รบกวนหน่อยครับ

[iamjerng]

1. P(x)=x^3-2x^2-22x-21 แล้วผลบวกของจำนวนเต็ม n ทั้งหมดที่ทำให้ P(n)=จำนวนเฉพาะ คือเท่าใด
2. n เปนจำนวนสามหลัก ที่ สามหลักท้ายของ n^2-2=n แล้วผลบวกค่า n ทั้งหมดเท่ากับข้อใด

[NaPrai]

ข้อ 1 ขั้นตอนแรกก็เริ่มจากการแยกตัวประกอบก่อนครับ จะได้ว่า
\begin{align*}P(x)=x^3-2x^2-22x-21=(x+3)(x^2-5x-7)\end{align*}
ซึ่งโจทย์ตอนการที่จะหาจำนวนเต็ม $n$ ที่ทำให้ $P(n)$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $n$ ที่เป็นไปได้ต้องมีคุณสมบัติว่า $n+3=\pm 1$ หรือ $n^2-5n-7=\pm 1$ จะได้ว่า $n=-4,-2,-1,6$
ทีนี้เหลือแค่เชคก็ได้ว่า $P(-4)=-29, P(-2)=7, P(-1)=-2, P(6)=-9$ ดังนั้น $n$ ที่เป็นไปได้คือ $-4,-2,-1$ ซึ่งมีผลรวมคือ $\boxed{-7}$

[NaPrai]

ข้อ 2 คำตอบคือ ${2000}$

จุดหลัก ๆ ในการแก้โจทย์คือการใช้ mod 1000 โดยจากเงื่อนไขของโจทย์จะได้ว่า $n^2-2\equiv n \mod 1000 \Leftrightarrow 1000\mid n^2-n-2 \Leftrightarrow 1000\mid(n-2)(n+1)$
สังเกตว่าถ้า $2$ สามารถหารตัวใดตัวหนึ่งใน $n-2$ และ $n+1$ แล้ว $2$ ไม่สามารถหารอีกตัวหนึ่งได้ และในขณะเดียวกัน ถ้า $5$ สามารถหารตัวใดตัวหนึ่งใน $n-2$ และ $n+1$ แล้ว $5$ ไม่สามารถหารอีกตัวหนึ่งได้ ดังนั้นแบ่งเคสได้ดังนี้

กรณี 1 $8 \mid n-2$ และ $125 \mid n+1 \Leftrightarrow n \equiv 874 \mod 1000$

กรณี 2 $125 \mid n-2$ และ $8 \mid n+1 \Leftrightarrow n \equiv 127 \mod 1000$

กรณี 3 $1000 \mid n-2$ $\Leftrightarrow n \equiv 2 \mod 1000$

กรณี 4 $1000 \mid n+1$ $\Leftrightarrow n \equiv 999 \mod 1000$

จากที่ $n$ เป็นจำนวนสามหลักได้ว่า $n=127, 874, 999$ ซึ่งมีผลบวกเท่ากับ $2000$