ช่วยพิสูจน์หน่อยนะครับ

[mercedesbenz]

พอดีว่าเพื่อนทำสัมมนาครับเพื่อนก็เลยเอามาถามแต่ว่าผมทำไม่ได้ครับช่วยผมคิดหน่อยนะครับ
ให้ $$
P_{m}(t)=(-1)^{m}4^{m}\sum_{j=1}^{2m}(-1)^{j}t^{2(j-1)}+\sum_{j=0}^{4m-2}
a_{j}t^{4m+j}
$$
และ $$
h_{m}(x)=\int_{0}^{x}\frac{(-1)^{m+1}}{4^{m}}P_{m}(t)dt
$$
จงแสดงว่า สำหรับ $m=1,2,3,...$
$$h_{m}(x)=\sum_{j=1}^{2m}\frac{(-1)^{j+1}}{2j-1}x^{2j-1}+\sum_{j=0}^{4m-2}
\frac{a_{j}}{(-1)^{m+1}4^{m}(4m+j+1)}x^{4m+j+1}$$

เมื่อ$$ a_{2i}=(-1)^{i+1}\sum_{k=i+1}^{2m}{4m \choose 2k}(-1)^{k}$$
และ $$a_{2i-1}=(-1)^{i+1}\sum_{k=i}^{2m-1}{4m \choose 2k+1}(-1)^{k}$$

[nooonuii]

อินทิเกรตพหุนามตรงๆนี่แหละครับ

เท่าที่สังเกตดูมีเทอมเดียวที่เปลี่ยนไปจากเดิมคือ $(-1)^{m+1}$ ครับ คือแทนที่มันจะอยู่ข้างบนมันกลับไปอยู่ข้างล่างซึ่งก็ไม่มีปัญหาอะไรเพราะ $$(-1)^{m+1}=\frac{1}{(-1)^{m+1}}$$

ครับ

[mercedesbenz]

ใช่จริงๆด้วยครับ ขอบคุณมากนะครับที่ช่วยชี้แนะ