IJSO ครั้งที่ 11 2557

[Puriwatt]

เอารูปข้อ 17 มาลงให้ครับ

[เสือน้อย]

รบกวนท่านผู้รู้อธิบายข้อ 21 ด้วยครับ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

รบกวนท่านผู้รู้อธิบายข้อ 21 ด้วยครับ

$$tan 89.9^\circ = \frac{sin(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800}) }{cos(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800})} $$

ประมาณด้วยค่าเชิงอนุพันธ์

$$f(x) = sin x \Rightarrow \acute f (x) = cos x$$

$$f(x) \approx f(x_0) + \acute f (x_0)dx$$

$$sin \frac{\pi }{2} + (cos \frac{\pi }{2})(\frac{-\pi }{1800}) = 1$$

$$g(x) = cos x \Rightarrow \acute g (x) = -sin x$$

$$g(x) \approx g(x_0) + \acute g (x_0)dx$$

$$cos \frac{\pi }{2} + (-sin \frac{\pi }{2})(\frac{-\pi }{1800}) = \frac{\pi }{1800}$$


$$\therefore \frac{sin(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800}) }{cos(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800})} = \frac{1}{\frac{\pi }{1800}} = \frac{1800}{\pi }$$

[เสือน้อย]

ขอบคุณครับคุณ yellow

[Puriwatt]

ข้อ 21 ขอเสริมแบบประมาณค่าง่ายๆ อีกวิธีครับ

tan 89.9° = cot 0.1° = cos 0.1÷ sin0.1 ----(1)

เนื่องจากมุม 0.1° = 0.1×$\frac{\pi}{180}$ = $\frac{\pi}{1800}$ มีค่าใกล้ 0°

ดังนั้น cos 0.1° ~ 1; sin 0.1° ~ $\frac{\pi}{1800}$

แทนลงในสมการ (1) ได้ tan 89.9° = 1÷ $\frac{\pi}{1800}$ =$\frac{1800}{\pi}$

[s_anyada]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ phonophile

11. ต้องตอบc ครับ ทั้งหมดมี11รูปดังนี้
5,3,4
10,6,8
13,12,5
15,12,9
17,15,8
20,12,16
25,15,20
25,24,7
26,24,10
29,21,20. ###. รูปนี้แหละที่มาแบบไม่คาดคิดจริงๆ
30,24,18

ตาม ทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่งไล่นับไปเรื่อยๆ หรือคะ มีหลักอะไรเป็นเทคนิคนอกเหนือจากนี้ไหมคะ ขอบคุณค่ะ

[BigPaPa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

แนบรูปมาให้ดูประกอบครับ
Attachment 15606

จะได้ว่า $[ROC] = m[AOC] = 40m$ และ $[ROB] = m[AOB] = 24m$

ดังนั้น $[BOC] = 40m+24m = 64m$ และ $ [ABC] = 24+40+64m = 64+64m$

จะได้อัตราส่วน $\frac {AQ}{AB} = \frac {40}{(40+64m)}= \frac {5}{(5+8m)} $ และ $\frac {AP}{AC} = \frac{24}{(24+64m)} = \frac {3}{(3+8m)}$

ดังนั้น $ [APQ] = 15 = [ABC]×(\frac{5}{5+8m})(\frac{3}{3+8m}) = \frac {15(64+64m)}{(5+8m)(3+8m)}$

$(5+8m)(3+8m) = (64+64m)$ --> $64 m^2 = 49$ --> $m = \frac{7}{8}$

ดังนั้น $[BOC] = 64m = 64×7/8 = 56$ ตารางหน่วย

อัตราส่วนสองอันนี้ ดูไม่ออกครับว่าเทียบ สามเหลี่ยมอันไหนกับอันไหน
จะได้อัตราส่วน $\frac {AQ}{AB} = \frac {40}{(40+64m)}= \frac {5}{(5+8m)} $ และ
$\frac {AP}{AC} = \frac{24}{(24+64m)} = \frac {3}{(3+8m)}$

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BigPaPa

อัตราส่วนสองอันนี้ ดูไม่ออกครับว่าเทียบ สามเหลี่ยมอันไหนกับอันไหน
จะได้อัตราส่วน $\frac {AQ}{AB} = \frac {40}{(40+64m)}= \frac {5}{(5+8m)} $ และ
$\frac {AP}{AC} = \frac{24}{(24+64m)} = \frac {3}{(3+8m)}$

ได้เพิ่มเติมรายละเอียดให้แล้วครับ

หรือพิจารณา $AQ : QB : AB = [AOC] : [BOC] : ([AOC]+[BOC]) = 40 : 64m : (40+64m)$

[BigPaPa]

ขอบคุณครับ
รบกวนถามต่อครับ
แล้วข้อ 5 นี่ ต้องทำส่วน ในรูป a^2 - b^2 ก่อนรึเปล่าครับ แต่พอคูณเศษด้วย วงเล็บเยอะจนมึนไปเลยครับ

[BigPaPa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Dr.Scimath

เฉลย IJSO คณิตศาสตร์ 2557
......
ลองดูนะครับ ไว้ค่อยเฉลยเป็นข้อๆ

รอเฉลยแนวคิดเป็นข้อด้วยคนครับ

[s_anyada]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

ได้เพิ่มเติมรายละเอียดให้แล้วครับ

หรือพิจารณา $AQ : QB : AB = [AOC] : [BOC] : ([AOC]+[BOC]) = 40 : 64m : (40+64m)$

AQ ไม่ใช่ด้านบน AOC
QB ไม่ใช่ด้านบน BOC
AB ไม่ใช่ด้านบน AOC+BOC
นำมาคิดแบบนี้ได้ด้วยหรือคะ
รบกวนคุณ Puriwatt อธิบายเพิ่มเติมอีกนิดค่ะ ขอบคุณค่ะ

[s_anyada]

ข้อ 22 แปลงค่าออกมาได้ตามรูปค่ะ
แต่จะพิจารณาได้อย่างไรว่า ทำไมข้อ A จึงน้อยที่สุด
ขอบคุณค่ะ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ s_anyada

AQ ไม่ใช่ด้านบน AOC
QB ไม่ใช่ด้านบน BOC
AB ไม่ใช่ด้านบน AOC+BOC
นำมาคิดแบบนี้ได้ด้วยหรือคะ
รบกวนคุณ Puriwatt อธิบายเพิ่มเติมอีกนิดค่ะ ขอบคุณค่ะ

คิดแบบนี้ได้ครับ ทำบ่อยๆก็จะเข้าใจได้ง่ายขึ้น
เป็นการแปลงจากหลักของยุคลิด ที่ว่าสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากัน
จะมีขนาดพื้นที่แปรเป็นสัดส่วนโดยตรงตามขนาดของความยาวฐาน
ดังนั้นสามเหลี่ยม ACB กับ AOB อยู่บนฐานเดียวกันคือเส้นตรง AB
และลากต่อเส้น CO มาตัดกับฐาน AB ที่จุด Q จะสรุปได้ดังนี้
(ให้ความสูงจากจุด C และ O จากเส้นตรง AB เป็น H และ h ตาลำดับ)

1. [AOQ] = AQ×h/2, [ACQ] = AQ×H/2 --> [ACO] = AQ×(H-h)/2
2. [BOQ] = BQ×h/2, [BCQ] = BQ×H/2 --> [BCO] = BQ×(H-h)/2

จะเห็นได้ว่าจะจับคู่ไหนก็ได้อัตราส่วนเดียวกันทั้งหมดครับ

[s_anyada]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

คิดแบบนี้ได้ครับ ทำบ่อยๆก็จะเข้าใจได้ง่ายขึ้น
เป็นการแปลงจากหลักของยุคลิด ที่ว่าสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากัน
จะมีขนาดพื้นที่แปรเป็นสัดส่วนโดยตรงตามขนาดของความยาวฐาน
.....
1. [AOQ] = AQ×h/2, [ACQ] = AQ×H/2 --> [ACO] = AQ×(H-h)/2
2. [BOQ] = BQ×h/2, [BCQ] = BQ×H/2 --> [BCO] = BQ×(H-h)/2
จะเห็นได้ว่าจะจับคู่ไหนก็ได้อัตราส่วนเดียวกันทั้งหมดครับ

ขอบคุณมากๆ ค่ะ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BigPaPa

ขอบคุณครับ
รบกวนถามต่อครับ
แล้วข้อ 5 นี่ ต้องทำส่วน ในรูป a^2 - b^2 ก่อนรึเปล่าครับ แต่พอคูณเศษด้วย วงเล็บเยอะจนมึนไปเลยครับ

ถ้าไม่อยากคูณเศษส่วนจนมึนก็คงต้องรู้จักเอกลักษณ์นี้แล้วมั้งครับ

$\frac{a^2(x-b)(x-c)}{(b-a)(c-a)} -\frac{b^2(x-c)(x-a)}{(b-a)(c-b)}+\frac{c^2(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2$