,y)\;\!dy+\int_a^{x}\{G(x+\Delta x,y)-G(x,y)\}\;\!dy \] เมื่อ หารด้วย \( \Delta x \) และให้ \( \Delta x\to0 \) จะได้ \[ G(x,x)+\int_a^x\frac{\partial}{\partial x}G(x,y)\;\!dy \] 26 มกราคม 2005 12:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ aaaa |
#8
|
|||
|
|||
อ้าว...ผิดตรงไหนเหรอครับ คุณ aaaa ช่วยชี้แนะด้วย
ระหว่างที่รอคุณ aaaa นี้ ผมขอเพิ่มเติมให้กับผู้ที่สนใจอีกนิดนึงนะครับว่าสูตรที่คุณ aaaa แสดง การพิสูจน์ไว้ข้างต้นนั้นเป็นกรณีพิเศษของสูตรการ "differentiation under the integral sign" ซึ่งตัวสูตรเต็มๆนั้นมีชื่อเรียกว่า... ใครตอบได้รีบมาตอบเร้ว 26 มกราคม 2005 18:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#9
|
||||
|
||||
ถ้าลองเปลี่ยนโจทย์นิดนึงคือตัวอินทิแกรนด์เท่ากับ \( e^{(x+2y)^2} \) แล้วทำแบบเดียวกับคุณ warut น่าจะได้
\[ \frac{d}{dx}F(x+2y)\Big|_0^x=3e^{9x^2}-e^{x^2} \] ซึ่งเมื่อเทียบกับผลลัพธ์ตามสูตรของผม จะได้ไม่เท่ากันครับ PS. ผมไม่แน่ใจว่าสูตรข้างบนนี้มีชื่อเรียกหรือเปล่านะครับ แต่ตามที่เข้าใจการทำ Differentiation under the Integral sign คืออย่างนี้ครับ \[ \frac{d}{dx}\int_a^bG(x,y)\;\!dy=\int_a^b\frac{\partial}{\partial x}G(x,y)\;\!dy \] ซึ่งเป็นจริงถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Uniform Continuous บนช่วงปิด \( [a,b] \) 27 มกราคม 2005 15:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ aaaa |
#10
|
||||
|
||||
กฏของไลบ์นิซต์สำหรับการหาอนุพันธ์ของอินทิกรัล คร้าบบบบ
มีสูตรสำเร็จดังนี้ \[ \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y) dy =\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)dy +f(x,b(x)) \frac{d}{dx}b(x) -f(x,a(x)) \frac{d}{dx}a(x)\]
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#11
|
|||
|
|||
ถ้าทำอย่างของผมจะเป็นแบบนี้ครับ
ถ้า \(F\left(y\right)\) เป็น antiderivative อันหนึ่งของ \(e^{y^2}\) แล้ว เราจะได้ว่า \(\frac{1}{2}F\left(x+2y\right)\) เป็น antiderivative อันหนึ่งของ \(e^{\left(x+2y\right)^2}\) (ลอง differentiate เทียบกับ y กลับ โดยมองว่า x เป็น constant นะครับ จะเห็นว่าถูกต้อง) ดังนั้น \[\frac{d}{dx}\int_0^xe^{\left(x+2y\right)^2}\,dy= \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}F\left(x+2y\right)\right]_0^x\] \[=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(F\left(3x\right)-F\left(x\right)\right)\] \[=\frac{3}{2}F'\left(3x\right)-\frac{1}{2}F'\left(x\right)\] \[=\frac{3}{2}e^{9x^2}-\frac{1}{2}e^{x^2}\] ถ้าทำอย่างของคุณ aaaa จะเป็นแบบนี้ครับ \[\frac{d}{dx}\int_0^xe^{\left(x+2y\right)^2}\,dy=e^{9x^2}+\int_0^x2\left(x+2y\right)e^{\left(x+2y\right)^2}\,dy\] \[=e^{9x^2}+\left[\frac{1}{2}e^{\left(x+2y\right)^2}\right]_0^x\] \[=\frac{3}{2}e^{9x^2}-\frac{1}{2}e^{x^2}\] เช่นกันครับ |
#12
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#13
|
|||
|
|||
หวัดดีคับ
ผมอ่านมาถึงหัวข้อนี้แล้วงงคับ ตกลงว่าของใครถูกกันแน่ ของคุณ warut หรือ 4a กันแน่คับ เพราะว่า ตอนที่คุณ 4a แย้งคุณ warut นั้น ผมว่าผมก็เข้าใจไปแล้ว ช่วย ลงรายละเอียดอีกทีคับ |
#14
|
||||
|
||||
ของคุณ warut ฉบับแก้ไข ถูกต้องแล้วครับ คือตอนแรกผมไม่แน่ใจว่าคุณ warut จะคิดแบบที่ผมคิดหรือเปล่า เลยจงใจเปลี่ยนโจทย์
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Alternating series (and Abel's theorem) | Punk | Calculus and Analysis | 3 | 17 กรกฎาคม 2012 21:05 |
ทำไมจึงเรียก Completeness Theorem | rigor | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 6 | 02 กรกฎาคม 2006 16:39 |
Tchebyshev theorem | passer-by | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 11 | 01 กุมภาพันธ์ 2006 23:46 |
Last Fermat Theorem | gools | ทฤษฎีจำนวน | 10 | 23 ตุลาคม 2005 20:43 |
Mean Value Theorem | kanji | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 8 | 27 มกราคม 2005 18:06 |
|
|