ข้อสอบสมาคมศิษย์เก่าโรงเรียนนครสวรรค์ ครั้งที่ 16

[Guntitat Gun]

6. ถ้า AB = 4 หน่วย, BC = DE = 2 หน่วย, EF = 1 หน่วย และ AF = CD แล้ว พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยม ABCDEF เท่ากับกี่ตารางหน่วย โดยกำหนดให้ ABC = CDE = AFE = 90 องศา และมุมภายนอกของ DEF = 90 องศา (ข้อนี้มีรูป แต่ผมไม่ได้สแกนมาให้ครับ ถ้าผู้ใดต้องการรูป บอกผมได้นะครับ ป.ล. แต่รูปไม่ค่อยสมจริงนัก)
7. มีน้ำเชื่อม 56 ลิตร เททิ้งไป 8 ลิตร แล้วเติมน้ำนมแทน 8 ลิตร เขย่าให้เข้ากัน แล้วเททิ้ง 8 ลิตรอีกครั้ง แล้วเติมน้ำนมอีก 8 ลิตร เขย่าให้เข้ากัน ถามว่าอัตราส่วนน้ำเชื่่อมต่อน้ำนมของส่วนผสมสุดท้ายเป็นเท่าใด (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
11. ถ้า ${\frac{x}{y}=\frac{1+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{6^3}}{1-\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{6^3}}}$ เมื่อ ${x}$ และ ${y}$ เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว ค่าของ ${x-y}$ เป็นเท่าใด
21. กำหนดให้ ABBBB = M และ BBBBC = M เมื่อ A, B และ C เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า ${\frac{M}{N}=\frac{2}{5}}$ แล้ว A+B+C มีค่าเท่าใด
24. ในการทำขนมของนักเรียนชมรมหนึ่งพบว่า นักเรียนหนึ่งคน มีความสามารถทำเค้กมะพร้าวขนาด 4 ปอนด์ได้ 2 ก้อนในเวลา 1 ชั่วโมง แต่สามารถทำแซนวิขเค้กได้ถึง 35 ชิ้น ในเวลา 1 ชั่วโมงเช่นกัน หากชมรมแห่งนี้ต้องการเค้กมะพร้าว ขนาด 4 ปอนด์ จำนวน 20 ก้อน และแซนวิชเค้ก จำนวน 700 ชิ้น โดยชมรมได้เช่าห้องทำขนมไว้ทั้งสิ้น 3 ชั่วโมง จะต้องหานักเรียนมาเพิ่มกี่คน

[Onion]

ข้อ 6 ช่วยเพิ่มรูปครับ

[Guntitat Gun]

ขอบพระคุณทั้ง 2 ท่านมากขอรับ
ขอรบกวนข้อ 6 กับข้อ 11 ด้วยขอรับ
--ขอคารวะ--

[Onion]

ข้อ 21 มีวิธีทำที่ใช้วิธีตั้งสมการหรืออื่น ๆ หรือเปล่าครับ

ขอถาม ข้อ 30 ด้วยครับ โจทย์มีอยู่ว่า ถ้ากำหนดเศษส่วนพหุนาม $\frac{A}{x+1} +\frac{B}{x-3} + \frac{C}{2x-1}=\frac{3x^2-4x+5}{(x+1)(x-3)(2x-1)}$ แล้วค่าของ $3A-4B+5C$ เป็นเท่าใด

ขอขอบพระคุณล่วงหน้าครับ

[sawada]

ข้อ30
ผมลองคิดดูได้ว่า
$\frac{A}{x+1} +\frac{B}{x-3} + \frac{C}{2x-1}=\frac{3x^2-4x+5}{(x+1)(x-3)(2x-1)}$
$\frac{A(x-3)(2x-1)+B(2x-1)(x+1)+C(x-3)(x+1)}{(x+1)(x-3)(2x-1)} = \frac{3x^2-4x+5}{(x+1)(x-3)(2x-1)}$
$แล้วก็ส่วนตัดส่วน$
$A(x-3)(2x-1)+B(2x-1)(x+1)+C(x-3)(x+1) = 3x^2-4x+5$
$A(2x^2-7x+3)+B(2x^2+x-1)+C(x^2-2x-3)=3x^2-4x+5$
$ท่อนนี้ผมก็อธิบายเป็นหลัการไม่ค่อยถูก เอาเป็นว่าสังเกตจำนวนในแต่ละวงเล็บ กับผลลัพธ์ ดูแล้วมันมีสิ่งมี่สัมพันธ์กันอยู่$
$ก็คือ จำนวนในวงเล็บของA+จำนวนในวงเล็บของB-จำนวนในวงเล็บของC=ผลลัพธ์$ $อาจจะดูงงๆไปหน่อยนะครับ $
$(2x^2-7x+3)+(2x^2+x-1)-(x^2-2x-3)=3x^2-4x+5 $
$นั่นก็แสดงว่า A=B=1 และC=-1$
$3A-4B+5C$
$3-4-5=-6$

[mm24]

อันนี้หน้าแรกของม.3 ค่ะ พอดีสแกนไม่ได้ เครื่องพัง
ข้อ 9 เราลองคิดแล้วแต่อยากได้วิธีที่ง่ายกว่า ถ้าใครมีก็ขอด้วยค่ะ ขอบคุณค่ะ

[mm24]

หน้า 2 ของ ม.3 ค่ะ

[mm24]

หน้า 3 ของม.3 ค่ะ

[mm24]

หน้า 4 ของม.3

[mm24]

หน้า 5 ของม.3

[mm24]

หน้า 6(สุดท้าย) ของม.3 ค่ะ

บางหน้ามีข้อที่วงไว้ คือเราทำแล้วมันแปลกๆ ฝากด้วยค่ะ

[Onion]

12. กำหนด $(a+b)(b+c)(c+a)=18$
และ $\frac{1}{(a+b)} + \frac{1}{(b+c)} + \frac{1}{(c+a)}=\frac{7}{9} $
แล้ว ค่าของ $\frac{c}{(a+b)} + \frac{a}{(b+c)} + \frac{b}{(c+a)} เป็นเท่าใด $

ขอขอบพระคุณล่วงหน้าครับ

[Onion]

ข้อ 6 อาจารย์ที่โรงเรียนเฉลยมาว่า

ต่อ AF และ CD ถึง G ดังรูป
จาก AF = CD ให้ความยาวของส่วนของเส้นตรง AF และ CD เส้นเป็น $x$ หน่วย
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้
$AB^2 + BC^2 =AC^2$ และ
$(x+1)^2+(x+2)^2=AC^2$
ดังน้ัน $AB^2 + BC^2 =(x+1)^2+(x+2)^2$
$4^2+2^2=x^2+2x+1+x^2+4x+4$
$2x^2+6x+5=20$
$2x^2+6x-15=0$
ใช้สูตร $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} $
ได้ $x=\frac{-6\pm \sqrt{36+120} }{4} $
$x=\frac{-6\pm2 \sqrt{39} }{4} $
$x=\frac{-3\pm \sqrt{39}} {2}$
เนื่องจาก $x$ เป็นจำนวนบวก (ความยาว)
ดังนั้น $x=\frac{-3+ \sqrt{39}} {2}$
พื้นที่ สามเหลี่ยม AGC $= \frac{1}{2} (\frac{-3+ \sqrt{39}} {2}+1)(\frac{-3+ \sqrt{39}} {2}+2)$
$=\frac{\frac{-1+ \sqrt{39}} {2}\times \frac{1+ \sqrt{39}} {2}}{2} $
$=\frac{\frac{-1+39}{4} }{2} $
$=\frac{38}{8} $
$=\frac{19}{4} $
$=4.75$ ตารางหน่วย
พื้นที่ สามเหลี่ยม ABC $= \frac{1}{2}\times 4\times 2$
$=4$ ตารางหน่วย
พื้นที่ สี่เหลี่ยม DEFG $=2\times 1=2$ ตารางหน่วย
พื้นที่ 6 เหลี่ยม $=4.75+4-2=6.75$ ตารางหน่วย
ตอบ : 6.75 ตารางหน่วย