ข้อสอบ สพฐ. 2557 รอบที่ 2 (9 มี.ค.57)

[gon]

มีผู้ปกครองท่านหนึ่งส่งมาให้ช่วยลงและเฉลยกันครับ.

ข้อ06-10

ข้อ11-15

ข้อ16-20

ข้อ21-25

หมายเหตุ ดูโจทย์และเฉลยเวอร์ชันจำมาที่หัวข้อนี้ประกอบด้วยครับ.

ข้อสอบ สพฐ รอบ2 ปี2557

[Suwiwat B]

ยังไม่เห็นข้อ 20 ... ขอคร่าวๆเลยนะครับ
คือผมให้ $s = \frac{a+b+c}{2}$ ด้วยเหตุที่มันทำให้ผมนึกถึงพื้นที่ (ซึ่งไม่ได้ใช้พื้นที่เเก้ = = ) เเล้วผมจะได้พจน์ที่เหลือๆเป็น $s-c,s-b,s-a$ เพื่อความสะดวกของผม ผมเเต่ละตัวเป็น $z,y,x$ ไป ผมจะได้ว่า $x+y+z=\frac{a+b+c}{2}$
เเล้วไปจัดสมการโจทย์ใหม่ได้ออกมาเป็น

$xz=18^2y$
$xy=(22.5)^2z$
$yz=(40)^2x$

เเล้วเเก้หาเเต่ละตัวโดยคูณสมการทุกสมการเข้าด้วยกันได้ค่าของ $xyz$ ออกมา เเล้วเอามาหาค่า $x,y,z$ ได้ ก็เอาไปหา $a+b+c$ ได้ $4050$ อะครับ

[Suwiwat B]

ข้อ 8 ก็ยังไม่เห็น
ให้บรรจุลงกล่องใหญ่ (12 ผล) x กล่อง
ให้บรรจุลงกล่องเล็ก (5 ผล) y กล่อง
เราจะได้ว่า $12x+5y=99$ โดยที่ $x+y>10$
ไล่ $x,y$ ไปเรื่อย พบว่ามี $(x,y) = (2,15) , (7,3)$ เเต่ $x+y>10$
ดังนั้น $(x,y) = (2,15)$ จะได้ $x+y=17$
ใช้กล่องไปทั้งหมด $17$ กล่อง

[Suwiwat B]

ข้อ 12
สังเกตุตรง $|a_n|-|a_n -1|$ ก่อน ถ้ามาเเยกกันจะรู้ว่า
case 1 : ถ้า $a_n\leqslant 0$ --> ค่าที่ได้เป็น $-1$
case 2 : ถ้า $0<a_n<1$ --> ค่าที่ได้เป็น $2a_n -1$
case 3 : ถ้า $a_n\geqslant 1$ --> ค่าที่ได้เป็น $1$

ค่อยๆดูไปทีละตัว
เเทน $n=4$ : $\frac{1}{2} = |a_4|-|a_4 -1|$ เห็นว่าค่าของมันไม่ใช่ -1,1 ดังนั้นมันจะเข้ากรณีที่ 2
$2a_4 - 1 = \frac{1}{2}$
$a_4 = \frac{3}{4}$

เเทน $n=3$ : $\frac{3}{4} = |a_3|-|a_3 -1|$ เห็นว่าค่าของมันไม่ใช่ -1,1 ดังนั้นมันจะเข้ากรณีที่ 2
$2a_3 - 1 = \frac{3}{4}$
$a_3 = \frac{7}{8}$

เเบบนี้ไปเรื่อยๆ ก็จะได้ว่า $a_1 = \frac{31}{32}$

ดังนั้น $p+q=31+32=63$

[Suwiwat B]

ข้อ 13 ไม่รู้วิธีว่าถูกไหม

ลองวาดรูปเล็กๆก่อน เช่นด้านเเต่ละด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็น 1 จะได้ว่ามันเเบ่งเป็นสามเหลี่ยมได้ 2 รูป
เเล้วเราจะพบว่า ถ้าให้ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็น a กับ b จะพบว่า จะได้สามเหลี่ยมออกมา $2ab$ รูป
ดังนั้น $ab = 231$

เเยกตัวประกอบไล่หา $a,b$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดออกมา เพื่อหาค่าของ $2(a+b)$ ที่ต่ำที่สุด
พบว่าค่าของ a+b จะต่ำสุดเมื่อ $a,b$ เป็น $11,21$ จะได้ว่า $a+b = 32$
ดังนั้นเส้นรอบรูปน้อยที่สุดเป็น $2(a+b) = 2(32) = 64$ เซนติเมตร

[เสือน้อย]

ทำอย่างไรถึงได้คำตอบ
$\frac{1}{3}(11^2+16^2+17^2) = 222$
ขออธิบายเพิ่มเติมหน่อยนะครับ

[เสือน้อย]

คำถามถามว่าค่าของ x ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นเท่าใด
ถ้าตอบ 3 แสดงว่า x เป็นได้ 3 ค่าใช่ไหมครับ แล้วเป็นเท่าไรได้บ้าง

[เสือน้อย]

ได้คำตอบ 263 ครับ

[เสือน้อย]

ทำตาม #2 ถ้าจัดสมการโจทย์ใหม่ ผมได้ออกมาเป็น

$sxz=18^2y$
$sxy=(22.5)^2z$
$syz=(40)^2x$

เเล้วคูณสมการทุกสมการเข้าด้วยกันจะได้ $s^3xyz$ = $\frac{(18)^2(45)^2(40)^2}{4}$ แล้วทำยังไงต่อครับ หรือผมทำผิดตรงไหน ช่วยแนะนำด้วยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

ทำอย่างไรถึงได้คำตอบ
$\frac{1}{3}(11^2+16^2+17^2) = 222$
ขออธิบายเพิ่มเติมหน่อยนะครับ

จากกฎของไซน์ (law of sine) เวอร์ชันสมบูรณ์แบบครับ.

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

เมื่อ R แทน ความยาวรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC ครับ.

นั่นก็คือ $R = \frac{a}{2\sin A}$

เช่น เราจะได้ว่า $a_1 = \frac{11}{2\sin 120^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 11 $ เป็นต้นครับ.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

คำถามถามว่าค่าของ x ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นเท่าใด

ถ้าตอบ 3 แสดงว่า x เป็นได้ 3 ค่าใช่ไหมครับ แล้วเป็นเท่าไรได้บ้าง

ไม่ใช่ครับ ที่ตอบ 3 หมายความว่า เป็นไปได้ค่าเดียว คือ 3 เท่านั้น

ข้อนี้โชคดีว่าเวอร์ชันจำมา กับเวอร์ชันถูกต้อง วิธีทำต่างกัน แต่ได้คำตอบเท่าเดิมคือ 3 ครับ.

[เสือน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ไม่ใช่ครับ ที่ตอบ 3 หมายความว่า เป็นไปได้ค่าเดียว คือ 3 เท่านั้น

ข้อนี้โชคดีว่าเวอร์ชันจำมา กับเวอร์ชันถูกต้อง วิธีทำต่างกัน แต่ได้คำตอบเท่าเดิมคือ 3 ครับ.

ต้องขอรบกวนคุณ gon อธิบายอีกนิดนะครับ เพราะไม่เข้าใจจริงๆ โดยเฉพาะตรงที่โจทย์บอกว่า $f(x)=g(x)$ มันไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวกันเหรอครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

ต้องขอรบกวนคุณ gon อธิบายอีกนิดนะครับ เพราะไม่เข้าใจจริงๆ โดยเฉพาะตรงที่โจทย์บอกว่า $f(x)=g(x)$ มันไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวกันเหรอครับ

ตรงบรรทัดท้ายสุด ผมเปลี่ยนโจทย์เป็นแบบนี้แล้วกันครับ.

จงหาค่า x ทั้งหมดที่ทำให้สมการ f(x) = g(x) เป็นจริง

ดีขึ้นหรือยังครับ.

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ให้ $f(x)=x^2+ax+b,g(x)=x^2+cx+d$
ถ้า $f(x)=g(x)$ แล้ว $ax+b=cx+d$ หรือ $x=\dfrac{d-b}{a-c}$ เพราะ $a \not= c,b \not= d$
$f(1)+f(3)+f(5)=g(1)+g(3)+g(5)$
$9a+3b=9c+3d$
$3a+b=3c+d$
หรือ $d-b=3a-3c$
ดังนั้น $x=3$ เท่านั้น

[เสือน้อย]

ขอขอบคุณ คุณ gon และคุณฟินิกซ์ ครับ
ผมขอรบกวนข้อ 18 ด้วยนะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

ขอขอบคุณ คุณ gon และคุณฟินิกซ์ ครับ
ผมขอรบกวนข้อ 18 ด้วยนะครับ

ข้อที่ 18. ลบเส้น BT ทิ้งไปก่อน โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ $AM^2 = 91^2-BM^2 = 105^2-(98-BM)^2$ ดังนั้น $BM = 35, MC = 63, AM = 84$

กดเพื่อดูเฉลยต่อ

แสดงว่า $BM:MC = 35:63 = 5:9$

ให้ $[SBM] = 5x, [SMC] = 9x$ ดังนั้น $[CMT] = 9x$ ด้วย (เพราะ M เป็นจุดกึ่งกลางของ ST)

ให้ $[BAM] = a, [MAT] = b$ จะได้ระบบสมการ $a+5x = b$ และ $\frac{a}{b+9x} = \frac{5}{9}$

แก้ระบบสมการได้ $a = \frac{35x}{2}$ แต่ $a = \frac{1}{2}\cdot BM \cdot AM = \frac{1}{2} 35\cdot 84$ ดังนั้น $x = 84$

จึงได้ $[CMT]-[BMS] = 9x-5x = 4x = 336 $