สับเปลี่ยนแนวตรง

[PerSEiiZ]

จัดเด็กชาย 3 คน เด็กหญิง 2 คน นั่งเป็นแนวตรงได้กี่วิธีถ้าเด็กชายสลับกับเด็กหญิง
------------------------------------------------------------------------------
จัดอักษรจากคำว่า number โดยไม่คำนึงถึงความหมาย ถ้าพยัญชนะอยู่ตรงกลางเสมอ ได้กี่วิธี
-----------------------------------------------------------------------------
นำธงชาติมาเรียงเป็นเส้นตรง 9 ประเทศ โดย ให้ธงชาติเจ้าภาพอยู่หน้าประเทศ A เสมอ(มีเจ้าภาพประเทศเดียว) จะได้กี่วิธี
--------------------------------------------------------------------------------------------

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PerSEiiZ

นำธงชาติมาเรียงเป็นเส้นตรง 9 ประเทศ โดย ให้ธงชาติเจ้าภาพอยู่หน้าประเทศ A เสมอ(มีเจ้าภาพประเทศเดียว) จะได้กี่วิธี

ข้อนี้คงต้องตีความก่อนสักนิดครับ ว่าอยู่หน้าประเทศ A จะหมายถึง จำเป็นต้องอยู่ติดกันหรือไม่?

(ให้ดีคือถามคนออกข้อสอบหรือคนตั้งคำถามนี้ครับ)

เช่น การยืนเข้าแถว ถ้าเราบอกว่า นาย ก. ยืนอยู่หน้า นาย ข. โดยทั่วไปแล้ว ไม่ได้หมายความว่า นาย ก.จะต้องยืนอยู่ติดกับ นาย ข. ขอเพียงอยู่หน้าก็พอ

ดังนั้นสำหรับปัญหาในข้อนี้

- ถ้าจำเป็น ก็ตอบว่า 8!
- ถ้าไม่เป็น ก็ตอบว่า $\frac{9!}{2!}$ ครับ.

[Keehlzver]

ขออนุญาตให้มุมมองนะครับ
อีกหนึ่งตัวอย่างของ Double Counting ของพี่กรและคุณแฟร์นำมาซึ่งเอกลักษณ์
$\binom{n}{2}(n-2)!=\frac{n!}{2}$
สามารถให้เหตุผลทางคอมบินาทอริกได้ดังนี้
ข้างซ้ายคือเลือกมาก่อน 2 ตำแหน่งจาก $n$ ตำแหน่งให้ $A,B$ ลงโดยที่ $A$ อยู่หน้า $B$ เสมอ
ซึ่งทำได้ $\binom{n}{2}$ เหลืออีก $(n-2)$ ตำแหน่งสับเปลี่ยนได้ $(n-2)!$
ข้างขวามาจากการสังเกตขั้นเทพของพี่กรว่าจำนวนวิธีที่ A อยู่หน้า B เท่ากับจำนวนวิธีที่ B อยู่หน้า A เพราะฉะนั้นเอามาหาร 2 ได้เลยคือเป็น $\frac{n!}{2}$
ก็จะได้เอกลักษณ์มา

ในที่นี้คือ $n=9$ แทนลงไปก็ได้คำตอบเท่ากัน