ช่วยเฉลยหน้านี้หน่อยคับ

[vorodom]

ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[gon]

AMC (Aus) 2017 Senior

ข้อ 25

Hint

ลองใช้อสมการนี้ดูครับ

$\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \ge \sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2}$

โดยเป็นสมการเมื่อ $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$


หรือมองว่ามีจุด $A(0, 0), B(x, 1-x)$ เมื่อ $0 \lt x \lt 1$ และ $ C(1, 2)$ บนแกน x-y

ระยะ $AC$ จะสั้นสุดเมื่อจุด $ A, B, C$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

[Thamma]

22

$n^2+n+34=x^2$

$4n^2+4n+136=(2x)^2$, ให้ $2x=y$

$4n^2+4n+136=y^2$

$(2n+1)^2+135 =y^2$

$135=(y+2n+1)(y-2n-1)$

เช่น $y+2n+1=135, y-2n-1=1$, จะได้ $4n+2 = 134$ แล้ว $n=33$

24

ให้เลขที่ระบุบนบัตรเป็น $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$

สมมุติ ถ้ามีบัตรที่ทาสีเขียวได้ 10 ใบแล้ว จะได้ว่า

$a_1+a_3 < 2a_2$

$a_2+a_4 < 2a_3$

$a_3+a_5 < 2a_4$

$a_4+a_6 < 2a_5$

$a_5+a_7 < 2a_6$

$a_6+a_8 < 2a_7$

$a_7+a_9 < 2a_8$

$a_8+a_{10} < 2a_9$

$a_9+a_1 < 2a_{10}$

$a_{10}+a_2 < 2a_1$

ผลรวมของด้านซ้ายและขวาของอสมการจะเป็น $2\sum a_i < 2\sum a_i$ , $i=1, 2, \ldots, 10\;$ซึ่งขัดแย้ง

ตัวอย่างรูปแบบที่มีบัตรทาสีเขียว $9$ ใบ (ยกเว้นบัตรเลข $1$)

$1, 10, 18, 25, 31, 36, 40, 43, 45, 46$ เรียงเป็นวงกลม

ดังนั้น จำนวนบัตรที่ทาสีเขียวมากที่สุดที่เป็นไปได้คือ $9$ ใบ