ข้อสอบสิรินธร ม.ต้น 2557 14 ธ.ค. 57

[หัวหมาหางสิงโต]

[หัวหมาหางสิงโต]

ช่วยกันเฉลยหน่อยครับ

[gon]

ตอนที่ 1.

1. $3^3 \times (-2)^4 = 432$

2. $a_n = \frac{1}{4}(\sqrt{(n+1)^2+n^2} - \sqrt{n^2+(n-1)^2}) $
$ \therefore s_{119} = \frac{1}{4}(\sqrt{120^2 + 119^2} - \sqrt{1^2+0^2}) = \frac{1}{4}(169-1) = 42$

[yellow]

5)

$$7^a = 17,640,000$$

$$7^a = 7^2 \cdot 24^2 \cdot 25^2$$

จาก

$$7^a = 24^b \Rightarrow 7^{\frac{a}{b}} = 24$$

$$7^a = 25^c \Rightarrow 7^{\frac{a}{c}} = 25$$

แทนค่า

$$7^a = 7^2 \cdot 7^{\frac{2a}{b}} \cdot 7^{\frac{2a}{c}}$$

$$7^a = 7^{2(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c})}$$

$$a = 2(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c})$$

$$\frac{1}{2} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

[yellow]

6)

$$\frac{a^{6x}+a^{-6x}}{a^{2x}+a^{-2x}}$$

$$\frac{(a^{2x})^3+(a^{-2x})^3}{a^{2x}+a^{-2x}}$$

$$\frac{(a^{2x}+a^{-2x})(a^{4x}-1+a^{-4x})}{a^{2x}+a^{-2x}}$$

$$a^{4x}+a^{-4x} -1$$

จาก

$$ a^{4x} = \sqrt{97-7\sqrt{192} } $$

$$\sqrt{49-2\sqrt{49}\sqrt{48} +48 } $$

$$7-\sqrt{48} $$

แทนค่า

$$7-\sqrt{48} + \frac{1}{7-\sqrt{48}} -1 $$


$$7-\sqrt{48} + \frac{1}{7-\sqrt{48}}\cdot \frac{7+\sqrt{48}}{7+\sqrt{48}} -1 $$

$$7-\sqrt{48} + 7+\sqrt{48} -1 $$

$$13$$

[yellow]

7)

$$\frac{n^3+25}{n+5}= I$$

$$\frac{n^3+125-100}{n+5}= I$$

$$\frac{n^3+5^3}{n+5} - \frac{100}{n+5}= I$$

$$(n^2-5n+25) - \frac{100}{n+5}= I$$

$$\therefore n = 95$$

ห.ร.ม. ของ$101-66, 157-101, 157-66$ เท่ากับ $7 \Rightarrow m = 7$

$$m \times n = 95 \times 7 = 5 \times 7\times 19$$

ผลบวกจำนวนนับที่หาร $5 \times 7\times 19$ ลงตัว เท่ากับ

$$(1+5)(1+7)(1+19) = 960$$

[FranceZii Siriseth]

ข้อ 22
ให้ $a,b,c$ เป็นรากทั้งสามของสมการ $x^3-64x-14=0$

$a+b+c=0$
$ab+bc+ca=-64$
$abc=14$

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$
$0=a^3+b^3+c^3+0-3(14)$
$a^3+b^3+c^3=42$

[computer]

ข้อ $12$ ตอน $2$

ให้ $AE=x$

จะได้ว่า $\bigtriangleup AHD \cong \bigtriangleup BEA$

ดังนั้น $BE=AH=x+1$

พิจารณา สามเหลี่ยม $BEA$

ได้ $x^2+(x+1)^2=25$

$x>0$

$\therefore x=3$

[Maths Aprrentice]

ตอนที่ 1 ข้อ 20
สมมติ $a, b, c, d$ เป็นรากของสมการนี้จะได้
$a+b+c+d = 3$,
$ab + ac + ad + bc + bd + cd = -6$,
$abc + bcd + cda + dab = 5$
$abcd = 9$
พิจารณา abcd ที่ $>0$
ดังนั้นต้องมีจำนวนลบเป็นเลขคู่
พิจารณา $ab + ac + ad + bc + bd + cd = -6$
สมมติ $a, b, c, d > 0$ ดังนั้น $ab + ac + ad + bc + bd + cd > 0$ ขัดแย้ง
ดังนั้นจึงมี 2 คำตอบเป็นจำนวนลบที่แตกต่างกัน $\blacksquare$

[Maths Aprrentice]

ตอนที่ 2 ข้อ 6
จาก $5^{0.301} = 2^{0.699}$
นำ $2^{0.301}$ คูณตลอด จะได้
$10^{0.301} = 2$
ดังนั้น $1024^{100} = 2^{1000} = 10^{301}$
ดังนั้นจำนวนนี้จึงมี $302$ หลัก...ข้อนี้ผมเล่นใช้ $log$ แล้วลืมบวกเลข 1 ข้างหน้า เลยเสียไปเลย

[Maths Aprrentice]

ตอนที่ 2 ข้อ 16
หาจุดตัดแกน $x$ จะได้ $(k, 0), (-k, 0)$
โดยจุดยอดของกราฟนี้คือ $k^{2}$
ดังนั้นเส้นรอบรูปคือ $2k^{2} + 4k = 48$
แก้สมการออกมาได้ $k > 0$, $k = 4 \blacksquare$

[narongratp]

ข้อ 20 ครับ

$x^4-3x^3-6x^2-5x+9=0$

$(x^2-3)^2-x(3x^2+5)=0$

$(x^2-3)^2=x(3x^2+5)$

ภายใต้จำนวนจริง วงเล็บสองข้างเป็นบวกเสมอ ไม่น่าจะมี$ x $ที่เป็นลบที่ทำให้ทั้งสองข้างเท่ากันหรือเปล่าครับ