จำนวนสมบูรณ์

[R-Tummykung de Lamar]

แหม ..ผมเห็น mathcenter แบ่งบอร์ดแล้ว บอร์ดนี้ยังเงียบๆอยู่บ้าง ก็เลยมาตั้งกระทู้ คลายเครียด(หรือเปล่า) ครับ และอีกอย่าง ที่หน้าหลักก็เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วยครับ

คิดว่า ทุกๆคนเคยเห็นอะไรทำนองนี้ใช่ไหมครับ
\(\overline{\underline{ \fbox{}\quadถ้า \ \ 2^n-1 \ \ เป็นจำนวนเฉพาะ \ แล้ว \ \ (2^n-1)(2^{n-1}) \ \ จะเป็นจำนวนสมบูรณ์ \quad \fbox{} }}\)
ผมจะลองมาพิสูจน์เล่นๆดูครับ

ทฤษฎี 1
ให้ \( a\ =\ p_1^{r_1}p_2^{r_2}p_3^{r_3}\cdots p_1^{r_n}\)
คือเขียน a ให้อยู่ในรูปแบบบัญญัตินั่นเอง
ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากโดยคอมบินาทอริกคือ a มีตัวประกอบที่เป็นบวก ทั้งหมดคือ \( (r_1+1)(r_2+1)(r_3+1)\cdots (r_n+1)\)
ที่น่าสนใจคือ ผลบวกของตัวประกอบทุกตัวคือ \( (p_1^0+p_1^1+p_1^2 \ldots p_1^{r_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2 \ldots p_2^{r_2})\cdots (p_n^0+p_n^1+p_n^2 \ldots p_n^{r_n}) \)
สังเกตได้จากการกระจายพหุนามธรรมดา แล้วก็ ถ้าไม่รวมตัวมันเอง คือ ผลบวกของตัวประกอบแท้ทุกตัวคือ \( (p_1^0+p_1^1+p_1^2 \ldots p_1^{r_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2 \ldots p_2^{r_2})\cdots (p_n^0+p_n^1+p_n^2 \ldots p_n^{r_n})\ -\ a \).

พิสูจน์
เขียน \( (2^n-1)(2^{n-1})\) ในรูปแบบบัญญัติ ก่อน คือ \((2^n-1)(2^{n-1})\) ตัวเดิมนั่นเหละครับ เพราะว่า ที่เรากำหนดมาตอนแรกคือ \(2^n-1\) เป็นจำนวนเฉพาะ
\ ผลรวมของตัวประกอบแท้
คือ \( [(2^n-1)^0+(2^n-1)^1][2^0+2^1+2^2+\ldots +2^{n-1}] -(2^n-1)(2^{n-1})\)
= \( (2^n)\big(\frac{1(2^n-1)}{1}\big)- (2^n-1)(2^{n-1})\)
= \( (2^n-1)(2^n-2^{n-1}) \)
= \( (2^n-1)(2^{n-1}) \)
ซึ่ง จะพบว่า ผลบวกของตัวประกอบแท้ทุกตัวเท่ากับตัวมันเองจริงๆครับ

...ที่กำลังพยายามพิสูจน์อยู่ ก็คือ มีจำนวนสมบูรณ์อื่นที่ไม่จำเป็นต้องเขียนอยู่ในรูปนี้

เป็นอย่างไรบ้างครับ หวังว่าคงจะอ่านเพลินๆ สนุกๆ (หรือเปล่าหว่า)

[gon]

น้อง Tummy จะไประดับโลกแล้วหรือครับ. ลองดูนะครับ ถ้าหาจำนวนสมบูรณ์ที่เป็นจำนวนคี่ หรือ มีรูุปแบบอื่นได้ื งานนี้ดังระดับโลกครับ.

[warut]

ไม่เคยได้ยินว่า "เขียนในรูปของ fundamental principle of arithmetic" เลยครับ
เคยแต่เห็นเค้าใช้กันว่า "เขียนในรูปของ (complete) prime factorization"
ไม่ได้ว่าผิดนะครับ อาจจะมีการเปลี่ยนวิธีเรียก หรือไม่ก็ผมเข้าใจอะไรบางอย่างผิดไป

[R-Tummykung de Lamar]

อืม เพราะผมก็ไม่ค่อยแน่ใจเหมือนกันครับ เป็นคำที่ทราบมาแบบปากต่อปาก


ผมเปลี่ยนเป็นภาษาไทยคือ รูปแบบบัญญัติ แล้วนะครับ (อ้างอิงจาก หนังสือทฤษฏีจำนวน : โครงการตำราวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์มูลนิธิ สอวน.)

[warut]

ว้าว..."รูปแบบบัญญัติ" ไม่บอกไม่รู้เลยนะครับเนี่ยว่าหมายถึงอะไร

[จตุราชา]

ว่างั้นอ่ะไม่รู้เรื่องเลย งง มากๆๆขอเฉลยด้วย