ระบบสมการ

[Amankris]

จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนนับทั้งหมดของ $a,b,c,d$ ซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
$$ab=cd$$$$a+b=c-d$$

[หยินหยาง]

คำตอบ

$a =t (z+y)y$
$b =t (z-y)z$
$c =t (z+y)z$
$d =t (z-y)y$

โดยที่ $|z|>|y| \wedge yz > 0$ , $z,y \in I -$ {0} , $t \in I^+$

ไม่แน่ใจว่าคำตอบจะถูก....ใจ หรือเปล่าครับ

[Amankris]

มี Full Soln ไหมครับ

[หยินหยาง]

ถ้าหมายถึงวิธีทำ ก็ มี ครับ แต่เข้าใจว่าคุณ Amankris คงสร้างโจทย์เพื่อเป็นวิทยาทานให้สมาชิกได้ใช้ความคิด ผมถึงให้แค่คำตอบและซ่อนไว้เพื่อให้สมาชิกท่านอื่นได้ใช้ประโยชน์อย่างเต็มที่ครับ

แต่ระดับคุณ Amankris คงไม่ต้องการวิธีทำอยู่แล้ว

[LightLucifer]

ช่วยเช็คหน่อยได้ไหมครับ

My Solution

Claim

ถ้า $ab=cd$ แล้วจะมี $m,n,u,v\in \mathbb{N} $และ $(m,n)=1$ ที่ทำให้ $a=mu,b=nv,c=nu,d=mv$
พิสูจน์
ให้ $ab=cd$ จะได้ว่า $\frac{a}{c}=\frac{d}{b}=\frac{m}{n}$ โดยที่ $(m,n)=1$
นั่นคือจะมี $u,v\in \mathbb{N} $ โดยที่ $a=mu,c=nu$ และ $d=mv,b=nv \ \ \square$

จาก Claim ที่อ้างมาให้ $a=mu,b=nv,c=nu,d=mv$
จะได้ว่า $a+b=c-d\rightarrow mu+nv=nu-mv\rightarrow (n+m)v=(n-m)u-----(1)$
ให้ $n+m=p,n-m=q$ จะได้ว่า $(p,q)=(n+m,n-m)=(n+m,2n)$
จะได้ว่าถ้า $n$ เป็นคี่ $(p,q)|2n \rightarrow (p,q)|2\vee (p,q)|n$
กรณีที่ $(p,q)|2$ จะได้ $(p,q)=1,2$
กรณีที่ $(p,q)|n$ เนื่องจาก $(p,q)|(n+m)$ แต่ $(n,m)=1$ จะได้ว่า $(p,q)=1$
ถ้า $n$ เป็นคู่ จาก $(n,m)=1$ จะได้ $m$ เป็นคี่ จะได้ว่า $(p,q)|n$ ซึ่งจะเหมือนกับกรณีด้านบน
นั่นคือ $(p,q)=1,2$
พิจรณากรณีที่ $(p,q)=1$
พิจรณา $(1)$
$pv=qu$
จาก $(p,q)=1$ จะได้ว่า $v=tq,u=tp$ และชัดเจ็นว่า $p,q$ เป็นเลขคี่ จะได้ $\frac{p+q}{2},\frac{p-q}{2}\in \mathbb{N}$
นำกลับไปแทนใน $a=mu,b=nv,c=nu,d=mv$
$a=(t)(y+z)(z)$
$b=(t)(y-z)(y)$
$c=(t)(y+z)(y)$
$d=(t)(y-z)(z)$
เมื่อ $\frac{p+q}{2}=y,\frac{p-q}{2}=z$
พิจรณากรณีที่ $(p,q)=2$ ก็นำ $2$ ลงไปหารก็จะได้ชุดคำตอบเหมือนกันครับ

note that p>q

ปล รู้สึกของผมจะยึดยาวจริงๆ

[Amankris]

ขออนุญาตจับผิด

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

$d|2n \rightarrow d|2\vee d|n$

ประโยคนี้ไม่จริงนะครับ

ปล.ต้องอ้างแบบอื่น

[หยินหยาง]

#6

ผมเข้าใจว่า d ของคุณ LightLucifer คือ $(n+m,n-m)=(n+m,2n)=d $ ซึ่งคนละตัวกับที่ $d=mv$ และจาก $(m,n) = 1$ ซึ่งจะได้ว่า $d|2$

ปล.ผมเข้าใจว่าคุณ LightLucifer อาจเขียนให้เข้าใจยาก บางอย่างอาจไม่ต้องเขียนก็ไปเขียนแล้วอาจทำให้สับสนได้

[LightLucifer]

แก้แล้วนะครับ

#7 จะเขียนยังไงให้ไม่สับสนครับ แนะนำที