ข้อสอบ สพฐ. 2557 รอบที่ 2 (9 มี.ค.57)

[เสือน้อย]

ขอบคุณครับคุณ gon ผมเข้าใจว่าคงพิมพ์ผิดนิดนึงครับ $[MAT] = b$
อยากรบกวนข้อ 20 อีกสักข้อนะคร้าบ จากที่คุณ Suwiwat B ค้างไว้ ผมไปต่อไม่ได้น่ะครับ

[เสือน้อย]

ลองใช้โปรแกรม GSP วาดดูได้คำตอบเป็น 110 แต่อธิบายไม่ได้ว่ามายังไง ใครทราบบอกด้วยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

ขอบคุณครับคุณ gon ผมเข้าใจว่าคงพิมพ์ผิดนิดนึงครับ $[MAT] = b$
อยากรบกวนข้อ 20 อีกสักข้อนะคร้าบ จากที่คุณ Suwiwat B ค้างไว้ ผมไปต่อไม่ได้น่ะครับ

เอาแบบเหตุผล 99% ก่อนนะครับ

สมมติให้ทุกจำนวนมากกว่าศูนย์ (4 ตัว) ดังนั้น $a, b, c$ จะเป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม

ถ้า $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

จากสมการ (1) จะได้ $\Delta/(s-b) = 18$

กดเพื่ออ่านต่อ

ในทำนองเดียวกันกับสองสมการที่เหลือ จะได้ $\Delta/(s-c) = 45/2$ และ $\Delta/(s-a) = 40$

ดังนั้น $\frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}{\Delta} = 1/40 + 1/18 + 2/45 = 1/8 \Rightarrow \Delta = 8s ... (*)$

และถ้านำสมการทั้งสามคูณกันจะได้

$(a+b+c) \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 2^4\cdot 3^4 \cdot 5^2 $

$(2s)(8s) = 2^4\cdot 3^4 \cdot 5^2 \Rightarrow s = 3^2\cdot 5 = 45$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

ลองใช้โปรแกรม GSP วาดดูได้คำตอบเป็น 110 แต่อธิบายไม่ได้ว่ามายังไง ใครทราบบอกด้วยครับ

ข้อนี้ ถ้าใช้ตรีโกณมิติ ม.ปลาย ผมทำได้ไม่นานเสร็จครับ (ไม่เกิน 2 นาที) แต่ถ้าทำแบบ ม.ต้น ผมยังไม่ได้คิด (คิดออกเป็นบางครั้ง )

ให้มุม $AMB = x$ องศา

ถ้าลองวาดรูปดู จะได้เงื่อนไขของมุมคือ $80^{\circ} < x < 150^{\circ}$ (มุมทุกมุมต้องมากกว่า 0)

และรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว $(AB = AC)$

เนื่องจาก $\frac{AB}{AC} = \frac{AB}{AM} \cdot \frac{AM}{AC}$

โดยกฎของไซน์จึงได้ $1 = \frac{\sin x}{\sin(150^{\circ}-x)} \cdot \frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 150^{\circ}}$

กดเพื่ออ่านต่อ

$\sin(150^{\circ}-x) = 2\sin x \sin 20^{\circ}$

$\cos(x-60^{\circ}) = \cos(x-20^{\circ}) -\cos(x+20^{\circ})$

$\cos(x-60^{\circ}) + \cos(x+20^{\circ}) = \cos(x - 20^{\circ})$

$2\cos(x-20^{\circ}) \cos 80^{\circ} = \cos(x-20^{\circ})$

แสดงว่า $\cos(x-20^{\circ}) = 0 \iff x - 20 = 360^{\circ}n \pm 90^{\circ}$

ดังนั้น $x = 20 + 360^{\circ}n \pm 90^{\circ}$

เพื่อให้ $80^{\circ} < x < 150^{\circ}$ แสดงว่า เลือก $n = 0$ และใช้เครื่องหมายบวก

ดังนั้น $x = 20^{\circ} + 90^{\circ} = 110^{\circ}$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เสือน้อย

ลองใช้โปรแกรม GSP วาดดูได้คำตอบเป็น 110 แต่อธิบายไม่ได้ว่ามายังไง ใครทราบบอกด้วยครับ

Hint

สะท้อน B ผ่าน AM

[เสือน้อย]

แบบนี้เหรอครับ แล้วยังไงต่อดีล่ะ ไปไม่ถูก

[artty60]

จากวิธีของคุณAmankris จะได้

1.ABB'=สามเหลี่ยมด้านเท่า

2.ACB'=สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

3.AMC,BCB'=สามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ

จากผล3ข้อนี้จะหามุมAMBได้

[Scylla_Shadow]

สวัสดีค่ะ ดิฉันขอเสนออีกวิธีหนึ่งค่ะ
(อาจแสดงวิธีทำได้ไม่หมดนะคะ แอบเล่นในงานกาล่าค่ะ)

ลองสะท้อน A ผ่าน CM ดูนะคะ

หาสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ มาสองสามรูป ค่ะ

ปล. เราได้ความสัมพันธ์ระหว่าง AM กับ BC ด้วยนะคะ ดิฉันคิดว่าสวยดีค่ะ (หมายถึงดิฉันน่ะค่ะที่สวย)

[artty60]

วิธีของคุณ Schylla_Shadowจะได้

1.AMA'เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

2.AMCและA'MCเป็นสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ

3.AA'B,AMBและCBA'ต่างเป็นสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ

เทียบมุมแล้วจะได้มุมAMB=110องศา เหมือนกัน

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

เอาแบบเหตุผล 99% ก่อนนะครับ

สมมติให้ทุกจำนวนมากกว่าศูนย์ (4 ตัว) ดังนั้น $a, b, c$ จะเป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม

ถ้า $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

จากสมการ (1) จะได้ $\Delta/(s-b) = 18$

กดเพื่ออ่านต่อ

ในทำนองเดียวกันกับสองสมการที่เหลือ จะได้ $\Delta/(s-c) = 45/2$ และ $\Delta/(s-a) = 40$

ดังนั้น $\frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}{\Delta} = 1/40 + 1/18 + 2/45 = 1/8 \Rightarrow \Delta = 8s ... (*)$

และถ้านำสมการทั้งสามคูณกันจะได้

$(a+b+c) \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 2^4\cdot 3^4 \cdot 5^2 $

$(2s)(8s) = 2^4\cdot 3^4 \cdot 5^2 \Rightarrow s = 3^2\cdot 5 = 45$

$\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}$ โจทย์ต้องการ $a+b+c=2s=90$ ใช่หรือเปล่าคะ

[computer]

ข้อ 20 ขอเสนออีกวิธีค่ะ
ให้ $w=\sqrt{a+b+c}$ , $x=\sqrt{a+b-c}$ , $y=\sqrt{b+c-a}$ , $z=\sqrt{c+a-b}$
จะได้ว่า $x^2+y^2+z^2=w^2$
[ต้องการหา $a+b+c=w^2$]
จากโจทย์จะได้สมการ
$\displaystyle\frac{wxy}{z}=36$ ......$(1)$

$\displaystyle\frac{wyz}{x}=45$ ......$(2)$

$\displaystyle\frac{wxz}{y}=80$ ......$(3)$

$(1)\times (2);\,\,\,\,w^2y^2=36\cdot 45$ ......$(4)$
$(2)\times (3);\,\,\,\,w^2z^2=45\cdot 80$ ......$(5)$
$(1)\times (3);\,\,\,\,w^2x^2=36\cdot 80$ ......$(6)$

$(4)+(5)+(6);\,\,\,\,w^2(x^2+y^2+z^2)=36\cdot 45+45\cdot 80+36\cdot 80$
$w^4=8100$
$\therefore w^2=90$

[mathph]

ข้อ2 นะฮะ หลักคือเราค่อยๆกระจายอย่างมีหลักการครับ
$(a-b)a+(a-b)(b-c)+(b-c)b+(b-c)(c-a)+(c-a)c+(c-a)(a-b)$
$(a-b)[a+c-a]+(b-c)[a-b+b]+(c-a)[b-c+c]=0$.....ตามนั้นครับ

[Puriwatt]

สรุปคำตอบเพื่อชนรุ่นหลัง
ส่วนที่ 1 ข้อ 1-15
ตอนที่ 1
1. ค
2. ก
3. ก
4. ง
5. จ
ตอนที่ 2
6. 20 ตร. ซม
7. 991 ก้อน
8. 17 กล่อง
9. 3 แบบ
10. 7
11. x = 263
12. 63
13. 64 ซม.
ตอนที่ 3
14. แสดงวิธีทำ
15. แสดงวิธีทำ

ส่วนที่ 2 ข้อ 16-25
ตอนที่ 1
16. 125
17. 222
18. 336 ตร. หน่วย
19. 930930
20. a+b+c = 90
ตอนที่ 2
21. 90606
22. 110°
23. 1
24. -1296
25. 198

[puppuff]

ขอวิธีการข้อ 7 ด้วยครับ ขอบคุณครับ

[computer]

จำนวนchocolateที่ให้ไปนับแต่วันแรก คือ $1+2+4+8+ ...$
จะได้ว่ามันคือ $2^n-1$ โดย $n$ คือจำนวนวัน ค่ะ